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江蘇省淮安市清江中學(xué)等四校2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題(含解析)一、選擇題:(每題4分,共40分)1.直線傾斜角為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直線方程求出直線的斜率,再由斜率是傾斜角的正切值求解【詳解】由直線xy+30,得其斜率為k1,設(shè)直線的傾斜角為(0),由tan1,得故選:A【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角,考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系,是基礎(chǔ)題2.在ABC中,則等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)Ak,B2k,C3k,由,得6k180,k30,A30,B60 ,C90,abcsin Asin Bsin C12故選C3.如圖,在正方體中,直線與的位置關(guān)系是( )A. 平行B. 相交C. 異面但不垂直D. 異面且垂直【答案】D【解析】由圖形可知,兩條直線既不相交也不平行,所以是異面直線,故選D.4.棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1的正四棱錐的體積為 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為1的正四棱錐SABCD中,連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,連結(jié)SO,則SO底面ABCD,AO,由此能求出正四棱錐的體積【詳解】如圖,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為1的正四棱錐SABCD中,連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,連結(jié)SO,則SO底面ABCD,S正方形ABCDABBC111,AO , ,正四棱錐的體積:V故答案:C【點(diǎn)睛】本題考查正四棱錐的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題5.若直線過第一、三、四象限,則實(shí)數(shù)滿足( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合圖形知a0且b0【詳解】直線過第一、三、四象限,如圖所示;則a0,-b0即a0且b0故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題6.在ABC中,角的對(duì)邊分別為a,b,c,若,則( )A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】由3bcosCc(13cosB)利用正弦定理可得3sinBcosCsinC(13cosB),化簡(jiǎn)整理即可得出【詳解】由正弦定理,設(shè),3bcosCc(13cosB)3sinBcosCsinC(13cosB),化簡(jiǎn)可得 sinC3sin(B+C)又A+B+C,sinC3sinA,因此sinC:sinA3:1故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題在解與三角形有關(guān)的問題時(shí),正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù). 解三角形時(shí),有時(shí)可用正弦定理,有時(shí)也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說 ,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 及 、 時(shí),往往用余弦定理,而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí),往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.7.已知m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題中的真命題是 ( )A. 若則B. 若,則C. 若,則D. 若,則【答案】D【解析】試題分析:由A選項(xiàng)若.則直線可能是異面、相交或平行三種位置關(guān)系都可以.所以A不正確.選項(xiàng)B若,則直線可以垂直也可以不垂直.所以B選項(xiàng)不正確.選項(xiàng)C若,則直線平行.所以C選項(xiàng)不正確.因?yàn)椋瑒t成立.所以選D.考點(diǎn):1.直線與平面的位置關(guān)系.2.平面與平面的位置關(guān)系.3.空間想象能力.8.已知直線與互相垂直,垂足為,則的值是( )A. 24B. 20C. 0D. 【答案】B【解析】?jī)芍本€互相垂直,k1k21,1,m10.又垂足為(1,p),代入直線10x4y20得p2,將(1,2)代入直線2x5yn0得n12,mnp20.故答案選B。9.如圖,四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,且,為的中點(diǎn)則下列結(jié)論中不正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意,取中點(diǎn),易知就是二面角的平面角,有條件可知,所以平面與平面不垂直,故C錯(cuò)誤。故選C。10.已知點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),P,Q分別在線段AB,BO上運(yùn)動(dòng),則MPQ的周長(zhǎng)的最小值為( )A. 4B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】分別作點(diǎn)M關(guān)于AB和OB的對(duì)稱點(diǎn)M1,M2,則周長(zhǎng)的最小值就是M1與M2兩點(diǎn)間的距離【詳解】過M(1,0)作直線AB的垂線,并延長(zhǎng)到M1,連接PM1;過M作直線OB的垂線,并延長(zhǎng)到M2,連接QM2,則PMPM1,QMQM2,所以MPQ的周長(zhǎng)為:PQ+PM+QMPQ+PM1+QM2M1 M2,當(dāng)且僅當(dāng)M1、P、Q、M2四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,直線,設(shè)根據(jù)對(duì)稱性知道: 求得M1(3,2),M2(1,0)所以M1M2故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題,屬基礎(chǔ)題點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法,通常設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),之后根據(jù)兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱直線上,以及兩點(diǎn)的斜率和已知對(duì)稱直線互為負(fù)倒數(shù),列出兩個(gè)方程求解對(duì)稱點(diǎn)即可.