直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用(不錯(cuò)哦-放心用)

直線的參數(shù)方程及應(yīng)用目標(biāo)點(diǎn)擊：1 掌握直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式，理解參數(shù)的幾何意義；2 熟悉直線的參數(shù)方程與普通方程之間的互化；3 利用直線的參數(shù)方程求線段的長，求距離、求軌跡、與中點(diǎn)有關(guān)等問題；基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)擊：1、 直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式(1)過點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）t的幾何意義：t表示有向線段的數(shù)量，P() P0P=t P0P=t 為直線上任意一點(diǎn). (2)若P1、P2是直線上兩點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則P1P2=t2t1 P1P2=t 2t 1 (3) 若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3 則P1P2中點(diǎn)P3的參數(shù)為t3,P0P3= (4)若P0為P1P2的中點(diǎn)，則t1t20，t1t20時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的上方； 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合； 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的右側(cè)； 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合；yh0hPP0h 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的左側(cè)；問題2：直線上的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的參數(shù)t是不是一 對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 我們把直線看作是實(shí)數(shù)軸， 以直線向上的方向?yàn)檎较颍远c(diǎn)P0 為原點(diǎn)，以原坐標(biāo)系的單位長為單位長， 這樣參數(shù)t便和這條實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)P建立了 一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.問題3：P1、P2為直線上兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2 ， 則P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1問題yh0hP1P0hP24：若P0為直線上兩點(diǎn)P1、P2的中點(diǎn)，P1、P2所對(duì)應(yīng)的 參數(shù)分別為t1、t2 ，則t1、t2之間有何關(guān)系？ 根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義， P1Pt1，P2Pt2，P0為直線 上兩點(diǎn)P1、P2的中點(diǎn)，|P1P|P2P| P1PP2P，即t1t2, t1t20,設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根為t1、t2,由韋達(dá)定理得 t1t2, t1t2 ，由M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)t的幾何意義，得| PM| 中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t M=,將此值代入直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程*，M點(diǎn)的坐標(biāo)為 即 M（，）(3) |AB|t 2t 1 點(diǎn)撥：利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，在解決諸如直線上兩點(diǎn)間的距離、直線上某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問題時(shí)，比用直線的普通方程來解決顯得比較靈活和簡(jiǎn)捷.例7：已知直線經(jīng)過點(diǎn)P（1,3）,傾斜角為， (1)求直線與直線：的交點(diǎn)Q與P點(diǎn)的距離| PQ|； (2)求直線和圓16的兩個(gè)交點(diǎn)A，B與P點(diǎn)的距離之積. 解：(1)直線經(jīng)過點(diǎn)P（1,3）,傾斜角為,直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方 程為，即（t為參數(shù)）代入直線： 得 整理，解得t=4+2 t=4+2即為直線與直線的交點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，根據(jù)參數(shù)t的幾 何意義可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.(2) 把直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入圓的方程16，得,整理得：t28t+12=0， =82-4120,設(shè)此二次方程的兩個(gè)根為t1、t2 則t1t2=12 根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，t1、t2 分別為直線和圓16的兩個(gè)交點(diǎn)A, B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，則|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA| PB|=|t1 t2|=12點(diǎn)撥：利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù)t的幾何意義解決距離問題、距離的乘積（或商）的問題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點(diǎn)坐標(biāo)再利用兩點(diǎn)間的距離公式簡(jiǎn)便.