余弦定理教學設計

1.1.2余弦定理教學設計I .教學目標認知目標：在創(chuàng)設的問題情境中，引導學生發(fā)現(xiàn)余弦定理的內容，推導余弦定理，并簡單地用余弦定理求解三角形；能力目標：通過觀察、推導和比較，引導學生從特殊到一般地歸納余弦定理，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和觀察能力及邏輯思維能力，并利用向量作為數(shù)形結合的工具，實現(xiàn)幾何問題向代數(shù)問題的轉化；情感目標：為所有學生創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生與教師和學生之間的交流、合作和評價，調動學生的主動性和積極性，給學生一個成功的體驗，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和熱愛科學與創(chuàng)新的精神。二，教學難點要點：探索和證明余弦定理的過程；理解和掌握余弦定理的內容；余弦定理的初步應用。難點：用矢量方法證明余弦定理的想法；余弦定理的熟練應用。三、學習情況和教學內容分析在學習本課之前，學生已經(jīng)學習了正弦定理的內容，掌握了正弦定理的證明和應用，并明確了哪些類型的三角形可以用正弦定理求解。在此基礎上，教師可以創(chuàng)建一個“已知三角形的邊和角”來解決三角形的實際例子，學生發(fā)現(xiàn)前一節(jié)所學的知識不能用來解決這個問題，從而引發(fā)學生的學習興趣，引出本節(jié)的內容。在講授余弦定理時，考慮到余弦定理在形式上比正弦定理更復雜，教師可以有目的地提供一些研究材料，并給予必要的啟發(fā)和指導，使學生通過類比、聯(lián)想、提問、探究等步驟，輔以小組合作學習，進行思考，建立猜想，獲得命題，然后想方設法加以證明。當用兩種不同的方法證明余弦定理時，學生在證明思想時可能會遇到困難，教師可以給予適當?shù)闹笇?。第四，教學過程鏈接1創(chuàng)造情境1、復習引言讓學生回答正弦定理的內容和該定理可以解決的問題類型。ABC圖12.場景介紹如圖1所示，為了挖掘山嶺隧道，隧道施工團隊需要測量隧道穿過山嶺的長度。工程技術人員首先在地面上選擇一個合適的位置A，測量從甲到乙、丙腳的距離，然后用經(jīng)緯儀測量甲到乙腳的開角(即線段BC)，最后計算出乙腳的長度BC。對學生來說，把這個實際問題轉化成數(shù)學問題并不難：知道三角形的兩條邊和一個夾角，找到三角形的另一邊。這個問題不能用正弦定理來解決。學生們渴望應用新知識來解決這個問題。鏈接2導入新課問題：在ABC中，當C=90時，有c2=a2 b2.如果a和b邊的長度是常數(shù)，當C的大小改變時，c2和a2 b2之間的大小關系是什么？請考慮一下。教師鼓勵學生積極思考，大膽發(fā)言，啟發(fā)學生解決問題，學生借助多媒體動畫演示結果進行回答。如圖2所示，如果c 90，由于AC和BC的長度相同，AB的長度變短，即C2 a2b2。CBA b 圖2AC b B圖3如圖3所示，如果 90，由于AC和BC的長度不變，AB的長度變長，即C2 a2b2。經(jīng)過討論，學生們得出當C90，c2a2 b2。鏈接3新課探究詢問1。在前面的問題中，我們已經(jīng)知道當 C 90，c2a2 b2。c2和a2 b2之間的等價關系是什么？請繼續(xù)探索。教師引導學生分組合作學習，這樣幾組學生可以在c為銳角時學習結論，而其他組可以在c為鈍角時學習結論。最后，交流探索，展示成果。如圖4所示，當C為銳角時，使BDAC在d處，BD將ABC分成兩個直角三角形：ACBD圖4在RtABD中，AB2=AD2 BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，dc=bccosc=acosc。因此，AB2=AD2 BD2轉換為c2=(b-acosC)2 (asinC)2，c2=b2-2可以看出，當C為銳角時，ABC的三條邊a、b、C具有C2=a2 B2-2 bcosc的關系。