高考數(shù)學(xué)選修知識講解 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（理）

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 編稿：趙雷 審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布 2能利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)每次試驗(yàn)只考慮兩種可能結(jié)果與，并且事件發(fā)生的概率相同。在相同的條件下重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。要點(diǎn)詮釋：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，一定要抓住四點(diǎn)：每次試驗(yàn)在同樣的條件下進(jìn)行；每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果與，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生； 每次試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的概率是相同的；各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立?？傊?，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在同樣的條件下重復(fù)的，各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中，每一次的試驗(yàn)結(jié)果只有兩種，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的。要點(diǎn)二、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式1.定義如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為：（k=0，1，2，n）令得，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A沒有發(fā)生的概率為令得，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A全部發(fā)生的概率為。要點(diǎn)詮釋：1. 在公式中，n是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，p是一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，只有弄清公式中n，p，k的意義，才能正確地運(yùn)用公式2. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更方便要點(diǎn)三、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)常見實(shí)例：1.反復(fù)拋擲一枚均勻硬幣2.已知產(chǎn)品率的抽樣3.有放回的抽樣4.射手射擊目標(biāo)命中率已知的若干次射擊要點(diǎn)詮釋：抽樣問題中的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停簭漠a(chǎn)品中有放回地抽樣是獨(dú)立事件，可按獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來處理；從小數(shù)量的產(chǎn)品中無放回地抽樣不是獨(dú)立事件，只能用等可能事件計(jì)算；從大批量的產(chǎn)品中無放回地抽樣，每次得到某種事件的概率是不一樣的，但由于差別太小，相當(dāng)于是獨(dú)立事件，所以一般情況下仍按獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來處理。要點(diǎn)四、離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布1. 定義：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是，則此事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生次的概率是，（）于是得到離散型隨機(jī)變量的概率分布如下：01knP由于表中第二行恰好是二項(xiàng)展開式中各對應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作要點(diǎn)詮釋：判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有三：其一是獨(dú)立性。即每次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；其二是重復(fù)性。即試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次；其三是試驗(yàn)的結(jié)果的獨(dú)特性。即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與不發(fā)生，二者必居其一。2如何求有關(guān)的二項(xiàng)分布（1）分清楚在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，共進(jìn)行了多少次重復(fù)試驗(yàn)，即先確定n的值，然后確定在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是多少，即確定p的值，最后再確定某事件A恰好發(fā)生了多少次，即確定k的值；（2）準(zhǔn)確算出每一種情況下，某事件A發(fā)生的概率；（3）用表格形式列出隨機(jī)變量的分布列?！镜湫屠}】類型一、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率例1 有一批種子，每粒發(fā)芽的概率為0.90，播下5粒種子，計(jì)算： （1）其中恰有4粒發(fā)芽的概率（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）； （2）其中至少有4粒發(fā)芽的概率（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字） 【思路點(diǎn)撥】 播下5粒種子相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式即可 【解析】 （1）播下5粒種子相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率公式，5粒種子恰好4粒發(fā)芽的概率為 （2）5粒種子至少有4粒發(fā)芽的概率，就是5粒種子恰有4粒發(fā)芽與5粒種子都發(fā)芽的概率的和， 即【總結(jié)升華】 解決此類問題，首先應(yīng)明確是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值舉一反三：【變式1】某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為，計(jì)算（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）：（1）5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；（2）5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率【答案】（1）記“預(yù)報(bào)1次，結(jié)果準(zhǔn)確”為事件則，且預(yù)報(bào)5次相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；（2）5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率： 【變式2】（2015秋 青海校級期末）若，則等于（ ）A B C D【答案】D?！