高一數(shù)學簡單幾何體、直觀圖與三視圖北師大知識精講

高一數(shù)學簡單幾何體、直觀圖與三視圖北師大版【本講教育信息】一. 教學內(nèi)容：簡單幾何體、直觀圖與三視圖1、簡單旋轉(zhuǎn)體與簡單多面體；2、直觀圖；3、簡單組合體的三視圖；4、由三視圖還原成實物圖二. 學習目標1、了解簡單旋轉(zhuǎn)體和簡單多面體的有關概念；2、了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式，直觀地了解空間圖形在平面上的表示方法；3、會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖和長方體、正方體的直觀圖；4、會畫正棱錐、正棱柱和圓柱的直觀圖；5、進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能；6、能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如紙板）制作模型。三. 知識要點（一）簡單旋轉(zhuǎn)體1、旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線繞著它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面。2、旋轉(zhuǎn)體：封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體。3、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作球面。球面所圍成的幾何體叫球體，簡稱球。半圓的圓心叫球心，連接球心和球面上任一點的線段叫作球的半徑。連接球面上兩點且過球心的線段叫作直徑。過球心的截面與球面的交線稱為大圓，其它的截面與球面的交線稱為小圓。大圓夾在球面上兩點之間的劣弧的長稱為兩點的球面距離，兩點的球面距離是球面上經(jīng)過這兩點的距離的最小值。4、圓柱、圓錐、圓臺：分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫作圓柱、圓錐、圓臺。在旋轉(zhuǎn)軸上這條邊的長度叫作它們的高，垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作它們的底面，簡稱底，不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作它們的側(cè)面，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫作側(cè)面的母線。圓臺也可以看作是用平行于圓錐底面的平面截這個圓錐而得到。5、圓柱、圓錐、圓臺都是旋轉(zhuǎn)體。（二）簡單多面體我們把若干個平面多邊形所圍成的幾何體叫作多面體。其中棱柱、棱錐、棱臺是簡單多面體。1、棱柱：兩個面互相平行，其余各個面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫作棱柱。這里的兩個互相平行的面叫作棱柱的底面，其余的各面叫作棱柱的側(cè)面，棱柱的側(cè)面是平行四邊形。兩個面的公共邊叫作棱柱的棱，其中兩個側(cè)面的公共邊叫作棱柱的側(cè)棱，底面多邊形與側(cè)面的公共頂點叫作棱柱的頂點，與兩個底面都垂直的直線夾在兩底面間的線段長叫作棱柱的高。側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱，側(cè)棱垂直于底的棱柱叫作直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱。棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形我們把這樣的棱柱分別叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這些面所圍成的幾何體叫作棱錐。這個多邊形叫作棱錐的底面，其余各面叫作棱錐的側(cè)面。相鄰兩個側(cè)面的公共邊叫作棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的公共點叫作棱錐的頂點，過頂點作底面的垂線，頂點與垂足間的線段長叫作棱錐的高。如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面全等，就稱作正棱錐。正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，它底邊上的高叫作正棱錐的斜高（如上圖A中的SH）。3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫作棱臺。原棱錐的底面與截面叫作棱臺的下底面和上底面，其它各面叫作棱臺的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫作棱臺的側(cè)棱，與兩個底面都垂直的直線夾在兩底面間的線段長叫作棱臺的高。用正棱錐截得的棱臺叫作正棱臺。正棱臺的側(cè)面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱臺的斜高。類似于棱柱，棱錐和棱臺也有三棱錐、四棱錐和三棱臺、四棱臺等。三棱錐也叫作四面體。（三）水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法斜二測畫法畫法規(guī)則：1、在已知圖形中建立直角坐標系xOy，畫直觀圖時，它們分別對應x，y軸，兩軸交于點O，使xOy45，它們確定的平面表示水平面；2、已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段；3、已知圖形中平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半。（四）三視圖1、三視圖欣賞2、幾何組合體的組合形式：（1）將基本幾何體拼接成組合體疊加（2）從基本幾何體中切掉或挖掉部分構(gòu)成挖切一般地，組合體是由上述兩種方式綜合構(gòu)成的。3、三視圖的特點：長對正主、俯視圖反映了物體的長；高平齊主、左視圖反映了物體的高；寬相等俯、左視圖都反映了物體的寬，而且前后對應。