2020屆湖北省華中師大一附中高三上學期期中考試數(shù)學（理）試題

頁 1 第 華中師大一附中 20192020 學年度上學期期中檢測 高三年級數(shù)學（理科）試題 時間：120 分鐘 滿分：150 分 一、選擇題：(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的) 1. 已知集合 2, 1,0,1,2A ， (1)(2)0Bxx x，則BA的子集個數(shù)為（ ） A. 2 B4 C6 D8 【答案】B 2. 設命題p：nN ， 2 2nn ，則p 為 （ ） A 2 ,2nnN n B 2 ,2nnN n C 2 ,2nnN n = D 2 ,2nnN n 【答案】D 3. 若復數(shù)z滿足(34 )112i zi，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為 （ ） A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i 【答案】B 4. 我國古代數(shù)學典籍九章算術第七章“盈不足”章中有一道“兩鼠穿墻”問題：有厚墻 5 尺，兩只 老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺， 以后每天減半。問兩鼠在第幾天相遇？（ ） A. 第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 【答案】B 5. 已知變量 x, y 滿足約束條件 1 3 230 x xy xy ，則yxz 2的最小值為（ ） A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】A 6. 已知等差數(shù)列an的前 n 項和 Sn滿足 1213 0,0,SS且Sn的最大項為 m S， 1 2 m a ， 則 13 S（ ） 頁 2 第 A. 20 B.22 C.24 D.26 【答案】D 7. 右圖為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下結論 ANGC CF 與 EN 所成的角為60 BD/MN 二面角EBCN的大小為45 其中正確的個數(shù)是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 8. 已知ABC中，2ADDC uuu ruuu r ，E 為 BD 中點，若BCAEAB uuu ruuu ruuu r ，則2的值為 （ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 9. 若 1 16 4 log 9 a ， 3 3 log 2 b ， 0.2 0.6c ，則, ,a b c的大小關系為 （ ） A. cba B. cab C. bac D. abc 【答案】A 10. 已知函數(shù)( )2sin()(0,|)f xx 的部分圖像如右圖 所示，且(,1), ( , 1) 2 AB ，則的值為 （ ） A. 5 6 B. 6 C. 5 6 D. 6 【答案】C 11. 已知函數(shù) 2 ( )ln(1)22 xx f xx ，則使不等式(1)(2 )f xfx成立的x的取值范圍是（ ） A. (1)(1,) ， B. (1,+ ) 頁 3 第 C. 1 (,)(1,+ ) 3 D. (, 2)(1,) 【答案】D 12. 已知函數(shù)( )sin2sin() 4 f xxxx ，若對于任意的 1212 ,0,),() 2 x xxx ，均有 12 12 |( )()| xx f xf xa ee成立，則實數(shù) a 的最小值為（ ） A. 2 3 B.1 C. 3 2 D. 3 【答案】B 頁 4 第 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分) 13. 曲線 x yxe在點 1 (1, ) e 處的切線方程為 . 【答案】 1 y e 14. 已知 3 sin()2cos()sin 2 ，則 2 sinsincos . 【答案】 5 6 2 sinsincos 5 6 tan1 tantan 2 2 15. 已知ABC的內(nèi)角, ,A B C的對邊分別為, ,a b c.若1c ，ABC的面積為 22 1 4 ab ，則ABC面積的 最大值為 . 【答案】 21 4 16. 已知ABC的外接圓圓心為 O，| 6,| 8ABAC，( ,)AOABACR uuu ruuu ruuu r ， 若 2 1 s i n()2At （t為實數(shù)）有最小值，則參數(shù)t的取值范圍是 . 【答案】 33 15 (,) 16 16 三、解答題：(本大題共 6 小題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17. （本小題滿分 12 分）已知ABC的內(nèi)角, ,A B C的對邊分別為, ,a b c，若 2 1 cos 222 Ab c （1）求角 C； （2）BM 平分角 B 交 AC 于點 M，且1,6BMc，求cos ABM. 【解析】 （1）由題1 cos 1 cos 222 Abb A cc cossinsinsin()sincoscossinACBACACAC 頁 5 第 sincos0AC又(0, )sin0cos0 2 AACC （2）記ABM，則MBC，在Rt MCB中，cosCB， 在Rt ACB中，cos BC ABC AB ，即 cos cos2 6 即 2 cos 2cos1 6 3 cos 4 或 2 3 （舍） 3 cos 4 ABM 18. （本小題滿分 12 分）已知數(shù)列 n a的前n項和為 n S， 1 1 2 a ， * 2 1 1, n n S anN nn （1）證明：數(shù)列 1 n n S n 為等差數(shù)列； （2）若數(shù)列bn滿足 1 2 n n nn n b SS ，求數(shù)列bn的前n項和 Tn. 