外文翻譯--基于模糊控制的移動機器人（適用于畢業(yè)論文外文翻譯+中英文對照）

W1998年的IEEE國際會議上機器人及自動化LEUVEN，比利時1998年5月一種實用的辦法帶拖車移動機器人的反饋控制FLAMIRAUXANDJPLAUMOND拉斯，法國國家科學(xué)研究中心法國圖盧茲FLORENT,JPLLAASFR摘要本文提出了一種有效的方法來控制帶拖車移動機器人。軌跡跟蹤和路徑跟蹤這兩個問題已經(jīng)得到解決。接下來的問題是解決迭代軌跡跟蹤。并且把擾動考慮到路徑跟蹤內(nèi)。移動機器人HILARE的實驗結(jié)果說明了我們方法的有效性。1引言過去的8年，人們對非完整系統(tǒng)的運動控制做了大量的工作。布洛基2提出了關(guān)于這種系統(tǒng)的一項具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，配置的穩(wěn)定性，證明它不能由一個簡單的連續(xù)狀態(tài)反饋。作為替代辦法隨時間變化的反饋10,4,11,13,14,15,18或間斷反饋3也隨之被提出。從5移動機器人的運動控制的一項調(diào)查可以看到。另一方面，非完整系統(tǒng)的軌跡跟蹤不符合布洛基的條件，從而使其這一個任務(wù)更為輕松。許多著作也已經(jīng)給出了移動機器人的特殊情況的這一問題6,7,8,12,16。所有這些控制律都是工作在相同的假設(shè)下系統(tǒng)的演變是完全已知和沒有擾動使得系統(tǒng)偏離其軌跡。很少有文章在處理移動機器人的控制時考慮到擾動的運動學(xué)方程。但是1提出了一種有關(guān)穩(wěn)定汽車的配置，有效的矢量控制擾動領(lǐng)域，并且建立在迭代軌跡跟蹤的基礎(chǔ)上。存在的障礙使得達到規(guī)定路徑的任務(wù)變得更加困難，因此在執(zhí)行任務(wù)的任何動作之前都需要有一個路徑規(guī)劃。在本文中，我們在迭代軌跡跟蹤的基礎(chǔ)上提出了一個健全的方案，使得帶拖車的W機器人按照規(guī)定路徑行走。該軌跡計算由規(guī)劃的議案所描述17，從而避免已經(jīng)提交了輸入的障礙物。在下面，我們將不會給出任何有關(guān)規(guī)劃的發(fā)展，我們提及這個參考的細(xì)節(jié)。而且，我們認(rèn)為，在某一特定軌跡的執(zhí)行屈服于擾動。我們選擇的這些擾動模型是非常簡單，非常一般。它存在一些共同點1。本文安排如下第2節(jié)介紹我們的實驗系統(tǒng)HILARE及其拖車兩個連接系統(tǒng)將被視為（圖1）。第3節(jié)處理控制方案及分析的穩(wěn)定性和魯棒性。在第4節(jié)，我們介紹本實驗結(jié)果。圖1帶拖車的HILARE2系統(tǒng)描述HILARE是一個有兩個驅(qū)動輪的移動機器人。拖車是被掛在這個機器人上的，確定了兩個不同的系統(tǒng)取決于連接設(shè)備在系統(tǒng)A的拖車拴在機器人的車輪軸中心線上方（圖1，頂端），而對系統(tǒng)B是栓在機器人的車輪軸中心線的后面（圖1，底部。A對B來說是一種特殊情況，其中LR0。這個系統(tǒng)不過單從控制的角度來看，需要更多的復(fù)雜的計算。出于這個原因，我們分開處理掛接系統(tǒng)。兩個馬達能夠控制機器人的線速度和角速度（VR，R。除了這些速度之外，還由傳感器測量，而機器人和拖車之間的角度，由光學(xué)編碼器給出。機器人的位置和方向（XR,YR,R）通過整合前的速度被計算。有了這些批注，控制系統(tǒng)B是WXRVRCOSRYRVRSINRRRVRSINLTLRRLTCOSR（1）3全球控制方案31目的當(dāng)考慮到現(xiàn)實的系統(tǒng)，人們就必須要考慮到在運動的執(zhí)行時產(chǎn)生的擾動。這可能有許多的來源，像有缺陷的電機，輪子的滑動，慣性的影響這些擾動可以被設(shè)計通過增加一個周期在控制系統(tǒng)（1），得到一個新的系統(tǒng)的形式XFX,U在上式中可以是確定性或隨機變量。在第一種情況下，擾動僅僅是由于系統(tǒng)演化的不規(guī)則，而在第二種情況下，它來自于該系統(tǒng)一個隨機行為。我們將看到后來，這第二個模型是一個更適合我們的實驗系統(tǒng)。為了引導(dǎo)機器人，從一開始就配置了目標(biāo)，許多工程認(rèn)為擾動最初只是機器人和目標(biāo)之間的距離，但演變的系統(tǒng)是完全眾所周知的。為了解決這個問題，他們設(shè)計了一個可輸入的時間狀態(tài)函數(shù)，使目標(biāo)達到一個漸近穩(wěn)定平衡的閉環(huán)系統(tǒng)?，F(xiàn)在，如果我們介紹了先前定義周期在這個閉環(huán)系統(tǒng)，我們不知道將會發(fā)生什么。但是我們可以猜想，如果擾動很小、是確定的、在平衡點（如果仍然還有一個）將接近目標(biāo)，如果擾動是一個隨機變數(shù)，平衡點將成為一個平衡的子集。但是，我們不知道這些新的平衡點或子集的位置。此外，在處理障礙時，隨時間變化的方法不是很方便。他們只能使用在附近的目標(biāo)，這附近要適當(dāng)界定，以確保無碰撞軌跡的閉環(huán)系統(tǒng)。請注意連續(xù)狀態(tài)反饋不能適用于真實情況下的機器人，因為間斷的速度導(dǎo)致無限的加速度。我們建議達成某一存在障礙特定配置的方法如下。我們首先在當(dāng)前的配置和使用自由的碰撞議案所描述17目標(biāo)之間建立一個自由的碰撞路徑，然后，我們以一個簡單的跟蹤控制率執(zhí)行軌跡。