如圖5所示，當c是鈍角時，使用BDAC，AC的延長線在d處BADC圖5ACB是兩個直角三角形的差。在RtABD中，AB2=AD2 BD2.在RtBCD中，bcd=-c。BD=BCsin(-C)，CD=BC cos(-C)。所以AB2=AD2 BD2被轉換成c2=(空調CD)2 BD2=b acos(-C)2 asin(-C)2=B2 2 bcos(-C)a2 cos 2(-C)a2 sin 2(-C)=B2 2 bcos(-C)a2。因為cos (-c)=-cosc，C2=B2 a2-2 bcosc也可以得到。老師的建議：在上述兩種情況下，我們可以檢查矢量方向上的正投影的數(shù)量：何時當C分別是銳角和鈍角時，得到兩個符號相反的數(shù)。當C是直角時，其矢量在直角邊上的正投影數(shù)為零。因此，無論C是銳的、右的還是鈍的，都有,在RtADB中，C2=a2 B2-2 bcosc是利用勾股定理得到的。通過旋轉它們，我們可以得到A，B和C的位置a2=b2 c2-2bccosA。B2=C2 a2-2 ccob。因此，我們得到了三角形中角關系的另一個重要定理：(多媒體投影余弦定理的內容)余弦定理三角形任一邊的平方等于另外兩條邊的平方減去兩條邊和它們之間夾角的余弦的兩倍，也就是說C2=a2 B2-2 bcosca2=b2 c2-2bccosAB2=C2 a2-2 ccob從上面的公式，可以得到余弦定理的另一種形式：從上面的分析過程中，我們對C不是直角的情況有了一個清晰的認識。我們不僅要認識到當c為銳角和鈍角時，C2=a2 B2-2 bcosc存在，而且要認識到如何將一個斜三角形轉化為兩個直角三角形。這種從未知到已知的轉化思想經(jīng)常被用在數(shù)學中。詢問2。你能用矢量方法證明余弦定理嗎？參見教科書示例1左上角的思想提示。教師可以指導學生分組討論和探究，最后教師可以用多媒體演示證明的思路和過程。圖6如圖6所示，在ABC中，設置，教師點評：對于問題1，我們證明了C是銳角和鈍角的情況下余弦定理的形式，過程相當復雜。對于問題2，我們可以簡單地用向量個數(shù)的乘積來證明余弦定理，這說明了向量作為證明某些數(shù)學問題的工具的作用。在今后的學習中，我們應該加強所學知識的應用。詢問3。余弦定理在求解三角形中的應用教師啟發(fā)學生：根據(jù)余弦定理的兩種形式，它能解決哪種類型的三角形？(對于學生來說，發(fā)現(xiàn)余弦定理可以用來求解兩種類型的三角形解并不困難：(1)知道三角形的兩條邊及其夾角，并找到第三條邊；給定三角形的三條邊，找出三個內角。)接下來，請根據(jù)余弦定理的兩個應用解決下面三個例子。(用多媒體展示示例)例1。在ABC中，已知a=5，b=4，c=120o，求c。例2，在ABC中，給定a=3，b=2，c=，求這個三角形的三個內角的大小和面積(最接近0.1)。例3、ABC的不動點是A(6，5)、B(-2，8)、C(4，1)和A(精確到0.1)。雙邊活動：教師和學生可以一起完成例子，進一步加深學生對余弦定理的應用。鏈接4練習和鞏固1.在ABC中，a=1，b=1，且c=120o，則c=1。2.在a，b，c中，如果A，b，c三邊相交，則A=0。3.在ABC中，已知這個三角形是(銳角、直角、鈍角)。4.在ABC中，BC=3，AC=2，AB中線的長度為2，因此AB被計算。雙邊活動：學生在有限的時間內進行訓練，讓學生回答結果，解釋錯誤的問題，并用多媒體展示問題4的解題過程。鏈接5課堂反思總結通過上述研究過程，學生學到了哪些知識和方法？你對此有何看法？(學生將首先回答和總結，教師將適時補充和改進)1.余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角開始，分別討論了銳角和鈍角的情況，體現(xiàn)了從特殊到一般的認知過程，運用了分類討論的數(shù)學思想。2.余弦定理用向量證明，體現(xiàn)了數(shù)學知識的應用和數(shù)形結合。3.