咀兪?】某車間的5臺機(jī)床在1小時內(nèi)需要工人照管的概率都是，求1小時內(nèi)5臺機(jī)床中至少2臺需要工人照管的概率是多少？（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）【答案】記事件“1小時內(nèi)，1臺機(jī)器需要人照管”，1小時內(nèi)5臺機(jī)器需要照管相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1小時內(nèi)5臺機(jī)床中沒有1臺需要工人照管的概率，1小時內(nèi)5臺機(jī)床中恰有1臺需要工人照管的概率，所以1小時內(nèi)5臺機(jī)床中至少2臺需要工人照管的概率為答：1小時內(nèi)5臺機(jī)床中至少2臺需要工人照管的概率約為【高清課堂：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布409089 例題1】例2實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，規(guī)定5局3勝（即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出，并停止比賽）（1）試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率；（2）按比賽規(guī)則甲獲勝的概率?！舅悸伏c(diǎn)撥】首先要真正弄明白打完4局、5局才能取勝的比賽具體情況?！窘馕觥浚?）甲、乙兩隊(duì)實(shí)力相等，所以每局比賽甲、乙獲勝的概率均為，記事件A=“甲打完3局就取勝”，記事件B=“甲打完4局才能取勝”，記事件C=“甲打完5局才能取勝”。甲打完3局取勝，相當(dāng)于進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每局比賽甲均取勝甲打完3局取勝的概率為甲打完4局才能取勝，相當(dāng)于進(jìn)行4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第4局比賽取勝，前3局為2勝1負(fù)甲打完4局才能取勝的概率為甲打完5局才能取勝,相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第5局比賽取勝，前4局恰好2勝2負(fù)甲打完5局才能取勝的概率為(2)事件“按比賽規(guī)則甲獲勝”，則，又因?yàn)槭录?、彼此互斥，按比賽?guī)則甲獲勝的概率為 【總結(jié)升華】在“五局三勝制”的規(guī)則下，比賽不一定要打滿五局，這就要根據(jù)實(shí)際比賽情況分類討論，切不可盲目套用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，否則會得到錯誤的結(jié)論。本題中，無論比賽幾局，只要甲獲勝，必須甲在最末一局勝，如比賽4局，甲以3：1獲勝，須前三局中甲勝二局負(fù)一局，第四局甲勝 舉一反三：【變式】甲乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采取三局兩勝制還是五局三勝制對甲更有利？你對局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識？【答案】三局兩勝制中，甲獲勝分三種情形：甲連勝兩局；甲前兩局中勝一局，第三局勝故P(甲獲勝)0.620.620.40.648.五局三勝制中，甲獲勝分三種情形：甲連勝三局；甲前三局中勝兩局，第四局勝；甲前四局中勝兩局，第五局勝故P(甲獲勝)0.630.630.40.630.420.683.可以看出五局三勝制對甲有利，并由此可以猜測比賽的總局?jǐn)?shù)越多甲獲勝的概率越大因此，為使比賽公平，比賽的局?jǐn)?shù)不能太少類型二、離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布例3.已知一袋中裝有6個黑球，4個白球，有放回地依次取出3個球，求取到的白球個數(shù)X的分布列?！舅悸伏c(diǎn)撥】有放回地依次取出3個球，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其取到的白球個數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即，故可用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式來計(jì)算，從而寫出分布列?！窘馕觥吭O(shè)“取一次球，取到白球”為事件A，可得，因?yàn)檫@三次摸球互不影響，所以。所以離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P【總結(jié)升華】本題的關(guān)鍵是首先確定進(jìn)行了三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后確定每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，從而可知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，然后運(yùn)用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算。注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，這里n是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，p是每次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率。舉一反三：【變式1】（2015春 葫蘆島期末）設(shè)隨機(jī)變量服從XB（2，P），YB（3，P），若，則P（Y=2）=_【答案】 隨機(jī)變量服從XB（2，P），故答案為：【變式2】9粒種子分別種在3個坑內(nèi)，每個坑內(nèi)種3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個坑內(nèi)至少有一粒種子發(fā)芽，則這個坑就不需要補(bǔ)種，若一個坑內(nèi)的種子都沒有發(fā)芽，則這個坑就需要補(bǔ)種，假定每個坑至多補(bǔ)種一次，每補(bǔ)種子1次需10元，寫出補(bǔ)種費(fèi)用X的分布列。（精確到0.01）【答案】因?yàn)閱蝹€坑內(nèi)3粒子種都不發(fā)芽的概率為，所以單個坑內(nèi)不需要補(bǔ)種的概率為；3個坑都不需要補(bǔ)種的概率為；恰有1個坑需要補(bǔ)種的概率為；恰有2個坑需要補(bǔ)種的概率為；3個坑都需要補(bǔ)種的概率為。