《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題(每題3分 共18分)（1）（2）設(shè)隨機(jī)變量X其概率分布為 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 則（ ）。(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) 設(shè)事件與同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致事件發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A） （B）（C） （D）1D 2A 3B 4A 5A 6B填空題1. 2. , （1）如果，則 （2）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則的密度函數(shù) ， .三、(6分) 設(shè) 相互獨(dú)立，求.四、（6 分）某賓館大樓有4部電梯，通過(guò)調(diào)查，知道在某時(shí)刻T，各電梯在運(yùn)行的概率均為0.7，求在此時(shí)刻至少有1臺(tái)電梯在運(yùn)行的概率。五、（6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 ，求隨機(jī)變量Y=2X+1的概率密度。六、（8分） 已知隨機(jī)變量和的概率分布為 (1) 而且.求隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布; (2)判斷與是否相互獨(dú)立? 七、（8分）設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（1）；（2）求的邊緣密度。八、（6分）一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命 （以年計(jì)）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。工廠規(guī)定，出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換。若工廠售出一臺(tái)設(shè)備盈利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元，求工廠出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利的期望。十、（7分）設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1 000戶居民用電，各戶用電情況相互獨(dú)立。已知每戶每日用電量（單位：度）服從0，20上的均勻分布，利用中心極限定理求這1 000戶居民每日用電量超過(guò)10 100度的概率。（所求概率用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的值表示）三、解： 0.88= = (因?yàn)橄嗷オ?dú)立).2分 = 3分 則 .4分 6分解：用表示時(shí)刻運(yùn)行的電梯數(shù)， 則 .2分所求概率 4分 =0.9919 .6分 解：因?yàn)槭菃握{(diào)可導(dǎo)的，故可用公式法計(jì)算 .1分 當(dāng)時(shí)， .2分由， 得 4分從而的密度函數(shù)為 .5分= .6分解：因?yàn)?，所?1)根據(jù)邊緣概率與聯(lián)合概率之間的關(guān)系得出 -1 0 101000 .4分(2) 因?yàn)?所以 與不相互獨(dú)立 8分解：用表示第戶居民的用電量，則 2分則1000戶居民的用電量為，由獨(dú)立同分布中心極限定理 3分= 4分 .6分= 7分解：（1） .2分 = = .4分（2） .6分 .8分因?yàn)?得 .2分用表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈盈利 3分則 .4分所以 （元）一、填空題(每小題3分,共30分)1、“事件中至少有一個(gè)不發(fā)生”這一事件可以表示為 .2、設(shè),則_.3、袋中有6個(gè)白球,5個(gè)紅球,從中任取3個(gè),恰好抽到2個(gè)紅球的概率 .4、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為則_.5、設(shè)隨機(jī)變量在內(nèi)服從均勻分布,則 .6、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則的分布律是 .7、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布,且已知 則 .8、設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,是樣本均植,則服從的分布是 二、(本題12分)甲乙兩家企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.甲企業(yè)生產(chǎn)的60件產(chǎn)品中有12件是次品,乙企業(yè)生產(chǎn)的50件產(chǎn)品中有10件次品.兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品混合在一起存放,現(xiàn)從中任取1件進(jìn)行檢驗(yàn).求:(1)求取出的產(chǎn)品為次品的概率;(2)若取出的一件產(chǎn)品為次品,問(wèn)這件產(chǎn)品是乙企業(yè)生產(chǎn)的概率.三、(本題12分)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 (1)確定常數(shù); (2)求的分布函數(shù); (3)求. 四、(本題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布律為 試求: (1) a的值; (2)與的邊緣分布律; (3)與是否獨(dú)立?為什么?五、(本題12分) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求一、填空題(每小題3分,共30分)1、或 2、0.6 3、或或0.3636 4、1 5、6、 7、1 8、二、解 設(shè)分別表示取出的產(chǎn)品為甲企業(yè)和乙企業(yè)生產(chǎn),表示取出的零件為次品,則由已知有 2分 (1)由全概率公式得 7分 (2)由貝葉斯公式得 12分三、(本題12分)解 (1)由概率密度的性質(zhì)知 故.3分 (2)當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), ; 故的分布函數(shù)為 9分 (3) 12分四、解 (1)由分布律的性質(zhì)知 故4分(2)分別關(guān)于和的邊緣分布律為 6分 8分 (3)由于,故 所以與不相互獨(dú)立.12分五、(本題12分) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求.解 6分9分12分一、 填空題（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|) = 0.85, 則P(A|) = P( AB) =2、設(shè)事件A與B獨(dú)立，A與B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相等，則A發(fā)生的概率為： ；3、一間宿舍內(nèi)住有6個(gè)同學(xué)，求他們之中恰好有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率：沒(méi)有任何人的生日在同一個(gè)月份的概率4、已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：, 則常數(shù)A= , 分布函數(shù)F(x)= , 概率 ；5、設(shè)隨機(jī)變量X B(2，p)、Y B(1，p)，若，則p = ，若X與Y獨(dú)立，則Z=max(X,Y)的分布律： ；6、設(shè)且X與Y相互獨(dú)立，則D(2X-3Y)= , 1、 (12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為： 求：1）；2）的密度函數(shù)；3）；2、(12分)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為1） 求邊緣密度函數(shù)；2） 問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？是否相關(guān)？計(jì)算Z = X + Y的密度函數(shù)1、（10分）設(shè)某人從外地趕來(lái)參加緊急會(huì)議，他乘火車(chē)、輪船、汽車(chē)或飛機(jī)來(lái)的概率分別是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飛機(jī)來(lái)，不會(huì)遲到；而乘火車(chē)、輪船或汽車(chē)來(lái)，遲到的概率分別是1/4，1/3，1/2?，F(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？1、0.8286 ， 0.988 ；2、 2/3 ；3、，；4、 1/2, F(x)= ， ；5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2 P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)= 43.92 , 二、 計(jì)算題（35分）1、解 1） 2） 3）2、解：1） 2）顯然，所以X與Y不獨(dú)立。 又因?yàn)镋Y=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X與Y不相關(guān)。 3） 1、解：設(shè)事件A1，A2，A3，A4分別表示交通工具“火車(chē)、輪船、汽車(chē)和飛機(jī)”，其概率分別等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B表示“遲到”，已知概率分別等于1/4，1/3，1/2，0 則 ，由概率判斷他乘火車(chē)的可能性最大。一、填空題（每小題4分，共20分）1、設(shè)事件，獨(dú)立，且，則。2、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為，則=。3、設(shè)隨機(jī)變量，則 。4、設(shè)相互獨(dú)立，其分布列分別為 0101 則。5、設(shè)，則。二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共20分）1、對(duì)于任意二事件， ，則 （ ） 若，則 一定獨(dú)立 若，則 一定不獨(dú)立若，則一定互斥 若，則一定互余2、某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為（ ） 3、已知隨機(jī)變量的分布密度為若， 那么常數(shù) 4、設(shè)相互獨(dú)立，且，則（ ） 5、設(shè)，且相互獨(dú)立，則（ ） 三、（10分）某商店銷售的LED燈中，甲廠產(chǎn)品占80%，其中一等品占95%，乙廠產(chǎn)品占20%，其中一等品占90%，求顧客任購(gòu)一支LED燈是一等品的概率。四、（12分）設(shè)某種電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布密度為 1、計(jì)算；2、某設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子元件，求該設(shè)備使用1000小