余弦定理表示三角形的邊和對角線之間的關系。畢達哥拉斯定理是一個特例。這個定理可以用來解決兩類問題，即求已知三角形三條邊的第三條邊和內角。(從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗、歸納等思維方法，最終推導出正弦定理。我們研究問題的突出特點是從特殊到一般。在整個探索過程中，我們不僅獲得了結論，而且掌握了研究問題的一般方法。在強調研究性學習方法的同時，注重學生的主體地位，調動學生的積極性，使數(shù)學教學成為數(shù)學活動教學。)鏈接6家庭作業(yè)1.如果三角形的三條邊分別是，然后。2.在ABC中，如果A=7，B=8，最大內角的余弦為_。3、已知ABC，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀(用兩種不同的方法)。五、教學反思1.余弦定理是求解三角形的重要基礎，應該引起足夠的重視。在這一部分安排兩節(jié)課是合適的。第一節(jié)，余弦定理的推導、證明和簡單應用；第二部分回顧了定理的內容并加強了它的應用。2.當已知兩邊都需要第三條邊和一邊的對角時，可以利用方程的思想推導出含有未知量的第三條邊的方程，并間接利用余弦定理來解決問題。此時，應注意解決方案的非唯一性。然而，這個問題是針對這個班的學生的，學生很難理解，可以在第二節(jié)課上解決。3.本課的重點首先是定理的證明，其次是定理的應用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學往往采用“切頭切尾”的方法來燒斷中斷。它忽略了定理和概念的形成過程，只盲目地教學生定理概念的結論或公式。它允許學生通過大量的話題應用這些結論或形式，并且大量使用問題解決策略，這增加了學生的負擔并且效果不佳。學生們根本沒有掌握這些定理和概念的形成過程。他們無法理解知識的起源和發(fā)展。他們如何靈活運用它們？事實證明，這種以死記硬背和死記硬背為基礎的教學方法和學習方法已經(jīng)不能適應新課程標準教育的教學理念。新課程標準倡導：強調過程，關注學生探索新知識、獲取新知識的體驗。教學不應再脫離學生的內心感受，應該把“發(fā)現(xiàn)和探索知識”的權利還給學生。4.這節(jié)課的教學過程非常重視學生探索知識的過程，突出了以教師為主導、學生為主體的教學理念。教師通過為學生提供一些學習材料來指導學生研究問題和探索問題的結論。在這一過程中，教師應該“靈活”，即不要太緊，剝奪學生獨立思考和合作學習的意識，更不要說“放羊”教學，忽視學生探索問題的困惑。5.多媒體教學的合理應用可以起到畫龍點睛的作用，提高效率，增強學生的問題意識。教師不能成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學的后果是將學生的眼睛、手和嘴變成機械的眼睛?？赐臧嗉夒娪昂?，學生沒有足夠的時間思考、練習和鞏固。課后，他們很快就會忘記他們所學的所有知識。6.在實際教學中，發(fā)現(xiàn)學生不能很好地運用所學知識(如向量)，學生的數(shù)學思想(如分類討論、數(shù)形結合)不能靈活運用，應在今后的教學中予以加強。從教學的實際效果來看，我們可以完成這節(jié)課的教學任務。教學后期應主要加強師生之間的雙邊課堂活動學習目標1.用矢量數(shù)的乘積證明余弦定理的方法。2.記憶和掌握余弦定理3.可以用余弦定理及其推論來求解三角形學習要點余弦定理的理解和應用學習困難余弦定理的定量乘積證明及其應用學習過程我上課前準備知識列表(預覽教科書P5-8以發(fā)現(xiàn)疑問)1.余弦定理：2.余弦定理的推論：3.余弦定理可以用來解決兩類關于解三角形的問題三面是已知的如果我們知道它們的和，我們就能找到第三條邊和另外兩個角。牛道小石1.已知，尋求；2.已知，因為二。新課程指南1.審閱和導入1.三角形內容的正弦定理：給定A=，C=，你能解出這個三角形嗎？【探究】探究一道題中的余弦定理如果條件C=，也就是2，變成了，怎么解三角形？(即已知的三角形