所以補(bǔ)種費(fèi)用X的分布列為X0102030P0.6700.2870.0410.002【變式3】 某射手擊中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)有4發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或打完子彈就停止射擊，求射擊次數(shù)X的概率分布 【答案】錯解： X的可能取值是1，2，3，4 P（X=1）=0.8； ； 所以X的概率分布列為X1234P0.80.320.0960.0256 錯解分析： 錯將本題理解為二項(xiàng)分布，本題實(shí)質(zhì)上不是二項(xiàng)分布，而是求事件A首次發(fā)生出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)中的概率，要使首次發(fā)生出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)，必須而且只需在前（k1）次試驗(yàn)中都出現(xiàn) 正解 X的可能取值是1，2，3，4 P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.20.8=0.16； P（X=3）=0.220.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008所以X的概率分布列為X1234P0.80.160.0320.008類型三、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布綜合應(yīng)用例4某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，且每次射擊的結(jié)果互不影響，已知射手射擊了5次，求：（1）其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)的概率；（2）其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率；（3）其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒有擊中目標(biāo)的概率?！舅悸伏c(diǎn)撥】由于“每次射擊擊中目標(biāo)”的概率相同，各次射擊的結(jié)果互不影響，相互獨(dú)立，所以射擊5次，即為5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?！窘馕觥浚?）該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，相當(dāng)于射擊了5次，在第一、三、五次擊中目標(biāo)，在第二、四次沒有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又因?yàn)楦鞔紊鋼舻慕Y(jié)果互不影響，故所求概率為；（2）法一：該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)。相當(dāng)于5次當(dāng)中選3次擊中，其余兩次未擊中，共有種情況。故所求概率為；法二：因?yàn)楦鞔紊鋼舻慕Y(jié)果互不影響，所以符合n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型。該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率為；（3）該射手射擊了5次，其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒有目標(biāo)，把3次連續(xù)擊中目標(biāo)看成一個整體，可得共有種情況。故所求概率為?！究偨Y(jié)升華】注意“恰有k次發(fā)生”和“某指定的k次發(fā)生”的差異。舉一反三：【變式1】某人對一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少應(yīng)射擊幾次？【答案】設(shè)要使至少命中1次的概率不小于0.75，應(yīng)射擊次記事件“射擊一次，擊中目標(biāo)”，則射擊次相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件至少發(fā)生1次的概率為由題意，令，至少取5答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少應(yīng)射擊5次【變式2】甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是 .假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響； 每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響. （）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；（）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊.問:乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？【答案】（1）記“甲連續(xù)射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，射擊4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P（A1）=答：甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率為 ；(2) 記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中” 為事件Di，（i=1，2，3，4，5），則 ，由于各事件相互獨(dú)立，故答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是 【高清課堂：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布409089 例題5】【變式3】某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料。（）求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率；（）求中獎人數(shù)的分布列.【答案】（1）設(shè)甲、乙、丙中獎的事件分別為A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率為6分（2）的可能值為0,1,2,3P(=k)=(k=0,1,2,3)所以中獎人數(shù)的分布列為0123P例6一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4 數(shù)字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球, 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為.(1) 求=3時的概率; (2) 求的概率分布列.【思路點(diǎn)撥】取出的三個球中數(shù)字最大者為3的事件分為三類，每類為典型的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?！敬鸢浮?(1) =3表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率 P1=三取取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為3的概率(2) 在=k時, 利用(1)的原理可知: (k=1,2,3,4). 的概率分布列為: 1 2 3 4 P【總結(jié)升華】本題主要考查限制條件下的概率計(jì)