高考數(shù)學(xué)必修知識講解二元一次不等式（組）與平面區(qū)域基礎(chǔ)

二元一次不等式（組）與平面區(qū)域編稿：張希勇 審稿：李霞 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解不等式有豐富的實際背景,是刻畫區(qū)域的重要工具.2. 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.3. 理解并能畫出二元一次不等式表示的平面區(qū)域.【要點梳理】要點一：二元一次不等式（組）的定義1.二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式.2.二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組.3.二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的和的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對，所有這樣的有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.要點詮釋：注意不等式（組）未知數(shù)的最高次數(shù).要點二：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式（組）的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點之間的關(guān)系：二元一次不等式（組）的解集是有序?qū)崝?shù)對，而點的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對，因此，有序?qū)崝?shù)對就可以看成是平面內(nèi)點的坐標(biāo)，因此，二元一次不等式（組）的解集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點構(gòu)成的集合. 二元一次不等式所表示的平面區(qū)域：在平面直角坐標(biāo)系中，直線將平面分成兩部分，平面內(nèi)的點分為三類：直線上的點（x，y）的坐標(biāo)滿足：；直線一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y）的坐標(biāo)滿足：；直線另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y）的坐標(biāo)滿足：.即二元一次不等式或在平面直角坐標(biāo)系中表示直線的某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，直線叫做這兩個區(qū)域的邊界，（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線，實線表示區(qū)域包括邊界直線）.要點三：二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域由于對在直線同一側(cè)的所有點，把它的坐標(biāo)代入，所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點，從的正負(fù)即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)時，常把原點作為此特殊點）以上判定方法簡稱為“直線定界、特殊點定域”法.不等式組所表示的平面區(qū)域由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.1. 判斷二元一次不等式Ax+By+c0(或0(或0)表示直線的哪一側(cè).2. 畫二元一次不等式或表示的平面區(qū)域的基本步驟：畫出直線（有等號畫實線，無等號畫虛線）；當(dāng)時，取原點作為特殊點，判斷原點所在的平面區(qū)域；當(dāng)時，另取一特殊點判斷；確定要畫不等式所表示的平面區(qū)域.要點詮釋： “直線定界，特殊點定域”二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的重要方法.【典型例題】類型一：二元一次不等式表示的平面區(qū)域例1. 畫出不等式表示的平面區(qū)域.【解析】先畫直線（畫成虛線）.取原點代入得,原點不在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：【總結(jié)升華】 1. 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點定域”的方法.特殊地，當(dāng)時，常把原點作為此特殊點.2. 虛線表示區(qū)域不包括邊界直線，實線表示區(qū)域包括邊界直線舉一反三：【變式1】畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域（1）； （2）【答案】 （1） （2）【變式2】(2015漳州模擬)圖中陰影（包括直線）表示的區(qū)域滿足的不等式是（ ）Ax-y-10 Bx-y+10 Cx-y-10 Dx-y+10【答案】直線對應(yīng)的方程為x-y-10，對應(yīng)的區(qū)域，在直線的下方，當(dāng)x0，y0時，0-0-10，即原點在不等式x-y-10對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則陰影(包括直線)表示的區(qū)域滿足的不等式是x-y-10，故選：A【變式3】（2016 馬鞍山）不等式3x+2y60表示的區(qū)域是（ ） 【答案】可判原點適合不等式3x+2y60，故不等式3x+2y60所表示的平面區(qū)域為直線3x+2y6=0的左下方，故選D。類型二：二元一次不等組表示的平面區(qū)域例2. 用平面區(qū)域表示不等式組【思路點撥】不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分?！窘馕觥坎坏仁統(tǒng)+50表示直線y+50上及右下方的點的集合，+y0表示直線x+y0上及右上方的點的集合，x3表示直線x3上及左方的點的集合.不等式組表示平面區(qū)域即為圖示的三角形區(qū)域：【總結(jié)升華】不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.舉一反三：【變式1】用平面區(qū)域表示不等式組.【解析】不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集.【變式2】畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域.（1）； （2）； 【答案】 （1） （2） 例3. 畫出下列不等式表示的平面區(qū)域(1) ； (2) 【思路點撥】將原不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式組，然后畫圖.【解析】(1) 原不等式等價轉(zhuǎn)化為或（無解），故點在區(qū)域內(nèi)，如圖：(2) 原不等式等價為或，如圖【總結(jié)升華】把非規(guī)范形式等價轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解舉一反三：【變式1】用平面區(qū)域表示不等式【答案】【變式2】用平面區(qū)域表示不等式（1）； （2）； （3）【答案】 （1） （2） （3）類型三：求平面區(qū)域的面積【高清課堂：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域392663例題1】例4求不等式組表示的平面區(qū)域的面積.【解析】【法1】（特殊三角形）顯然為等腰直角三角形，易得B點坐標(biāo)為，C點坐標(biāo)為 ，則 .【法2】（面積公式）易得A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，C點坐標(biāo)為 ，則由點到直線的距離公式得高 .【法3】（向量法）易得A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，C點坐標(biāo)為 ，則， .故不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于36.【總結(jié)升華】這一類問題的關(guān)鍵是正確畫出所求平面區(qū)域，其實質(zhì)是二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的應(yīng)用，注意圖形的分解轉(zhuǎn)化舉一反三：【變式】畫出不等式組表示的平面區(qū)域并求其面積.【答案】如圖，面積為；例5（2015吉安一模）在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組，（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于5，則a的值為( )A-11 B3 C9 D9或-11【答案】C【思路點撥】aa作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用對應(yīng)圖形的面積即可得到a的值【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，若不等式組構(gòu)成平面區(qū)域則a0，此時對應(yīng)的區(qū)域為ABC，則A(1，0)，B(0，1)，C(1，1+a)， AC1+a，則ABC的面積，解得a9，故選：C【總結(jié)升華】本題主要考查線二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】（2015岳陽二模）已知x、yR，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為6，則實數(shù)k的值為( )A1 B2 C3 D4【答案】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域：則k0由，解得，即A(-2k，k)，由，解得，即B(k，k) 平面區(qū)域的面積是9， ，即解得k2，解得k2或k-2（舍），故選：B類型四：實際應(yīng)用問題【高清課堂：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域392663 例題4】例6. 某人準(zhǔn)備投資1 200萬元興辦一所完全中學(xué)，對教育市場進行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格(以班級為單位)(注：初、高中的教育周期均為三年，辦學(xué)規(guī)模以2030個班為宜，老師實行聘任制).學(xué)段班級學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)教師年薪初中45226萬元/班2萬元/人高中40354萬元/班2萬元/人【思路點撥】本題中條件較多，應(yīng)分門列類列出約束條件后，再運用圖解法進行求解。分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件【解析】設(shè)開設(shè)初中班x個，高中班y個根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)限制在2030之間，所以有20xy30.考慮到所投資金的限制，得到26x54y22x23y1 200，即x2y40.另外，開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù)且為整數(shù)，即，.把上面四個不等式合在一起，得到：用圖形表示這個限制條件，得到如圖中的平面區(qū)域(陰影部分)【總結(jié)升華】用平面區(qū)域來表示實際問題相關(guān)