【解析】 （1）2n時， 2222 1 () nnnn Sn annn SSnn 即 22 1 (1)(1) nn nSn Sn n (2)n 同除以(1)n n得 1 1 1(2) 1 nn nn SSn nn 1 n n S n 為等差數(shù)列，首項為 1，公差為 1 （2）由（1）知 2 1 1 nn nn SnS nn 1 211 (1)22(1)2 n nnn n b n nnn 1121 111111 (1)()()1 2 22 23 22(1)2(1)2 n nnn T nnn 19. （本小題滿分 12 分）已知函數(shù) ( )(cossin)(cossin)2 3sincos 222222 xxxxxx f x （1）求函數(shù)( )f x的最大值并指出( )f x取最大值時x的取值集合； （2）若, 為銳角， 126 cos(),( ) 135 f，求() 6 f 的值. 頁 6 第 【解析】 （1） 22 ( )cossin2 3sincos 2222 xxxx f x cos3sin2sin() 6 xxx 令2 62 xk 得2, 3 xkkZ 所以最大值為 2，此時x的取值集合為 |2, 3 x xkkZ （2）由, 為銳角， 12 cos() 13 得 5 sin() 13 Q0 2 2 663 又 312 sin()( ,) 6522 664 4 cos() 65 cos()cos()() 66 63 cos()cos()sin()sin() 6665 126 ()2sin()2sin()2cos() 6326665 f 20. （本小題滿分 12 分）已知四棱錐PABCD的底面 ABCD 是直角梯形，AD/BC，ABBC， 3,22,ABBCADE 為 CD 的中點，PBAE （1）證明:平面 PBD平面 ABCD； （2） 若P B P D， PC 與平面 ABCD 所成的角為 4 ， 試問“在側面 PCD 內(nèi)是否存在一點 N， 使得BN 平面 PCD？”若存在，求出點 N 到平面 ABCD 的距離；若不存在，請說明理由. 頁 7 第 【解析】 （1）證明:由四邊形 ABCD 是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，ABBC， 可得 DC=2,BCD= 3 ，從而BCD 是等邊三角形,BD=2,BD 平分ADC. E 為 CD 的中點,DE=AD=1,BDAE, 又PBAE,PBBD=B,AE平面 PBD. 又AE 平面 ABCD平面 PBD平面 ABCD. (2) 在平面 PBD 內(nèi)作 POBD 于 O,連接 OC, 又平面 PBD平面 ABCD,平面 PBD平面 ABCD=BD, PO平面 ABCD PCO 為 PC 與平面 ABCD 所成的角, 則PCO= 4 易得 OP=OC= PB=PD,POBD,O 為 BD 的中點,OCBD. 以 OB,OC,OP 所在的直線分別為 x,y,z 軸建立空間直角坐標系,則 B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0),P(0,0,), 假設在側面PCD內(nèi)存在點N，使得BN 平面PCD成立， 設( ,0,1)PNPDPC uuu ruuu ruuu r ，易得(, 3 ,3(1)N 由 0 0 BN PC BN PD uuu r uuu r uuu r uuu r得 12 , 55 ，滿足題意 所以 N 點到平面 ABCD 的距離為 2 3 3(1) 5 21. （本小題滿分 12 分） （1）已知 2 1 ( )lnf xx x ，證明：當2x時， 22 1 ln1(ln2) 4 xxx ； 頁 8 第 （2）證明：當 42 11 ( 2, 1)a ee 時， 33 131 ( )ln(2) 39 a g xxxxx x 有最小值，記 ( )g x最小值為( )a，求( )a的值域. 【解析】 （1）證明： 2 / 33 122 ( )0 x fx xxx ( )f x在 2,)上單增 2x 時，( )(2)f xf即 2 11 lnln2 4 x x 2x時， 22 1 ln1(ln2) 4 xxx （2） /2222 2 1311 ( )ln1(ln) 33 a g xxxxxxxa x 由( )f x在 2,)上單增且 2 24 11 ( )1,()2,f ef e ee 42 11 ( 2, 1)a ee 知存在唯一的實數(shù) 2 0 ( ,)xe e，使得 / 0 ()0g x，即 0 2 0 1 ln0 xa x / 0 ( 2,),( )0, ( )xxg xg x 單減； / 0 (,),( )0, ( )xxg xg x單增 min0 ( )()g xg x， 0 x滿足 0 2 0 1 ln0 xa x 0 2 0 1 lnax x 33 00000 131 ()ln 39 a g xxxxx 3 2 0 00 2 () 93 x x exe 記 32 12 ( )() 93 h xxx exe ，則 2 / 2 ( )0 33 x h x ( )h x在 2 ( ,)e e上單減 63 22 22 ()( )( ) 9393 ee eh eh xh ee 所以( )a的值域為 63 2 22 (,) 9393 ee ee 22. （本小題滿分 10 分）已知函數(shù)( ) |2|24|f xxx （1）解不等式( )34f xx； （2）若函數(shù)( )f x最小值為a，且2(0,0)mna mn，求 21 +1mn 的最小值. 頁 9 第 【解析】 （1）當2x 時，3234xx，無解 當22x 時，634xx ，得 1 2 2 x 當2x 時，3234xx ，得2x 所以不等式解集為 1 ,)