4、三視圖的畫法步驟：（1）先確定主視圖的位置，分析幾何體的構(gòu)造，畫主視圖；（2）按“長對正”原則畫俯視圖；一般地，俯視圖畫在主視圖的正下方；（3）按“高平齊”原則畫左視圖；并注意左視圖與俯視圖“寬相等”；一般地，左視圖畫在主視圖的正右方。注意：若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出；不可見輪廓線用虛線畫出5、由三視圖還原成實物圖：主要研究一些簡單的組合幾何體的三視圖還原，一般先從俯視圖入手，再考慮主視圖，最后考慮左視圖。四. 考點解析與典型例題考點一 對幾何體結(jié)構(gòu)特征的認識例1. 斜四棱柱的各個面中可能有矩形嗎？如果有，最多可能有幾個？解：有可能；最多可能有四個。如圖：例2. 下述幾何體是指定的幾何體嗎？為什么？（1）四棱臺： （2）圓錐：（3）圓臺： （4）棱柱：解：都不是。均不符合相應幾何體的定義?？键c二 用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。例3. 畫出水平放置的正五邊形ABCDE（如圖）的直觀圖。畫法步驟：（1）在已知圖形所在平面上建立平面直角坐標系xOy，另選一平面畫直觀圖，先畫x軸和y軸，使xOy45或135（如圖）。（2）將已知圖形中平行于x軸或y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x軸和y軸的線段，且已知圖形中平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半；（3）連線成圖（擦去輔助線）。說明：畫直觀圖的技巧主要是在xOy中確定直觀圖的頂點的位置，所以要尋找或構(gòu)造過定點且與x軸、y軸平行的線段。例4. 已知一四邊形ABCD水平放置的直觀圖是一個邊長為2的正方形，請畫出這個圖形的真實圖形。分析：關鍵是確定原圖形的各個頂點。要充分利用斜二測畫法規(guī)則中對平行性與長度變化的規(guī)定。解：由斜二測畫法規(guī)則可知，作圖前后，ABAB，CDCD，AC2AC，因此在原圖形中，ABCD2，AC?？键c三 畫一些簡單的立體圖形的直觀圖例5. 畫底面水平放置的正六棱柱的直觀圖。解：畫法步驟：（1）畫底面（根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法）（2）畫z軸（z軸與x軸的交角為直角），并畫高線（與原長相等），連線成圖。（3）擦去輔助線，被遮線畫成虛線。考點四 空間幾何體的三視圖例6. 畫出如圖所示幾何體的三視圖。 解：畫法步驟（1）確定主視圖位置，畫出主視圖；（2）畫出俯視圖（與主視圖長對正）；（3）畫左視圖（與主視圖高平齊，與俯視圖寬相等）例7. 已知一個幾何體的三視圖如圖，試將其還原。解：五. 本講涉及的主要數(shù)學思想方法1、直觀感知與抽象概括的能力和方法：我們生活在空間與圖形的世界里，直觀圖形、幾何模型以及幾何圖形的性質(zhì)，是準確描述現(xiàn)實世界空間與圖形關系，解決學習、生活與工作中各種問題的工具，隨著計算機制圖和成像技術(shù)的發(fā)展，處理空間與圖形問題的幾何方法被廣泛運用到人類生活和社會發(fā)展的各個方面，因此，掌握空間與圖形的能力是學生應具備的基本數(shù)學素養(yǎng)，對于我們更好地認識、理解生活的空間，更好地生存與發(fā)展具有重要意義。本講涉及的簡單幾何體、直觀圖及三視圖的有關知識就是我們進一步研究幾何的基礎，在培養(yǎng)直觀感知和抽象概括能力方面具有基礎性的意義。2、直覺能力和空間想象能力：幾何體作為一種直觀、形象的數(shù)學模型，在發(fā)展學生的直覺能力，培養(yǎng)學生的空間想象能力和創(chuàng)新精神方面具有獨特的價值，本講對教學難點“通過三視圖還原幾何體”的突破，能有效地訓練數(shù)學直覺能力和空間想象能力?！灸M試題】（答題時間：30分鐘）一、選擇題1、下列命題正確的是（ ）A. 直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；B. 夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體；C. 圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺；D. 通過圓臺側(cè)面上一點，有無數(shù)條母線。2、已知集合A棱柱，B正棱柱，C斜棱柱，D直棱柱，則（ ）A. ACB B. ADB C. ACD D. ADC*3、給出下列四個命題：各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；對角面是全等矩形的平行六面體一定是長方體；有兩個側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長方體一定是正四棱柱。其中正確命題的個數(shù)是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3*4、利用斜二測畫法得到：三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形。以上結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 5、（2008廣東卷）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）6、如圖3示，SABC為正三棱錐，M、N為所在棱的中點，SP：PC1：2，現(xiàn)由截面MNP將該三棱錐的頂部S-PMN截去，依圖4方向畫出它的左視圖（側(cè)視圖），則正確的畫法是（ ）7、（2008上海）如圖所示的立方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（ ）二、填空題8、下面給出了三個命題，用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺。其中正確命題的個數(shù)是 9、（2008山東卷6改）下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 。三、解答題10、已知按照斜二測畫法，水平放置的、邊長為2cm的正三角形ABC的平面直觀圖是三角形ABC，求三角形A