在運動結(jié)束后，因為這一目標(biāo)的各種擾動機器人從來沒有完全達到和目標(biāo)的軌跡一致，而是這一目標(biāo)的左右。如果達到配置遠(yuǎn)離目標(biāo)，我們計01W算另一個我們之前已經(jīng)執(zhí)行過的一個軌跡。現(xiàn)在我們將描述我們的軌跡跟蹤控制率，然后給出我們的全球迭代方法的魯棒性問題。32軌跡跟蹤控制率在這一節(jié)中，我們只處理系統(tǒng)A。對系統(tǒng)B容易計算（見第34節(jié)）。圖2單一機器人的跟蹤控制率很多帶拖車輪式移動機器人的跟蹤控制律已經(jīng)被提出。其中16雖然很簡單,但是提供了杰出的成果。如果X,Y,是模擬機器人的坐標(biāo)構(gòu)成真實機器人（圖2），如果（0,0VRR）是輸入的參考軌跡，這種控制律表示如下RVR0COSKXSINKKYRR32（2）我們控制律的關(guān)鍵想法如下當(dāng)機器人前進，拖車不需要穩(wěn)定（見下文）。因此，我們對機器人使用公式（2）。當(dāng)它后退時，我們定義一個虛擬的機器人XR,YR,R（圖3）這是對稱的真實一對拖車的車輪軸XRXR2LTCOSTYRYR2LTSINTR2TR然后，當(dāng)真正的機器人退后，虛擬機器人前進和虛擬系統(tǒng)X,Y,在運動學(xué)上是RRR等同于真正的一個。因此，我們對虛擬機器人實行跟蹤控制法（2）。圖3虛擬機器人VRRLW現(xiàn)在的問題是當(dāng)機器人前進時，拖車是否真的穩(wěn)定下一節(jié)將回答這個問題。33拖車穩(wěn)定性分析在這里我們考慮的向前運動情況下V0,虛擬機器人向后的運動被等值轉(zhuǎn)變。讓我們把坐標(biāo)X0,Y0,0,V0,0作為參考軌跡并且把坐標(biāo)X,Y,V,作為實RRRRRRRRRR際運動的系統(tǒng)。我們假設(shè)機器人完全跟隨其參考軌跡X,Y,V,X0,Y0,0,V0,0并且我們把我們的注意力放在拖車偏差RRRRRRRRRR0。這一偏差的變化很容易從系統(tǒng)（1）推導(dǎo)出L0（系統(tǒng)A）VRLSINSIN0T2V0RCOSSIN22盡管是減少的02（3）222我們的系統(tǒng)而且被不等量限制了,0（4）22因此0和式（3）等價于2002且20或（5）00且220圖4顯示的范圍隨著給定的0的值正在減少。我們可以看到，這個范圍包含了拖車的所有的位置，包括式（4）所界定的范圍。此外，以前的計算許可輕松地表明對于變量0，0是一個漸近穩(wěn)定值的變量。因此，如果實際或虛擬的機器人按照它的參考軌跡前進，拖車是穩(wěn)定的，并且將趨于自己的參考軌跡。TRRTTCSCSSCSW圖4的穩(wěn)定范圍34虛擬機器人系統(tǒng)B當(dāng)拖車掛在機器人的后面，之前的結(jié)構(gòu)甚至更簡單我們可以用拖車取代虛擬的機器人。在這種實際情況下，機器人的速度V,和拖車V,一對一映射的連接。然后虛擬的機器人系統(tǒng)表示為如下XRXRLRCOSRLRCOSRYRYRLRSINRLTSINRRR和以前的穩(wěn)定性分析可以被很好的使用通過考慮懸掛點的運動。下面一節(jié)討論了我們迭代計劃的魯棒性。35迭代計劃的魯棒性我們現(xiàn)在正在顯示上文所提到的迭代計劃的魯棒性。為此，我們需要有一個當(dāng)機器人的運動時產(chǎn)生擾動的模型。1擾動的模型系統(tǒng)是一個不規(guī)則，從而導(dǎo)致矢量場確定性的變化。在我們的實驗中，我們要看到由于隨機擾動導(dǎo)致的例如在一些懸掛系統(tǒng)中發(fā)揮作用。這些擾動對模型是非常困難的。出于這個原因，我們只有兩個簡單的假說有DQS,Q0SDQS,Q0S其中S是沿曲線橫坐標(biāo)設(shè)計路徑，Q和Q0分別是真正的和參考的結(jié)構(gòu)，D是結(jié)構(gòu)空間系統(tǒng)的距離并且，是正數(shù)。第一個不等量意味著實際和參考結(jié)構(gòu)之間的距離成正比的距離覆蓋計劃路徑。第二個不等量是確保軌跡跟蹤控制率，防止系統(tǒng)走得太遠(yuǎn)遠(yuǎn)離其參考軌跡。讓我們指出，這些假設(shè)是非?，F(xiàn)實的和適合大量的擾動模型。211212因此，如果Q1IGOAL是上界序列DIW我們現(xiàn)在需要知道在每個迭代路徑的長度。我們使用指導(dǎo)的方法計算這些路徑驗證拓?fù)涠虝r間的可控性17。這個也就是說，如果我們的目標(biāo)是充分接近起初的結(jié)構(gòu)，軌跡的計算依然是起初的結(jié)構(gòu)的附近。在9我們給出的估算方面的距離如果Q和Q是兩種不夠緊密的結(jié)構(gòu)，規(guī)劃路徑的長度驗證它們之間的關(guān)系這里是一個正數(shù)。LPAHTQ,QD1Q,Q4II1,2是配置依次獲得的，我們有以下不等式Q,QGOALDQQDQ,QCSI1,GOALCSIGOAL這些不等式確保DISTCSQ,QII1,2的正數(shù)I11D4和趨近于足夠反復(fù)后的。因此，我們沒有獲得漸近穩(wěn)定性配置的目標(biāo)，但這一結(jié)果確保存在一個穩(wěn)定的范圍處理這個配置。這一結(jié)果基本上是來自我們選擇非常傳統(tǒng)擾動的模型。讓我們重復(fù)這包括諸如擾動模型的時間不同的控制律無疑將使其失去其漸近穩(wěn)定。實驗結(jié)果如下節(jié)顯示，收斂域的控制計劃是非常小的。