廣東省佛山市順德區(qū)2020學年高二數(shù)學下學期期末考試理試題（含解析）

廣東省佛山市順德區(qū)2020學年高二數(shù)學下學期期末考試理試題（含解析）注意事項：1. 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上，并用2B鉛筆在答題卡上的相應位置填涂考生號。2. 回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3. 回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4. 考試結束后，將答題卡交回。第I卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)的共軛復數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化簡復數(shù)，再計算共軛復數(shù).【詳解】故答案選D【點睛】本題考查了復數(shù)的計算和共軛復數(shù)，屬于簡單題.2.曲線在處的切線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求導，把分別代入導函數(shù)和原函數(shù)，得到斜率和切點，再計算切線方程.【詳解】將代入導函數(shù)方程，得到將代入曲線方程，得到切點為：切線方程為：故答案選C【點睛】本題考查了曲線的切線，意在考查學生的計算能力.3.已知離散型隨機變量的分布列如下，則（ ）024A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析】先計算，再根據(jù)公式計算得到【詳解】故答案選B【點睛】本題考查了方差的計算，意在考查學生的計算能力.4.若點在橢圓內，則被所平分的弦所在的直線方程是，通過類比的方法，可求得：被所平分的雙曲線的弦所在的直線方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通過類比的方法得到直線方程是，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】所平分的弦所在的直線方程是，通過類比的方法，可求得雙曲線的所平分的弦所在的直線方程是代入數(shù)據(jù)，得到：故答案選A【點睛】本題考查了類比推理，意在考查學生的推理能力.5.拋物線和直線所圍成的封閉圖形的面積是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先計算拋物線和直線的交點，再用定積分計算面積.【詳解】所圍成的封閉圖形的面積是：故答案為C【點睛】本題考查了定積分的應用，意在考查學生應用能力和計算能力.6.函數(shù)的圖像大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除選項得到答案.【詳解】 ，排除B，排除D排除C故答案選A【點睛】本題考查了函數(shù)的圖像，取特殊值可以簡化運算.7.已知，用數(shù)學歸納法證明時，從假設推證成立時，需在左邊的表達式上多加的項數(shù)為（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】分別計算和時項數(shù)，相減得到答案.【詳解】時，共有項.時，共有項.需在左邊的表達式上多加的項數(shù)為：故答案選B【點睛】本題考查了數(shù)學歸納法，意在考查學生的計算能力.8.從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高（單位：）與體重（單位：）數(shù)據(jù)如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知與的線性回歸方程為，那么選取的女大學生身高為時，相應的殘差為（ ）A. B. 0. 96C. 63. 04D. 【答案】B【解析】【分析】將175代入線性回歸方程計算理論值，實際數(shù)值減去理論數(shù)值得到答案.【詳解】已知與線性回歸方程為當時：相應的殘差為：故答案選B【點睛】本題考查了殘差的計算，意在考查學生的計算能力.9.若函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求導，計算函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)區(qū)間上是單調函數(shù)得到答案.【詳解】單調遞增，單調遞減.函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)區(qū)間上是單調遞減不滿足只能區(qū)間上是單調遞增.故故答案選B【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性，排除單調遞減的情況是解題的關鍵.10.把編號分別為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的電影票超過一張，則必須是連號，那么不同分法的種數(shù)為（ ）A. 36B. 40C. 42D. 48【答案】A【解析】【分析】將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.【詳解】當分的票數(shù)為這種情況時：當分的票數(shù)為這種情況時：一張票數(shù)的人可以選擇：不同分法的種數(shù)為36故答案選A【點睛】本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡化運算.11.已知，則（ ）A. 36B. 40C. 45D. 52【答案】A【解析】【分析】利用二項式展開式的通項公式，分別計算和，相加得到答案.【詳解】故答案選A【點睛】本題考查了二項式的計算，意在考查學生的計算能力.12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若對任意的，都有成立，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù) ，判斷函數(shù)的單調性和奇偶性，根據(jù)其性質解不等式得到答案.【詳解】對任意的，都有成立構造函數(shù)在上遞增.是偶函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調遞增.當時：當時：故答案選D【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調性，解不等式，構造函數(shù)是解題的關鍵.第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)_.【答案】2【解析】【分析】化簡復數(shù)，實部為0，計算得到答案.【詳解】為純虛數(shù)故答案為2【點睛】本題考查了復數(shù)的計算，屬于簡單題.14.已知函數(shù)，則_.【答案】【解析】【分析】求導，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)的計算，意在考查學生的計算能力.15.若的展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中常數(shù)項等于_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意先計算，再用展開式的通項公式計算常數(shù)項.【詳解】若的展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等.