安徽數(shù)學(xué)理科

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù) 學(xué)（理科）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第卷第1至第2頁，第卷第3至第4頁全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘考生注意事項(xiàng)：1 答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的座位號(hào)、姓名，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中“座位號(hào)、姓名、科類”與本人座位號(hào)、姓名、科類是否一致2 答第卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)3 答第卷時(shí)，必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫在試題卷上作答無效4 考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回參考公式：如果事件互斥，那么球的表面積公式 其中表示球的半徑如果事件相互獨(dú)立，那么 球的體積公式 其中表示球的半徑如果隨機(jī)變量 第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）復(fù)數(shù)（ ）A2 B2 C D【解析】 ，選A。（2）集合，則下列結(jié)論正確的是（ ） A BC D【解析】 ，又 ，選D。（3）在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線。若，則A B C D【解析】 因?yàn)椋xB。（4）已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）A BC D【解析】 若，則可相交，平行、異面均可，錯(cuò)；若，則可平行，也可相交，錯(cuò)誤；若，的位置關(guān)系決定的關(guān)系，也錯(cuò)誤；若，則（線面垂直的性質(zhì)定理），故選。（5）將函數(shù)的圖象按向量平移后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則向量的坐標(biāo)可能為（ ）A B C D【解析】設(shè)平移向量，則函數(shù)按向量平移后的表達(dá)式為，因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故代入得： ，得：，選C。本題也可以從選擇支出發(fā)，逐個(gè)排除也可。（6）設(shè)則中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）A2 B3 C4 D5【解析】由題知，逐個(gè)驗(yàn)證知，其它為偶數(shù)，選A。（7）是方程至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根的（ ）A必要不充分條件 B充分不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)，得時(shí)方程有根。時(shí)，方程有負(fù)根，又時(shí)，方程根為，所以選B【方法二】這一題是課本習(xí)題改編題，當(dāng) ，顯然有，則有一負(fù)數(shù)根，具備充分性；反之若方程有一負(fù)數(shù)根，或 或，得到，不具備必要性，因此選。注意“討論要全面”。（8）若過點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為A BCD【解析】【方法一】利用距離與半徑的關(guān)系點(diǎn) 在圓外，因此斜率必存在。設(shè)直線方程為，即，直線與曲線有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于等于半徑 ，得，選擇C【方法二】數(shù)形結(jié)合法（如圖） 另外，數(shù)形結(jié)合畫出圖形也可以判斷C正確。（9）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。而函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，若，則的值是（ ）A B C D 【解析】由題設(shè)“函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”，即函數(shù)與互為反函數(shù)；又由“函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”知?jiǎng)t，選B。（10）設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示。則有（ ）A BC D【解析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于對(duì)稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點(diǎn)越底且彎曲較平緩，正態(tài)分布越分散；反過來，越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭，選A。（11）若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有A BC D【解析】 用代換x得： ，解得：，而單調(diào)遞增且大于等于0，選D。（12）12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是A B C D 【解析】從后排8人中選2人共種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個(gè)空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，故為；綜上知選C。2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù) 學(xué)（理科）第卷（非選擇題 共90分）考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置（13）函數(shù)的定義域?yàn)?【解析】由，解得：，值域?yàn)椤＃?4）在數(shù)列中，其中為常數(shù)，則的值是 ?！窘馕觥?從而。，則。（15）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 。【解析】如圖知是斜邊為3 的等腰直角三角形，是直角邊為1等腰直角三角形，區(qū)域的面積（16）已知在同一個(gè)球面上,若，則兩點(diǎn)間的球面距離是 ?！窘馕觥?如圖，易得，則此球內(nèi)接長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)為AB、BC、CD（CD的對(duì)邊與CD等長(zhǎng)），從而球外接圓的直徑為，。則BC與球心構(gòu)成的大圓如圖，因?yàn)镺BC為正三角形，則B，C兩點(diǎn)間的球面距離是。三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的值域。解：本題主要考察三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，區(qū)間上的三角函數(shù)的值域等.考察運(yùn)算能力和推理能力，本小題滿分12分。（） 周期.由，得. 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為。（）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值 1。又 ， 當(dāng)時(shí)，取最小值。所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?。?8）（本小題滿分12分如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大小； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。解：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角及點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。本小題滿分12分。方法一（綜合法）： （I）取的中點(diǎn)，連接、.，.又 ， 平面平面 平面。（II），為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）。作于點(diǎn)，連接. 平面， . ， . ， ， .所以，異面直線與所成的角為.（III）平面，所以點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等。連接，過點(diǎn)作于點(diǎn). ， 平面， .又 ，平面，線段的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離相等。， .所以，點(diǎn)到平面的距離為.方法二：（向量法）作于點(diǎn)P，如圖,分別以AB，AP，AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系 （）設(shè)平面OCD的法向量為，則，即 取，解得 。（）設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為。（）設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為，則為在向量上的投影的絕對(duì)值，由 , 得。所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為。 （19）（本小題滿分12分）為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望，標(biāo)準(zhǔn)差為。（）求n，p的值并寫出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率。解：本題主要考查二項(xiàng)分布的分布列、數(shù)學(xué)期望以及標(biāo)準(zhǔn)差的概念和計(jì)算，考查分析問題及解決實(shí)際問題的能列。本小題滿分12分。由題意知，服從二項(xiàng)分布，（）由得，從而的分布列為0123456（）記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則 得 或 。（20）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)。（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （）已知對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用單調(diào)性求最值以及不等式的性質(zhì)。本小題滿分12分。（）若 則 。列表如下 +0單調(diào)增極大值單調(diào)減單調(diào)減 所以，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和。（） 在 兩邊取對(duì)數(shù)，得，由于所以 （1）由（）的結(jié)果可知，當(dāng)時(shí), , 為使（1）式對(duì)所有成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即（21）（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)。（）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；（）設(shè)，證明：；（）設(shè)，證明：。解：本題主要考查等比數(shù)列的求和、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題和解決問題的能力。本小題滿分13分。（）必要性 ：，又 ，即。充分性 ：設(shè)，對(duì)任意用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時(shí)，.假設(shè)當(dāng)時(shí)，則，且，.由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)任意成立。 （）設(shè)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，.，由（）知， 且， ， 。（）設(shè)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。 當(dāng)時(shí)，由（）知，。（22）（本小題滿分13分）設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為。（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上。解：本題主要考查直線、橢圓的方程及幾何性質(zhì)、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和分