二、填空題:(每題6分,共36分)11.過點(diǎn)(1,0)且與直線x2y20垂直的直線方程是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題干可得到直線的斜率,再由點(diǎn)斜式方程的寫法得到結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)(1,0)且與直線x2y20垂直的直線方程,可知直線的斜率為-2,根據(jù)點(diǎn)斜式方程的寫法可得到直線方程為:.整理成一般式得到:故答案為:【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了已知直線的位置關(guān)系,求直線方程,屬于基礎(chǔ)題目.12.在ABC中,已知30,則B等于_。【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形正弦定理得到角,再由三角形內(nèi)角和關(guān)系得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)三角形的正弦定理得到,故得到角,當(dāng)角時(shí),有三角形內(nèi)角和為,得到,當(dāng)角時(shí),角 故答案為:【點(diǎn)睛】在解與三角形有關(guān)的問題時(shí),正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù). 解三角形時(shí),有時(shí)可用正弦定理,有時(shí)也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說 ,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 及 、 時(shí),往往用余弦定理,而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí),往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.13.表面積為3的圓錐,它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則該圓錐的底面直徑為_【答案】2【解析】【分析】設(shè)展開的半圓的半徑為,底面圓的半徑為,圓錐的表面積為側(cè)面積加底面積,列式得到,【詳解】設(shè)展開的半圓的半徑為,底面圓的半徑為,圓錐的表面積為側(cè)面積加底面積,側(cè)面積就是這個(gè)半圓的面積:,底面積為:,因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng)等于底面圓周的周長(zhǎng),故,根據(jù)表面積為3得到:故底面直徑為:2.故答案為:2.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了扇形的面積公式和圓錐的表面積的組成,屬于簡(jiǎn)單題.14.已知點(diǎn)(x,y)在直線2xy50上運(yùn)動(dòng),則的最小值是_.【答案】【解析】【分析】x2+y2的最小值可看成直線2x+y+50上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線長(zhǎng)度的平方最小值,由點(diǎn)到直線的距離公式可得【詳解】x2+y2的最小值可看成直線2x+y+50上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線長(zhǎng)度的平方最小值,即為原點(diǎn)到該直線的距離平方d2,可看成直線2x+y+50上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的長(zhǎng)度,由點(diǎn)到直線的距離公式易得d的最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式,轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題15.三棱柱中,兩兩成角,點(diǎn)分別為線段上的點(diǎn),且,則三棱錐的體積與三棱柱體積之比為_?!敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)題干和體積公式,用得到相應(yīng)的體積表達(dá)式,進(jìn)而得到比值.【詳解】設(shè)棱柱的高為:,棱錐的高為,棱錐的體積是,三棱錐的體積等于設(shè)三角形的高為,根據(jù)E點(diǎn)為中點(diǎn)得到三角形的高為, 三棱錐的體積等于 棱柱的體積為: 故體積之比為:.故答案為:【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三棱錐的體積的公式,棱柱的體積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16.在中,則 【答案】【解析】試題分析: ,因此所以考點(diǎn):正余弦定理【方法點(diǎn)睛】解三角形問題,多為邊和角的求值問題,這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是:第一步:定條件即確定三角形中的已知和所求,在圖形中標(biāo)出來,然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步:定工具即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實(shí)施邊角之間的互化.第三步:求結(jié)果.三、解答題:17.如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn) 求證:(1)PB平面AEC;(2)平面PCD平面PAD【答案】(1)詳證見解析;(2)詳證見解析.【解析】【分析】( 1)可通過連接交于,通過中位線證明和平行得證平面。( 2)可通過正方形得證,通過平面得證,然后通過線面垂直得證面面垂直?!