當時為常數(shù)項，為故答案為：【點睛】本題考查了二項式的計算，先判斷是解題的關鍵.16.已知平面上1個三角形最多把平面分成2個部分，2個三角形最多把平面分成8個部分，3個三角形最多把平面分成20個部分，4個三角形最多把平面分成38個部分，5個三角形最多把平面分成62個部分，以此類推，平面上個三角形最多把平面分成 _個部分.【答案】【解析】【分析】設面上個三角形最多把平面分成個部分，歸納出，利用累加法的到答案.【詳解】設面上個三角形最多把平面分成個部分.歸納：利用累加法：故答案為：【點睛】本題考查了歸納推理，累加法，綜合性強，意在考查學生歸納推理和解決問題的能力.三、解答題：本大題共7小題，共70分，解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.某同學在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù). （是虛數(shù)單位）（）從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（）根據(jù)三個式子的結構特征及（）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復數(shù)恒等式，并證明你的結論.【答案】（I）（II）結論為（且不同時為零），證明見解析【解析】【分析】（）將三個式子化簡答案都為.（II）觀察結構歸納結論為，再利用復數(shù)的計算證明結論.【詳解】（I）（II）根據(jù)三個式子的結構特征及（I）的計算結果，可以得到：（且不同時為零）下面進行證明：要證明只需證只需證因為上式成立，所以成立.（或直接利用復數(shù)的乘除運算得出結果）【點睛】本題考查了復數(shù)的計算和證明，意在考查學生的歸納能力.18.某高中高二年級1班和2班的學生組隊參加數(shù)學競賽，1班推薦了2名男生1名女生，2班推薦了3名男生2名女生. 由于他們的水平相當，最終從中隨機抽取4名學生組成代表隊.（）求1班至少有1名學生入選代表隊的概率；（）設表示代表隊中男生的人數(shù)，求的分布列和期望.【答案】（I）（II）見解析【解析】【分析】（）用1減去沒有1班同學入選的概率得到答案.（）的所有可能取值為1，2，3，4，分別計算對應概率得到分布列，再計算期望.【詳解】（I）設1班至少有1名學生入選代表隊為事件則 （II）的所有可能取值為1，2，3，4，.因此的分布列為1234.【點睛】本題考查了概率的計算，分布列和數(shù)學期望，意在考查學生的應用能力和計算能力.19.隨著人們生活水平的日益提高，人們對孩子的培養(yǎng)也愈發(fā)重視，各種興趣班如雨后春筍般出現(xiàn)在我們日常生活中. 據(jù)調查，36歲的幼兒大部分參加的是藝術類，其中舞蹈和繪畫比例最大，就參加興趣班的男女比例而言，女生參加興趣班的比例遠遠超過男生. 隨機調查了某區(qū)100名36歲幼兒在一年內參加舞蹈或繪畫興趣班的情況，得到如下表格：不參加舞蹈且不參加繪畫興趣班參加舞蹈不參加繪畫興趣班參加繪畫不參加舞蹈興趣班參加舞蹈且參加繪畫興趣班人數(shù)14352625（）估計該區(qū)36歲幼兒參加舞蹈興趣班的概率；（）通過所調查的100名36歲幼兒參加興趣班的情況，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99. 9%的把握認為參加舞蹈興趣班與性別有關. 參加舞蹈興趣班不參加舞蹈興趣班總計男生10女生70總計附：. 0. 100. 050. 0250. 0100. 0050. 0012. 7063. 8415. 0246. 6357. 87910. 828【答案】（I）（II）有的把握認為參加舞蹈興趣班與性別有關，詳見解析【解析】【分析】（）畫出韋恩圖，計算參加舞蹈班的人數(shù)，再計算概率.（）補全列聯(lián)表，計算，與臨界值表作比較得到答案.【詳解】（I）畫出韋恩圖得：（II）參加舞蹈興趣班不參加舞蹈興趣班總計男生102030女生502070總計6040100所以，有的把握認為參加舞蹈興趣班與性別有關.【點睛】本題考查了概率的計算，列聯(lián)表，意在考查學生的計算能力.20.已知函數(shù)，當時，函數(shù)有極大值8（）求函數(shù)的解析式；（）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（I）（II）【解析】【分析】（）求導，當時，導函數(shù)為0，原函數(shù)為8，聯(lián)立方程解得（）參數(shù)分離，設，求在區(qū)間上的最大值得到答案.【詳解】（I）當時，函數(shù)有極大值8，解得所以函數(shù)的解析式為.（II）不等式在區(qū)間上恒成立在區(qū)間上恒成立令，則由解得，解得所以當時，單調遞增，當時，單調遞減所以對，都有，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了極值的性質，參數(shù)分離，恒成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題是解題的關鍵.21.某玻璃工廠生產(chǎn)一種玻璃保護膜，為了調查一批產(chǎn)品的質量情況，隨機抽取了10件樣品檢測質量指標（單位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 經(jīng)計算得，,生產(chǎn)合同中規(guī)定：質量指標在62分以上的產(chǎn)品為優(yōu)質品，一批產(chǎn)品中優(yōu)質品率不得低于15%.（）以這10件樣品中優(yōu)質品的頻率估計這批產(chǎn)品的優(yōu)質品率，從這批產(chǎn)品中任意抽取3件，求有2件為優(yōu)質品的概率；（）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這種產(chǎn)品的質量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布，是否有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質品率滿足生產(chǎn)合同的要求？附：若，則，【答案】（I）（II）有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質品率滿足生產(chǎn)合同的要求，詳見解析【解析】【分析】（）10件樣品中優(yōu)質品的頻率為，記任取3件，優(yōu)質品數(shù)為，則，計算得到答案.（）記這種產(chǎn)品的質量指標為，由題意知,得到答案.【詳解】（I）10件樣品中優(yōu)質品的頻率為，記任取3件，優(yōu)質品數(shù)為，則，（II）記這種產(chǎn)品的質量指標為，由題意知則有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質品率滿足生產(chǎn)合同的要求.【點睛】本題考查了二項分布，正態(tài)分布，意在考查學生的應用能力和計算能力.22.已知函數(shù).（I）討論的單調性；（II）若，求證：當時，.【答案】（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解析】【分析】（I）求導，根據(jù)三種情況討論單調性（II）將需要證明的不等式轉化為：分別計算不等式左邊的最大值和右邊的最小值，比較得證.【詳解】（I）的定義域為當時，在上單調遞增；當時，解得，解得，在上單調遞增，上單調遞減；當時，解得，解得在上單調遞增，上單調