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文檔簡介
誠信應(yīng)考,考試作弊將帶來嚴(yán)重后果華南理工大學(xué)考試數(shù)學(xué)分析三參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)注意事項1考前請將密封線內(nèi)填寫清楚;2所有答案請直接答在試卷上;3考試形式閉卷;4本試卷共兩大題,滿分100分,考試時間120分鐘。題號一計算二證明總分得分評卷人一計算題(共8題,每題9分,共72分)。1求函數(shù)在點0,0處的二次極限與二重極限331,SINSIFXYYX解,因此二重極限為43,Y0分因為與均不存在,3301LIMSINSIXYX3301LIMSINSIYX故二次極限均不存在。9分2設(shè)是由方程組所確定的隱函數(shù),其中和分別,YXZ,0ZXFYFFF具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),求D解對兩方程分別關(guān)于求偏導(dǎo)X,4分。解此方程組并整理得9分YYXYZFFXFXFDZ3取為新自變量及為新函數(shù),變換方程,WV。2ZZXYX_學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名座位號密封線內(nèi)不答題密封線線10XYDZYFFD設(shè)(假設(shè)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)),2YXYWZE解看成是的復(fù)合函數(shù)如下Z。4分,2YXYE代人原方程,并將變換為。整理得XYZ。9分2W4要做一個容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省31M解設(shè)圓桶底面半徑為,高為,則原問題即為求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下RH的最小值,其中目標(biāo)函數(shù),2S表約束條件。3分21RH構(gòu)造LAGRANGE函數(shù)22,1FRHRH。令6分240,RHR解得,故有由題意知問題的最小值必存在,當(dāng)?shù)酌?314,H半徑為高為時,制作圓桶用料最省。93,2R分5設(shè),計算32YXFEDFY解由含參積分的求導(dǎo)公式5分33222232YYXXYXYXYEEDEE32752YXYYYD。9分37521XYEE6求曲線所圍的面積,其中常數(shù)2XYABC,0ABC解利用坐標(biāo)變換由于,則圖象在第一三象限,從而可OS,IN0XY以利用對稱性,只需求第一象限內(nèi)的面積。3分2,0,SINCO2AB則6分,2XYVD122SINCO0ABD20SINCOAB9分7計算曲線積分,其中是圓柱面與平面352LZDXYDZL21XY的交線(為一橢圓),從軸的正向看去,是逆時針方向3ZY解取平面上由曲線所圍的部分作為STOKES公式中的曲面,定ZY向為上側(cè),則的法向量為。3分1COS,CS0,2由STOKES公式得352LZDXYDZOCOS352DSXYZ6分S21XYD9分8計算積分,為橢球的上半部分的下側(cè)SYZDX221ZABC解橢球的參數(shù)方程為,其中SINO,SIN,COSYZ且02,。3分2SI,ZXAC積分方向向下,取負(fù)號,因此,6分YZDX22320SINOSIBD220IICACD9分4二證明題(共3題,共28分)。9(9分)討論函數(shù)在原點0,0處的連續(xù)性、3224,00XYYF可偏導(dǎo)性和可微性解連續(xù)性當(dāng)時,2XY,當(dāng),2440XYF,0,XY從而函數(shù)在原點處連續(xù)。3分0,可偏導(dǎo)性,,0,LIMXXFFFX,,Y0,0YY即函數(shù)在原點處可偏導(dǎo)。5分可微性不存在,2232422001LILIXYXYXYFFYXY從而函數(shù)在原點處不可微。9分,10(9分)(9分)設(shè)滿足,FXY(1)在上連續(xù),00,DXYAB(2),0F(3)當(dāng)固定時,函數(shù)是的嚴(yán)格單減函數(shù)。,XY試證存在,使得在上通過定義了一個0X,0FXY函數(shù),且在上連續(xù)。Y證明(I)先證隱函數(shù)的存在性。由條件(3)知,在上是的嚴(yán)格單減函數(shù),而由條件0,FX0,YBY(2)知,從而由函數(shù)的連續(xù)性得0,0FX,。Y,現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)。由于,則必存在使得0,X0,YB10,。0,FXB1,OX同理,則必存在使得2,。0,Y02,取,則在鄰域內(nèi)同時成立12MINX,。3分0,FXB0,FYB于是,對鄰域內(nèi)的任意一點,都成立,O,。0,Y0,X固定此,考慮一元連續(xù)函數(shù)。由上式和函數(shù)關(guān)于的連續(xù)性可X,FXY,FXY知,存在的零點使得,FY0B0。,而關(guān)于嚴(yán)格單減,從而使0的是唯一的。再由的任意性,,X,XYX證明了對內(nèi)任意一點,總能從找到唯一確定的與相0,OX,FY對應(yīng),即存在函數(shù)關(guān)系或。此證明了隱函數(shù)的存在性。FF6分(II)下證隱函數(shù)的連續(xù)性。YFX設(shè)是內(nèi)的任意一點,記。X0,YFX對任意給定的,作兩平行線,。由上述證明知,。,0FXY,0FXY由的連續(xù)性,必存在的鄰域使得,OX,。,X對任意的,固定此并考慮的函數(shù),它關(guān)于嚴(yán)格單減且XOYFYY,。,0FY,0FX于是在內(nèi)存在唯一的一個零點使,,X即對任意的,它對應(yīng)的函數(shù)值滿足。這證明了函數(shù),XY是連續(xù)的。9分YF11(10分)判斷積分在上是否一致收斂,并給出證明。10SINDX02證明此積分在上非一致收斂。證明如下2作變量替換,則XT。3分1201SINSINDTDT不論正整數(shù)多么大,當(dāng)時,恒有。3,2,4AN2SINT5分因此,7分2211SINAATDDTT214TA,當(dāng)時。2043N2因此原積分在上非一致收斂。10分0注不能用DIRICHLET判別
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