驹斀狻浚?1)證明: 連交于O, 因?yàn)樗倪呅问钦叫?,所以 ,連,則是三角形的中位線, ,平面, 平面 所以平面 . (2)因?yàn)槠矫?,所以 , 因?yàn)槭钦叫危? 所以平面, 所以平面平面.【點(diǎn)睛】證明線面平行可通過線線平行得證,證明面面垂直可通過線面垂直得證。18.ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求角C;(2)若,ABC的面積為,求的值?!敬鸢浮浚?);(2).【解析】試題分析:(1)利用二倍角公式和正弦定理把化成,從而得到,也就是.(2)利用面積公式和余弦定理可以得到以及,配湊后得到也就是.解析:(1)由,得,由正弦定理得,角為的內(nèi)角,.(2),的面積為,即,由余弦定理得,即,將代入得,.19.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(1)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)求四邊形ABCD的面積(3)求的平分線所在直線方程。【答案】(1); (2)24; (3).【解析】【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到結(jié)果;(2)以為底,有點(diǎn)線距離求得四邊形的高,進(jìn)而得到面積;(3)根據(jù)正弦定理得到,再由向量坐標(biāo)化得到點(diǎn)E的坐標(biāo),進(jìn)而得到直線方程.【詳解】(1)AC中點(diǎn)為,該點(diǎn)也為BD中點(diǎn),設(shè),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到:解得:; (2)故得到斜率為:,代入點(diǎn)坐標(biāo)可得到直線BC: ,A到BC的距離為, 又根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到: ,四邊形ABCD的面積為. (3) 在三角形ACD中,設(shè)的平分線與CD交于點(diǎn)E,由角平分線定理可得,所以,設(shè)從而E的坐標(biāo)為,又,所以所求的方程為。【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了直線方程求法,點(diǎn)斜式方程的寫法,以及點(diǎn)線距離公式的應(yīng)用,角平分線定理的證明,即通過正弦定理得證的結(jié)論,屬于有一定的綜合性的題目.20.如圖,在四棱錐中,平面平面,是等邊三角形.已知,.(1)設(shè)是上的一點(diǎn),證明:平面平面;(2)當(dāng)點(diǎn)位于線段什么位置時(shí),平面?(3)求四棱錐的體積.【答案】(1)見解析(2)M點(diǎn)位于線段PC靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)處時(shí)(3)24.【解析】試題分析:(1)證明面面垂直,首先根據(jù)判定定理,先找線面垂直,證明平面;(2)根據(jù)線面平行,線線平行,所以連接,連接,那么,先證明點(diǎn)的位置,再說明的位置;(3)根據(jù)前兩問的過程,可知等邊三角形的高,就是棱錐的高,求梯形的面積,試題解析:解:(1)平面平面,平面平面=AD(2)當(dāng)M為PC的三等分點(diǎn),即2CM=MP時(shí),結(jié)論成立證明:連AC交BD與點(diǎn)O(3)易證平面考點(diǎn):1面面垂直的判定;2線面平行的性質(zhì);3幾何體的體積21.已知矩形ABCD的邊AB=2,BC=1,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,建立直角坐標(biāo)系。將矩形折疊,使A點(diǎn)落在線段DC上,重新記為點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)時(shí),求折痕所在直線方程.(2)若折痕所在直線的斜率為k,試求折痕所在直線的方程;(3)當(dāng)時(shí),設(shè)折痕所在直線與軸交于點(diǎn)E,與軸交于點(diǎn)F,將沿折痕EF旋轉(zhuǎn)使二面角的大小為,設(shè)三棱錐的外接球表面積為,試求最小值.【答案】(1); (2); (3).【解析】【分析】(1)根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到對(duì)稱直線的斜率,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn),代入直線可得到結(jié)果;(2)當(dāng)時(shí),此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合,折痕所在直線方程為;當(dāng)時(shí),A點(diǎn)落在線段同DC上的點(diǎn)記為G(,1),根據(jù)對(duì)稱性得到直線斜率和直線上的點(diǎn),由點(diǎn)斜式得到結(jié)果;(3)根據(jù)題意可得到EF的中點(diǎn)G為外接球的球心,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得到半徑,進(jìn)而求解.【詳解】(1)折疊后,根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱得到直線的斜率為:,兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)為:在直線上,故易求所在直線方程為:.(2)當(dāng)時(shí),此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合,折痕所在直線方程為 當(dāng)時(shí),將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段同DC上的點(diǎn)記為G(,1) (),則A與G關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱,得 故線段OG中點(diǎn),所以折痕所在直線方程為:即綜上所述,所求折痕所在直線方程為.(3)由(2)當(dāng)時(shí),折痕所在直線與軸交于點(diǎn)E,與軸交于點(diǎn)F,則,記EF中點(diǎn)為G點(diǎn),根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)得到:,故得到G點(diǎn)為球的直徑;球的直徑即為,所以所以 , 所以最小值為.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題,以及翻折問題,翻折問題需要注意翻起之前和翻起之
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