導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)歸納一、相關(guān)概念1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)YFX,如果自變量X在X處有增量，那么函數(shù)Y相應(yīng)地有0X增量F（X）F（X），比值叫做函數(shù)YF（X）在X到XY0Y0之間的平均變化率，即。如果當(dāng)時(shí)，0XXFF00有極限，我們就說(shuō)函數(shù)YFX在點(diǎn)X處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫XY0做F（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)，記作F（X）或Y|。00X即F（X）。00LIMXY0LIXFF0說(shuō)明（1）函數(shù)F（X）在點(diǎn)X處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限。如果00XXY不存在極限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)X處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。XY0（2）是自變量X在X處的改變量，時(shí)，而是函數(shù)值的00Y改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)YF（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)的步驟0求函數(shù)的增量F（X）F（X）；Y0求平均變化率；F0取極限，得導(dǎo)數(shù)FX。0XYLIM例設(shè)FXX|X|,則F0解析0|LIM|LILIM0LIM0000XXXFXFFXF002導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)YF（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線YF（X）在點(diǎn)0P（X，F(xiàn)（X）處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線YF（X）在點(diǎn)00P（X，F(xiàn)（X）處的切線的斜率是F（X）。0相應(yīng)地，切線方程為YYF/（X）（XX）。00例在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐X834標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A3B2C1D0解析切線的斜率為832/XYK又切線的傾斜角小于，即40故18302X解得383X或故沒(méi)有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的物理意義如果物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是SS（T），那么該物體在時(shí)刻T的瞬間速度V（T）。S如果物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是VV（T），則該物體在時(shí)刻T的加速度AV（T）。例。汽車經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過(guò)程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（ST）STOASTOSTOSTOBCD答A。練習(xí)已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位CM，時(shí)32TS間單位S）。（1）當(dāng)T2，時(shí)，求；01TTS（2）當(dāng)T2，時(shí)，求；（3）求質(zhì)點(diǎn)M在T2時(shí)的瞬時(shí)速度。答案（1）802（2）8002；（3）8SCMSCMSC二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（C為常數(shù)）01NXSICOSXINXELA1LNX1LGLOAAXE例1下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是AXBLOG2X21XLN1XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX解析A錯(cuò)，X21XB正確，LOG2XLNC錯(cuò)，3X3XLN3D錯(cuò)，X2COSX2XCOSXX2SINX例2設(shè)F0XSINX，F(xiàn)1XF0X，F(xiàn)2XF1X，F(xiàn)N1XFNX，NN，則F2005XASINXBSINXCCOSXDCOSX解析F0XSINX，F(xiàn)1XF0XCOSX，F(xiàn)2XF1XSINX，F(xiàn)3XF2XCOSX，F(xiàn)4XF3XSINX，循環(huán)了則F2005XF1XCOSX2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則1兩個(gè)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差，即VU法則2兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即UVV若C為常數(shù),則即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)0CUC數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則3兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方（V0）。VU2例設(shè)FX、GX分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)X0時(shí),0且G30則不等式FXGX0的解集是XGFXFA3,03,B3,00,3C,33,D,30,3解析當(dāng)X0時(shí),0，即XGFXF0/XGF當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)XGX為增函數(shù)，又GX是偶函數(shù)且G30，G30，F(xiàn)3G30故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)XGX0，又FXGX是奇函數(shù)，3X當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)XGX為減函數(shù)，且F3G30故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)XGX00X故選D3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如YF的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟X分解求導(dǎo)回代。法則Y|Y|U|或者XUXFXFX練習(xí)求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）SIN25XY321XXY（3）（4）CO1I解1,SINSIN23225XXXYYCOSSINSI2353X（2）Y（X23X2）（X3）X36X211X6，Y3X212X11（3）Y,SIN1COSINXXS2SI1SI2XXY（4），XXX121122Y三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間（A，B）可導(dǎo)，如果，則XFYFX0在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果，則在此區(qū)間上為減XFF0XXF函數(shù)。（2）如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)。FXXF例函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為132XFABCD（0，2）,0,解析由0，當(dāng)時(shí)，0，/F故的極小值、極大值分別為，X31FF、而1073FF、故函數(shù)在3，0上的最大值、最小值分別是3、3XF17。經(jīng)典例題選講例1已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)XFYXF的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中的圖象大致是XFXFY解析由函數(shù)的圖象可知XFY當(dāng)時(shí)，0，此時(shí)增1XFXXF當(dāng)時(shí)，0，0，0，此時(shí)增1F故選C例2設(shè)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定A的取值范圍，并求XAF3其單調(diào)區(qū)間。解132XF若，對(duì)恒成立，此時(shí)只有一個(gè)單調(diào)區(qū)0AF,XXF間，矛盾若，也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)01XF,XXF間，矛盾若，此時(shí)恰有三個(gè)0A|31|31AXAXFXF單調(diào)區(qū)間且單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間0A|31,A,|為|31,|A例3已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P（0,2）,且在點(diǎn)MDAXBXF23處的切線方程為1,F076Y（）求函數(shù)的解析式；XFY（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解（）由的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2），知D2，XF所以,23CBF2XX由在處的切線方程是，知1,FM076YX1,076FF即3,03211623CBCBCB解得即故所求的解析式是223XXF（）01,0366322XXF即令解得當(dāng)1,21,1FXX時(shí)或當(dāng)0FX時(shí)故內(nèi)是增函數(shù)，2,323在F在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)1,1例4設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。32FXBCXRGXFX（）求、的值。（）求的單調(diào)區(qū)間與極值。C解（），。從而32FXCX23FXBC2GXFBBC是32BC一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；0GC3B（）由（）知，從而，由此可知，36X236GX和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù),2,2是單調(diào)遞減區(qū)間；GX在時(shí)，取得極大值，極大值為，4在時(shí)，取得極小值，極小值為。例5已知F（X）在X1，X時(shí)，都取得極值。CBXA2332（1）求A、B的值。（2）若對(duì)，都有恒成立，求C的取值范圍。2,1XCXF1解（1）由題意F/（X）的兩個(gè)根分別為1和BA2332由韋達(dá)定理，得1，31則，2AB（2）由（1），有F（X），F(xiàn)/（X）CX232X當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，3,X0/1,0/,1，0/F當(dāng)時(shí)，有極大值，2XXFC27CFCF2,當(dāng)，的最大值為,1對(duì)，都有恒成立，2XCXF1C1解得或,0C,2例6已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，其中1X321FXMXN，,MNR（I）求與的關(guān)系式；（II）求的單調(diào)區(qū)間；FX（III）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒1,YFX大于3，求的取值范圍M解I因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn),2361FXMXN1FX所以,即，所以0036NM（II）由（I）知，236FXMX231MX當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)變化時(shí)，與的變0M21XFXF化如下表X2,121,M1,F00000X調(diào)調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故有上表知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，0MFX2,1M在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減21,1,（III）由已知得，即3FX220XX又所以即0M20M21,1,XX設(shè)，其函數(shù)開(kāi)口向上，由題意知式恒2GX成立，所以解之得2100GM又43M所以0即的取值范圍為M4,03例7（2009天津理20）已知函數(shù)其223,XFXAER中AR（1）當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率；0A1,YFXF在點(diǎn)WWWKS5UCOM（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。23FXWWWKS5UCOM本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。解（I）31202EFEXXFEXFA，故，時(shí)，當(dāng)31,FY處的切線的斜率為在點(diǎn)所以曲線（II）WWWKS5UCOM422XEAXX2320AAF知，由，或，解得令以下分兩種情況討論。（1），則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如A若322XXF，下表X2，A