電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)二五(格林函數(shù)).ppt

1,第五節(jié)格林函數(shù),2,如何借助于有關(guān)點(diǎn)電荷的較簡單的邊值問題解決較復(fù)雜的邊值問題。,為此，我們先說明點(diǎn)電荷密度的數(shù)學(xué)表示，然后利用格林公式把一般邊值問題和有關(guān)點(diǎn)電荷的相應(yīng)問題聯(lián)系起來。,本節(jié)研究的問題：,3,給定V內(nèi)電荷分布和V的邊界S上各點(diǎn)的電勢|s,給定V內(nèi)電荷分布和電場法向分量/n|s,第一類邊值問題：,第二類邊值問題：,4,一、點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示,函數(shù)定義,處于x點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷的密度用函數(shù)(xx)表示,則有,5,函數(shù)有如下重要性質(zhì)：,同樣，若V包括x點(diǎn)在內(nèi)，而f(x)在x=x點(diǎn)附近連續(xù)，由函數(shù)定義可推出,若f(x)為在原點(diǎn)附近的連續(xù)函數(shù)，V包括原點(diǎn)在內(nèi)，有,6,二、格林函數(shù),一個(gè)處于x點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢滿泊松方程及邊界條件,泊松方程的解第一類邊值問題的格林函數(shù),7,一個(gè)處于x點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢滿足泊松方程,第二類邊值問題的格林函數(shù),8,格林函數(shù)所滿足的微分方程,上節(jié)中我們實(shí)際上已求出一些區(qū)域的格林函數(shù)?，F(xiàn)列舉幾種區(qū)域的格林函數(shù)為例。,9,（1）無界空間的格林函數(shù)。,在x點(diǎn)上一個(gè)單位點(diǎn)電荷在無界空間中激發(fā)的電勢為,因此，無界空間的格林函數(shù)為,10,（2）上半空間的格林函數(shù)。,當(dāng)Q1時(shí)，由上節(jié)例1可得上半空間第一類邊值問題的格林函數(shù)。,以導(dǎo)體平面上任一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)電荷所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z,)，場點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)，上半空間格林函數(shù)為,11,（3）球外空間的格林函數(shù)。,當(dāng)Q1時(shí)，由上節(jié)例2可得球外空間的格林函數(shù)。,12,以球心O為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)電荷所在點(diǎn)P的坐標(biāo)為R，場點(diǎn)P的坐標(biāo)為P,上節(jié)例2中a對(duì)應(yīng)于R，b對(duì)應(yīng)于R02/R，鏡象電荷所在點(diǎn)的坐標(biāo)為,13,作一定代換后，球外空間格林函數(shù)為,14,三、格林公式和邊值問題的解,先考慮第一類邊值問題，設(shè)V內(nèi)有電荷分布，邊界S上給定電勢|s，求V內(nèi)的電勢(x)。,設(shè)區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)函數(shù)(x)和(x)，有格林公式,15,取(x)滿足泊松方程,取(x)為格林函數(shù)G(x,x)，將x與x互換，則有,16,在第一類邊值問題中，格林函數(shù)滿足邊界條件,所以第一類邊值問題的解為,由這公式，只要知道格林函數(shù)G(x,x)，在給定邊界上的|s值情形下就可算出區(qū)域內(nèi)的(x)，因而第一類邊值問題完全解決。,17,對(duì)第二類邊值問題，由于G(x,x)是點(diǎn)上單位點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電勢，其電場通量在邊界面S上應(yīng)等于1/0，即,滿足上式的最簡單的邊界條件是,第二類邊值問題的解,其中s是電勢在界面S上的平均值。,18,例在無窮大導(dǎo)體平面上有半徑為a的圓，圓內(nèi)和圓外用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣。設(shè)圓內(nèi)電勢為V0，導(dǎo)體板其余部分電勢為0，求上半空間的電勢。,19,以圓心為柱坐標(biāo)系原點(diǎn)，z軸與平板垂直，R為空間點(diǎn)到z軸的距離。上半空間的格林函數(shù)用柱坐標(biāo)表出為,解,20,因?yàn)樵谏习肟臻g0，因此這問題是拉普拉斯方程第一類邊值問題。,上半空間的電勢為,先