江蘇常州西夏墅中學(xué)高一數(shù)學(xué)《3.4.1　基本不等式的證明1》學(xué)案

江蘇省常州市西夏墅中學(xué)高一數(shù)學(xué)3.4.1基本不等式的證明（1）學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：一、知識(shí)與技能1探索并了解基本不等式的證明過(guò)程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法；2會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題；3學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；4理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋學(xué)習(xí)過(guò)程：一、問(wèn)題情景1.提問(wèn)：與哪個(gè)大？ 2.基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ 二、學(xué)生活動(dòng)問(wèn)題1我們把“風(fēng)車(chē)”造型抽象成上圖在正方形中有4個(gè)全等的直角三角形設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為，那么正方形的邊長(zhǎng)為多少？面積為多少呢？問(wèn)題2那4個(gè)直角三角形的面積和呢？問(wèn)題3好，根據(jù)觀(guān)察4個(gè)直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個(gè)不等式， .什么時(shí)候這兩部分面積相等呢？.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) 、，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立問(wèn)題4：你能給出它的證明嗎？(學(xué)生嘗試證明后口答,老師板書(shū))注意：（1）等號(hào)成立的條件，“當(dāng)且僅當(dāng)”指充要條件；（2） 公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復(fù)雜的變量式，因此應(yīng)用范圍比較廣泛 問(wèn)題5：將降次為,降次為,則由這個(gè)不等式可以得出什么結(jié)論？2基本不等式：對(duì)任意正數(shù)、，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立說(shuō)明： 把和分別叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 注意：（1）基本不等式成立的條件是：；（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）；（圖1）（3）的幾何解釋?zhuān)海ㄈ鐖D1）以為直徑作圓，在直徑上取一點(diǎn)， 過(guò)作弦，則，從而，而半徑基本不等式幾何意義是：“半徑不小于半弦”；（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”的含義：一方面是當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即；另一方面是僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即；（5）如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；（6）如果把看作是正數(shù)、的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)、的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1例題例1 設(shè)為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）；（2）.例2 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：.例3 已知都是正數(shù)，求證.2練習(xí)（1）已知都是正數(shù)，求證： ；（2）已知都是正數(shù)，求證：；（3）思考題：若，求的最大值