例8：設(shè)拋物線過兩點(diǎn)A(1,6)和B(1,2)，對(duì)稱軸與軸平行，開口向右， 直線y=2+7被拋物線截得的線段長是4，求拋物線方程. 解：由題意，得拋物線的對(duì)稱軸方程為y=2.設(shè)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，2） 方程為(y2)2=2P(x) (P0) 點(diǎn)B(1,2)在拋物線上，(22)2=2P(1) P=8P 代入 得(y2)2=2P2P+16 將直線方程y=2+7化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程tg=2, 為銳角， cos =, sin= 得（t為參數(shù)） 直線與拋物線相交于A，B, 將代入并化簡(jiǎn)得： 0 ，由=0,可設(shè)方程的兩根為t1、t2， 又|AB|=t 2t 1 4 =(4)2 化簡(jiǎn)，得(6P)2=100 P=16 或P=-4(舍去) 所求的拋物線方程為(y2)2=3248點(diǎn)撥：(1)（對(duì)稱性） 由兩點(diǎn)A(1,6)和B(1,2)的對(duì)稱性及拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，設(shè)出拋物線的方程（含P一個(gè)未知量，由弦長AB的值求得P）. (2)利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程解決弦長問題.此題也可以運(yùn)用直線的普通方程與拋物線方程聯(lián)立后，求弦長。對(duì)于有些題使用直線的參數(shù)方程相對(duì)簡(jiǎn)便些.例9：已知橢圓，AB是通過左焦點(diǎn)F1的弦，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)， 求| F2A| F2B|的最大值.解：由橢圓方程知2，b=,c=1, F1(0,0),F2(2,0),設(shè)過的弦所在直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)） 代入橢圓方程整理得（3sin2）t26 t cos9=0 ，=36cos236（3sin2）0此方程的解為t1、t2，分別為A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，由韋達(dá)定理t1t2= t1 t2 根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，t1、t2 分別為過點(diǎn)F1的直線和橢圓的兩個(gè)交點(diǎn) A, B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，| F1A|t1| |F1B|t2| |AB|=t 2t 1 | F1A|F1B|t1|t2|=|t1t2| 由橢圓的第一定義| F1A| F2A|24， | F1B|+| F2B|=24 | F2A| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|F1B| =16-4t 2t 1+|t1t2|=16-4+ =16- 當(dāng)sin21時(shí)，| F2A| F2B|有最大值點(diǎn)撥：求過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交的距離之積，利用直線的參數(shù)方程解 題，此題中兩定點(diǎn)F1(0,0),F2(2,0),顯然F1坐標(biāo)簡(jiǎn)單，因此選擇過F1 的直線的參數(shù)方程，利用橢圓的定義將| F2A| F2B| 轉(zhuǎn)化為| F1A|F1B|. 例10：（黃岡習(xí)題冊(cè)：P155,第23題） （2）除書中解法外，補(bǔ)充解法二. 解法二：設(shè)過點(diǎn)P(,0)的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù) ，且) (1) 直線與圓5相交于B,C將直線的方程(1)代入圓的方程 得 t2+2t cos+250，=(2cos)2-4(25)0. 即 2 sin2+50 (2) tBtC=2cos tB tC= 25 直線與拋物線y2=+7相交于A,D將直線的方程(1)代入拋物線的 方程得(sin2)t2t cos70 ， = cos2-4(sin2)(-7)0 即1+(4+27) sin20 (3) tAtD= tB tC= 又|AB|=|CD| 線段AD與線段BC的中點(diǎn)重合，即 tAtD=tBtC = -2cos 即-2=， ,且 0sin21 將sin2代入(2)、(3) 必須滿足 -10 點(diǎn)撥：此題利用直線參數(shù)方程形式比普通方程求的范圍運(yùn)算量相對(duì)要 小，注意使用直線上兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)的參數(shù).方法總結(jié)：利用直線的參數(shù)方程 （t為參數(shù)），給研究直線與圓錐曲線C：F()=0的位置關(guān)系提供了簡(jiǎn)便的方法. 一般地，把的參數(shù)方程代入圓錐曲線C：F()=0后，可得一個(gè)關(guān)于t 的一元二次方程，=0,1、(1)當(dāng)0時(shí)， 與C相交有兩個(gè)交點(diǎn)；2、 當(dāng)0時(shí)，方程=0的兩個(gè)根分別記為t1、t2，把t1、t2分別代入的參數(shù)方程即可求的與C的兩個(gè)交點(diǎn)A和B的坐標(biāo).3、 定點(diǎn)P0()是弦AB中點(diǎn) t1+t2=04、 被C截得的弦AB的長|AB|t1t2|；P0AP0B= t1t2；弦AB中點(diǎn)M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為；| P0M |=基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試2：7、 直線(t為參數(shù))與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|等于( ) A 2 B C 2 D 8、直線 （t為參數(shù)）與二次曲線A、B兩點(diǎn)，則|AB|等于( ) A |t1+t2| B |t1|t2| C |t1t2| D 9、 直線(t為參數(shù))與圓有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，若P點(diǎn)的坐 標(biāo)為(2,-1),則|PA|PB|=