4實驗結(jié)果現(xiàn)在，我們目前獲得的帶拖車機器人HILARE系統(tǒng)A和B的實驗結(jié)果。圖5和圖6顯示第一路徑計算的例子所規(guī)劃初始配置（黑色）和目標(biāo)配置（灰色）之間的運動。在第二種情況下包括上一次計算結(jié)果。連接系統(tǒng)的長度如下系統(tǒng)A中L0，L125RT厘米，系統(tǒng)BL60厘米，L90厘米。表1和表2提供的初始和最后配置位置以及RT目標(biāo)和期望配置在第一次動作和第二次動作之間的不足，3個不同的實驗。在這兩種情況下，第一次試驗相當(dāng)于圖表。Q意味著，在第一動作后精度十分充足，沒有更多可進行的動作。評論和意見表1和表2的報告結(jié)果顯示了兩個主要的見解。首先，系統(tǒng)達成非常令人滿意的精密程度，其次迭代次數(shù)是非常小的（介于1和2之間）。事實上，精密程度取決于很多的速度和不同的動作。在這里，機器人的最大線速度是50厘米/秒。CSDCSD1D2W5結(jié)論我們已經(jīng)提出了一種方法來控制機器人與拖車從初始結(jié)構(gòu)到一個已知輸入問題的目標(biāo)。這種方法是以迭代于開環(huán)和閉環(huán)控制相結(jié)合為前提的辦法。它對大范圍的擾動模型已經(jīng)顯示出健全的一面。這個魯棒性主要來自拓?fù)湫阅苤笇?dǎo)方法介紹17。即使該方法不完全趨于機器人的最終目標(biāo)，但是在真正實驗期間達到的精度程度是非常令人滿意的。圖5系統(tǒng)A初始、目標(biāo)配置跟蹤第一路徑圖6系統(tǒng)B初始、目標(biāo)配置跟蹤第一路徑和最終結(jié)果表1系統(tǒng)A目標(biāo)和期望配置在第一次動表2系統(tǒng)B目標(biāo)和期望配置在第一次動作和第二次動作之間的差距作和第二次動作之間的差距W參考文獻1MKBENNANIETPROUCHONROBUSTSTABILIZATIONOFFLATANDCHAINEDSYSTEMSINEUROPEANCONTROLCONFERENCE,19952RWBROCKETTASYMPTOTICSTABILITYANDFEEDBACKSTABILIZATIONINDIFFERENTIALGEOMETRICCONTROLTHEORY,RWBROCKETT,RSMILLMANETHHSUSSMANNEDS,19833CCANUDASDEWIT,OJSORDALENEXPONENTIALSTABILIZATIONOFMOBILEROBOTSWITHNONHOLONOMICCONSTRAINTSIEEETRANSACTIONSONAUTOMATICCONTROL,VOL37,NO11,19924JMCORONGLOBALASYMPTOTICSTABILIZATIONFORCONTROLLABLESYSTEMSWITHOUTDRIFTINMATHEMATICSOFCONTROL,SIGNALSANDSYSTEMS,VOL5,19925ADELUCA,GORIOLOETCSAMSONFEEDBACKCONTROLOFANONHOLONOMICCARLIKEROBOT,“ROBOTMOTIONPLANNINGANDCONTROL“JPLAUMONDED,LECTURENOTESINCONTROLANDINFORMATIONSCIENCES,SPRINGERVERLAG,TOAPPEAR6RMDESANTISPATHTRACKINGFORATRACTORTRAILERLIKEROBOTININTERNATIONALJOURNALOFROBOTICSRESEARCH,VOL13,NO6,19947AHEMAMI,MGMEHRABIETRMHCHENGSYNTHESZSOFANOPTIMALCONTROLLAWPATHTRACKANGANMOBILEROBOTSINAUTOMATICA,VOL28,NO2,PP383387,19928YKANAYAMA,YKIMURA,FMIYAZAKIETTNOGUSHIASTABLETRACKINGCONTROLMETHODFORANAUTONOMOUSMOBILEROBOTINIEEEINTERNATIONALCONFERENCEONROBOTICSANDAUTOMATION,CINCINNATI,OHIO,19909FLAMIRAUXROBOTSMOBILESCIREMORQUEDELAPLANIFICATIONDECHEMINSDLEXHTIONDEMOUUEMENTS,PHDTHESISN7,LAASCNRS,TOULOUSE,SEPTEMBER1997L0PMORINETCSAMSONAPPLICATIONOFBACKSTEPPINGTECHNIQUESTOTHETIMEVARYINGEXPONENTIALSTABITISATIONOFCHAINEDFORMSYSTEMSEUROPEANJOURNALOFCONTROL,VOL3,NO1,199711JBPOMETEXPLICITDESIGNOFTIMEVARYINGSTABILIZANGCONTROLLAWSFORACLASSOFCONTROLLABLESYSTEMSWITHOUTDRIFTINSYSTEMSANDCONTROLLETTERS,NORTH12MSAMPEI,TTAMURA,TITOHETMNAKAMICHIPATHTRACKINGCONTROLOFTRAILERLIKEMOBILEROBOTINIEEEINTERNATIONALWORKSHOPONINTELLIGENTROBOTSANDSYSTEMSIROS,WOSAKA,JAPAN,PP193198,199113CSAMSONVELOCITYANDTORQUEFEEDBACKCONTROLOFANONHOLONOMICCARTINTERNATIONALWORKSHOPINADAPTATIVEANDNONLINEARCONTROLISSUESINROBOTICS,GRENOBLE,FRANCE,199014CSAMSONTIMEVARYINGFEEDBACKSTABILIZATIONOFCARLIKEWHEELEDMOBILEROBOTSININTERNATIONALJOURNALOFROBOTICSRESEARCH,121,199315CSAMSONCONTROLOFCHAINEDSYSTEMSAPPLICATIONTOPATHFOLLOWINGANDTIMEVARYINGPOZNTSTABILIZATIONINIEEETRANSACTIONSONAUTOMATICCONTROL,VOL40,NO1,199516CSAMSONETKAITABDERRAHIMFEEDBACKCONTROLOFANONHOLONOMICWHEELEDCARTZNCARTESAANSPACEINIEEEINTERNATIONALCONFERENCEONROBOTICSANDAUTOMATION,SACRAMENTO,CALIFORNIA,PP11361141,199117SSEKHAVAT,FLAMIRAUX,JPLAUMOND,GBAUZILANDAFERRANDMOTIONPLANNINGANDCONTROLFORHILAREPULLINGATRADEREXPERZMENTALISSUESIEEEINTCONFONROBANDAUTOM,PP33063311,199718OJSPLRDALENET0EGELANDEXPONENTIALSTABZLZSATIONOFNONHOLONOMICCHAINEDSYSTEMSINIEEETRANSACTIONSONAUTOMATICCONTROL,VOL40,NO1,1995BOLLAND,VOL18,PP147158,1992WPROCEEDINGSOFTHE1998IEEEINTERNATIONALCONFERENCEONROBOTICSAUTOMATIONLEUVEN,BELGIUMMAY1998APRACTICALAPPROACHTOFEEDBACKCONTROLFORAMOBILEROBOTWITHTRAILERFLAMIRAUXANDJPLAUMONDLAASCNRSTOULOUSE,FRANCEFLORENT,JPLLAASFRABSTRACTTHISPAPERPRESENTSAROBUSTMETHODTOCONTROLAMOBILEROBOTTOWINGATRAILERBOTHPROBLEMSOFTRAJECTORYTRACKINGANDSTEERINGTOAGIVENCONFIGURATIONAREADDRESSEDTHISSECONDISSUEISSOLVEDBYANITERATIVETRAJECTORYTRACKINGPERTURBATIONSARETAKENINTOACCOUNTALONGTHEMOTIONSEXPERIMENTALRESULTSONTHEMOBILEROBOTHILAREILLUSTRATETHEVALIDITYOFOURAPPROACH1INTRODUCTIONMOTIONCONTROLFORNONHOLONOMICSYSTEMSHAVEGIVENRISETOALOTOFWORKFORTHEPAST8YEARSBROCKETTSCONDITION2MADESTABILIZATIONABOUTAGIVENCONFIGURATIONACHALLENGINGTASKFORSUCHSYSTEMS,PROVINGTHATITCOULDNOTBEPERFORMEDBYASIMPLECONTINUOUSSTATEFEEDBACKALTERNATIVESOLUTIONSASTIMEVARYINGFEEDBACKL0,4,11,13,14,15,18ORDISCONTINUOUSFEEDBACK3HAVEBEENTHENPROPOSEDSEE5FORASURVEYINMOBILEROBOTMOTIONCONTROLONTHEOTHERHAND,TRACKINGATRAJECTORYFORANONHOLONOMICSYSTEMDOESNOTMEETBROCKETTSCONDITIONANDTHUSITISANEASIERTASKALOTOFWORKHAVEALSOADDRESSEDTHISPROBLEM6,7,8,12,16FORTHEPARTICULARCASEOFMOBILEROBOTSWALLTHESECONTROLLAWSWORKUNDERTHESAMEASSUMPTIONTHEEVOLUTIONOFTHESYSTEMISEXACTLYKNOWNANDNOPERTURBATIONMAKESTHESYSTEMDEVIATEFROMITSTRAJECTORYFEWPAPERSDEALINGWITHMOBILEROBOTSCONTROLTAKEINTOACCOUNTPERTURBATIONSINTHEKINEMATICSEQUATIONSLHOWEVERPROPOSEDAMETHODTOSTABILIZEACARABOUTACONFIGURATION,ROBUSTTOCONTROLVECTORFIELDSPERTURBATIONS,ANDBASEDONITERATIVETRAJECTORYTRACKINGTHEPRESENCEOFOBSTACLEMAKESTHETASKOFREACHINGACONFIGURATIONEVENMOREDIFFICULTANDREQUIREAPATHPLANNINGTASKBEFOREEXECUTINGANYMOTIONINTHISPAPER,WEPROPOSEAROBUSTSCHEMEBASEDONITERATIVETRAJECTORYTRACKING,TOLEADAROBOTTOWINGATRAILERTOACONFIGURATIONTHETRAJECTORIESARECOMPUTEDBYAMOTIONPLANNERDESCRIBEDIN17ANDTHUSAVOIDOBSTACLESTHATAREGIVENININPUTINTHEFOLLOWINGWEWONTGIVEANYDEVELOPMENTABOUTTHISPLANNER,WEREFERTOTHISREFERENCEFORDETAILSMOREOVER,WEASSUMETHATTHEEXECUTIONOFAGIVENTRAJECTORYISSUBMITTEDTOPERTURBATIONSTHEMODELWECHOSEFORTHESEPERTURBATIONSISVERYSIMPLEANDVERYGENERALITPRESENTSSOMECOMMONPOINTSWITHLTHEPAPERISORGANIZEDASFOLLOWSSECTION2DESCRIBESOUREXPERIMENTALSYSTEMHILAREANDITSTRAILERTWOHOOKINGSYSTEMSWILLBECONSIDEREDFIGURE1SECTION3DEALSWITHTHECONTROLSCHEMEANDTHEANALYSISOFSTABILITYANDROBUSTNESSINSECTION4,WEPRESENTEXPERIMENTALRESULTS2DESCRIPTIONOFTHESYSTEMHILAREISATWODRIVINGWHEELMOBILEROBOTATRAILERISHITCHEDONTHISROBOT,DEFININGTWODIFFERENTSYSTEMSDEPENDINGONTHEHOOKINGDEVICEONSYSTEMA,THETRAILERISHITCHEDABOVETHEWHEELAXISOFTHEROBOTFIGURE1,TOP,WHEREASONSYSTEMB,ITISHITCHEDBEHINDTHISAXISFIGUREL,BOTTOMAISTHEPARTICULARCASEOFB,FORWHICHLR0THISSYSTEMISHOWEVERSINGULARFROMACONTROLPOINTOFVIEWANDREQUIRESMORECOMPLEXCOMPUTATIONSFORTHISREASON,WEDEALSEPARATELYWITHBOTHHOOKINGSYSTEMSTWOMOTORSENABLETOCONTROLTHELINEARANDANGULARVELOCITIES（VR，ROFTHEROBOTTHESEVELOCITIESAREMOREOVERMEASUREDBYODOMETRICSENSORS,WHEREASTHEANGLEBETWEENTHEROBOTANDTHETRAILERISGIVENBYANOPTICALENCODERTHEPOSITIONANDORIENTATION（XR,YR,R）OFTHEROBOTWARECOMPUTEDBYINTEGRATINGTHEFORMERVELOCITIESWITHTHESENOTATIONS,THECONTROLSYSTEMOFBISXRVRCOSRYRVRSINRRRVRSINLTLRRLTCOSR（1）FIGURE1HILAREWITHITSTRAILER3GLOBALCONTROLSCHEME311MOTIVATIONWHENCONSIDERINGREALSYSTEMS,ONEHASTOTAKEINTOACCOUNTPERTURBATIONSDURINGMOTIONEXECUTIONTHESEMAYHAVEMANYORIGINSASIMPERFECTIONOFTHEMOTORS,SLIPPAGEOFTHEWHEELS,INERTIAEFFECTSTHESEPERTURBATIONSCANBEMODELEDBYADDINGATERMINTHECONTROLSYSTEML,LEADINGTOANEWSYSTEMOFTHEFORMXFX,UWHEREMAYBEEITHERDETERMINISTICORARANDOMVARIABLEINTHEFIRSTCASE,THEPERTURBATIONWISONLYDUETOABADKNOWLEDGEOFTHESYSTEMEVOLUTION,WHEREASINTHESECONDCASE,ITCOMESFROMARANDOMBEHAVIOROFTHESYSTEMWEWILLSEELATERTHATTHISSECONDMODELISABETTERFITFOROUREXPERIMENTALSYSTEMTOSTEERAROBOTFROMASTARTCONFIGURATIONTOAGOAL,MANYWORKSCONSIDERTHATTHEPERTURBATIONISONLYTHEINITIALDISTANCEBETWEENTHEROBOTANDTHEGOAL,BUTTHATTHEEVOLUTIONOFTHESYSTEMISPERFECTLYKNOWNTOSOLVETHEPROBLEM,THEYDESIGNANINPUTASAFUNCTIONOFTHESTATEANDTIMETHATMAKESTHEGOALANASYMPTOTICALLYSTABLEEQUILIBRIUMOFTHECLOSEDLOOPSYSTEMNOW,IFWEINTRODUCETHEPREVIOUSLYDEFINEDTERMINTHISCLOSEDLOOPSYSTEM,WEDONTKNOWWHATWILLHAPPENWECANHOWEVERCONJECTURETHATIFTHEPERTURBATIONISSMALLANDDETERMINISTIC,THEEQUILIBRIUMPOINTIFTHEREISSTILLONEWILLBECLOSETOTHEGOAL,ANDIFTHEPERTURBATIONISARANDOMVARIABLE,THEEQUILIBRIUMPOINTWILLBECOMEANEQUILIBRIUMSUBSETBUTWEDONTKNOWANYTHINGABOUTTHEPOSITIONOFTHESENEWEQUILIBRIUMPOINTORSUBSETMOREOVER,TIMEVARYINGMETHODSARENOTCONVENIENTWHENDEALINGWITHOBSTACLESTHEYCANONLYBEUSEDINTHENEIGHBORHOODOFTHEGOALANDTHISNEIGHBORHOODHASTOBEPROPERLYDEFINEDTOENSURECOLLISIONFREETRAJECTORIESOFTHECLOSEDLOOPSYSTEMLETUSNOTICETHATDISCONTINUOUSSTATEFEEDBACKCANNOTBEAPPLIEDINTHECASEOFREALROBOTS,BECAUSEDISCONTINUITYINTHEVELOCITYLEADSTOINFINITEACCELERATIONSTHEMETHODWEPROPOSETOREACHAGIVENCONFIGURATIONTNTHEPRESENCEOFOBSTACLESISTHEFOLLOWINGWEFIRSTBUILDACOLLISIONFREEPATHBETWEENTHECURRENTCONFIGURATIONANDTHEGOALUSINGACOLLISIONFREEMOTIONPLANNERDESCRIBEDIN17,THENWEEXECUTETHETRAJECTORYWITHASIMPLETRACKINGCONTROLLAWATTHEENDOFTHEMOTION,THEROBOTDOESNEVERREACHEXACTLYTHEGOALBECAUSEOFTHEVARIOUSPERTURBATIONS,BUTANEIGHBORHOODOFTHISGOALIFTHEREACHEDCONFIGURATIONISTOOFARFROMTHEGOAL,WECOMPUTEANOTHERTRAJECTORYTHATWEEXECUTEASWEHAVEDONEFORTHEFORMERONEWEWILLNOWDESCRIBEOURTRAJECTORYTRACKINGCONTROLLAWANDTHENGIVEROBUSTNESSISSUESABOUTOURGLOBALITERATIVESCHEME32THETRAJECTORYTRACKINGCONTROLLAWINTHISSECTION,WEDEALONLYWITHSYSTEMACOMPUTATIONSAREEASIERFORSYSTEMBSEE1WSECTION34FIGURE2TRACKINGCONTROLLAWFORASINGLEROBOTALOTOFTRACKINGCONTROLLAWSHAVEBEENPROPOSEDFORWHEELEDMOBILEROBOTSWITHOUTTRAILERONEOFTHEM16,ALTHOUGHVERYSIMPLE,GIVEEXCELLENTRESULTSIFX,Y,ARETHECOORDINATESOFTHEREFERENCEROBOTINTHEFRAMEOFTHEREALROBOTFIGURE2,ANDIF0,0ARETHEINPUTSOFTHEREFERENCETRAJECTORY,THISCONTROLLAWHASTHEFOLLOWINGEXPRESSIONVRR0RVR0COSKXSINKKYRR32（2）THEKEYIDEAOFOURCONTROLLAWISTHEFOLLOWINGWHENTHEROBOTGOESFORWARD,THETRAILERNEEDNOTBESTABILIZEDSEEBELOWSOWEAPPLY2TOTHEROBOTWHENITGOESBACKWARD,WEDEFINEAVIRTUALROBOTXR,YR,RFIGURE3WHICHISSYMMETRICALTOTHEREALONEWITHRESPECTTOTHEWHEELAXISOFTHETRAILERXRXR2LTCOSTYRYR2LTSINTR2TRTHEN,WHENTHEREALROBOTGOESBACKWARD,THEVIRTUALROBOTGOESFORWARDANDTHEVIRTUALSYSTEMX,Y,ISKINEMATICALLYEQUIVALENTTOTHEREALONETHUSWEAPPLYRRRTHETRACKINGCONTROLLAW2TOTHEVIRTUALROBOTFIGURE3VIRTUALROBOTAQUESTIONARISESNOWISTHETRAILERREALLYALWAYSSTABLEWHENTHEROBOTGOESFORWARDVRRRRRRR0LWTHEFOLLOWINGSECTIONWILLANSWERTHISQUESTION33STABILITYANALYSISOFTHETRAILERWECONSIDERHERETHECASEOFAFORWARDMOTIONV0,THEBACKWARDMOTIONBEINGEQUIVALENTBYTHEVIRTUALROBOTTRANSFORMATIONLETUSDENOTEBYX0,Y0,0,V0,0AREFERENCETRAJECTORYANDBYXR,YR,R,VR,RTHEREALMOTIONOFTHESYSTEMWEASSUMETHATTHEROBOTFOLLOWSEXACTLYITSREFERENCETRAJECTORYX,Y,V,X0,Y0,0,V0,0ANDWEFOCUSOURATTENTIONONTHETRAILERRRRRRRRRRRDEVIATION0THEEVOLUTIONOFTHISDEVIATIONISEASILYDEDUCEDFROMSYSTEM1WITHL0SYSTEMAVRLSINSIN0T2V0RCOSSIN22ISTHUSDECREASINGIFF02222（3）OURSYSTEMISMOREOVERCONSTRAINEDBYTHEINEQUALITIES,0（4）SOTHAT0222AND3ISEQUIVALENTTO002ANDOR20（5）0AND22FIGURE4SHOWSTHEDOMAINONWHICHISDECREASINGFORAGIVENVALUEOF0WECANSEETHATTHISDOMAINCONTAINSALLPOSITIONSOFTHETRAILERDEFINEDBYTHEBOUNDS4MOREOVER,THEPREVIOUSCOMPUTATIONSPERMITEASILYTOSHOWTHAT0ISANASYMPTOTICALLYSTABLEVALUEFORTHEVARIABLETHUSIFTHEREALORVIRTUALROBOTFOLLOWSITSREFERENCEFORWARDTRAJECTORY,THETRAILERIS0TRRTTCSCSSWSTABLEANDWILLCONVERGETOWARDITSOWNREFERENCETRAJECTORYFIGURE4STABILITYDOMAINFOR34VIRTUALROBOTFORSYSTEMBWHENTHETRAILERISHITCHEDBEHINDTHEROBOT,THEFORMERCONSTRUCTIONISEVENMORESIMPLEWECANREPLACETHEVIRTUALROBOTBYTHETRAILERINTHISCASEINDEED,THEVELOCITIESOFTHEROBOTV,ANDOFTHETRAILERV,ARECONNECTEDBYAONETOONEMAPPINGTHECONFIGURATIONOFTHEVIRTUALROBOTISTHENGIVENBYTHEFOLLOWINGSYSTEMXRXRLRCOSRLRCOSRYRYRLRSINRLTSINRRRANDTHEPREVIOUSSTABILITYANALYSISCANBEAPPLIEDASWELL,BYCONSIDERINGTHEMOTIONOFTHEHITCHINGPOINTTHEFOLLOWINGSECTIONADDRESSESTHEROBUSTNESSOFOURITERATIVESCHEME35ROBUSTNESSOFTHEITERATIVESCHEMEWEARENOWGOINGTOSHOWTHEROBUSTNESSOFTHEITERATIVESCHEMEWEHAVEDESCRIBEDABOVEFORTHIS,WENEEDTOHAVEAMODELOFTHEPERTURBATIONSARISINGWHENTHEROBOTMOVESLMODELTHEPERTURBATIONSBYABADKNOWLEDGEOFCONSTANTSOFTHESYSTEM,LEADINGTODETERMINISTICVARIATIONSONTHEVECTORFIELDSINOUREXPERIMENTWEOBSERVEDRANDOMPERTURBATIONSDUEFORINSTANCETOSOMEPLAYINTHEHITCHINGSYSTEMTHESEPERTURBATIONSAREVERYDIFFICULTTOMODELFORTHISREASON,WEMAKEONLYTWOSIMPLEHYPOTHESESABOUTTHEMDQS,Q0SDQS,Q0SCS1212121IGOALDIWWHERESISTHECURVILINEARABSCISSAALONGTHEPLANNEDPATH,QANDQ0ARERESPECTIVELYTHEREALANDREFERENCECONFIGURATIONS,DISADISTANCEOVERTHECONFIGURATIONSPACEOFTHESYSTEMAND,AREPOSITIVECONSTANTSTHEFIRSTINEQUALITYMEANSTHATTHEDISTANCEBETWEENTHEREALANDTHEREFERENCECONFIGURATIONSISPROPORTIONALTOTHEDISTANCECOVEREDONTHEPLANNEDPATHTHESECONDINEQUALITYISENSUREDBYTHETRAJECTORYTRACKINGCONTROLLAWTHATPREVENTSTHESYSTEMTOGOTOOFARAWAYFROMITSREFERENCETRAJECTORYLETUSPOINTOUTTHATTHESEHYPOTHESESAREVERYREALISTICANDFITALOTOFPERTURBATIONMODELSWENEEDNOWTOKNOWTHELENGTHOFTHEPATHSGENERATEDATEACHITERATIONTHESTEERINGMETHODWEUSETOCOMPUTETHESEPATHSVERIFIESATOPOLOGICALPROPERTYACCOUNTINGFORSMALLTIMECONTROLLABILITY17THISMEANSTHATIFTHEGOALISSUFFICIENTLYCLOSETOTHESTARTINGCONFIGURATION,THECOMPUTEDTRAJECTORYREMAINSINANEIGHBORHOODOFTHESTARTINGCONFIGURATIONIN9WEGIVEANESTIMATEINTERMSOFDISTANCEIFQANDQARETWOSUFFICIENTLYCLOSECONFIGURATIONS,THELENGTHOFTHEPLANNEDPATHBETWEENTHEMVERIFIES1WHEREISAPOSITIVECONSTANTLPAHTQ,QDQ,Q4THUS,IFISTHESEQUENCEOFCONFIGURATIONSREACHEDAFTERIMOTIONS,WEHAVETHEFOLLOWINGINEQUALITIESQ,QGOALDQQDQ,QCSI1,GOALCSIGOALTHESEINEQUALITIESENSURETHATDISTCSQ,QISUPPERBOUNDEDBYASEQUENCEII1,2OFPOSITIVENUMBERSDEFINEDBYI11D44ANDCONVERGINGTOWARD3AFTERENOUGHITERATIONSTHUS,WEDONOTOBTAINASYMPTOTICALSTABILITYOFTHEGOALCONFIGURATION,BUTTHISRESULTENSURESTHEEXISTENCEOFASTABLEDOMAINAROUNDTHISCONFIGURATIONTHISRESULTESSENTIALLYCOMESFROMTHEVERYGENERALMODELOFPERTURBATIONSWEHAVECHOSENLETUSREPEATTHATINCLUDINGSUCHAPERTURBATIONMODELINATIMEVARYINGCONTROLLAWWOULDUNDOUBTEDLYMAKEITLOSEITSASYMPTOTICALSTABILITYTHEEXPERIMENTALRESULTSOFTHEFOLLOWINGSECTIONSHOWHOWEVER,THATTHECONVERGINGDOMAINOFOURCONTROLSCHEMEISVERYSMALLCSDCSD1D2W4EXPERIMENTALRESULTSWEPRESENTNOWEXPERIMENTALRESULTSOBTAINEDWITHOURROBOTHILARETOWINGATRAILER,FORBOTHSYSTEMSAANDBFIGURES5AND6SHOWEXAMPLESOFFIRSTPATHSCOMPUTEDBYTHEMOTIONPLANNERBETWEENTHEINITIALFIGURE5SYSTEMATHEINITIALANDGOALCONFIGURATIONSANDTHEFIRSTPATHTOBETRACKEDFIGURE6SYSTEMBTHEINITIALANDGOALCONFIGURATIONS,THEFIRSTPATHTOBETRACKEDANDTHEFINALMANEUVERCONFIGURATIONSINBLACKANDTHEGOALCONFIGURATIONSINGREY,INCLUDINGTHELASTCOMPUTEDMANEUVERINTHESECONDCASETHELENGTHSOFBOTHHOOKINGSYSTEMISTHEFOLLOWINGL0,L125CMFORAANDL60CM,L90CMFORBTABLES1AND2GIVETHEPOSITIONOFRTRTINITIALANDFINALCONFIGURATIONSANDTHEGAPSBETWEENTHEGOALANDTHEREACHEDCONFIGURATIONSAFTERONEMOTIONANDTWOMOTIONS,FOR3DIFFERENTEXPERIMENTSINBOTHCASES,THEFIRSTEXPERIMENTCORRESPONDSTOTHEFIGUREEMPTYQCOLUMNSMEANTHATTHEPRECISIONREACHEDAFTERTHEFIRSTMOTIONWASSUFFICIENTANDTHATNOMOREMOTIONWASPERFORMEDCOMMENTSANDREMARKSTHERESULTSREPORTEDINTHETABLES1AND2LEADTOTWOMAINCOMMENTSFIRST,THEPRECISIONREACHEDBYTHESYSTEMISVERYSATISFYINGANDSECONDLYTHEWNUMBEROFITERATIONSISVERYSMALLBETWEEN1AND2INFACT,THEPRECISIONDEPENDSALOTONTHEVELOCITYOFTHEDIFFEREN