阿基米德三角形與三道高考試題

1、阿基米德三角形與三道高考試題（山東省滕州市第一中學(xué) 邵明志 ）題1（2005年江西卷，理22題）：OABPF如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.題2（2006全國(guó)卷II，理21題）：已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（0）過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值題3（2007江蘇卷，理19題）：ABCPQOxyl 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點(diǎn)

2、任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)（1）若，求的值；（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線；（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由上述三道高考試題都涉及到拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，這個(gè)三角形又常被稱為阿基米德三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的阿基米德三角形有許多有趣的性質(zhì)，上述三題都是某些性質(zhì)的體現(xiàn)，可以預(yù)見，今后圍繞該三角形性質(zhì)的高考試題還會(huì)出現(xiàn)，因此對(duì)該三角形的性質(zhì)作進(jìn)一步的研究是必要的、有益的下面給出阿基米德三角形的一些有趣性質(zhì)，證明時(shí)均以拋物線

3、為例，且稱弦AB為阿基米德三角形的底邊，M為底邊AB的中點(diǎn)，下不贅述性質(zhì)1 阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸證明：設(shè)，M為弦AB中點(diǎn)，則過A的切線方程為，過B的切線方程為，聯(lián)立方程組得解得兩切線交點(diǎn)Q(，)，進(jìn)而可知x軸.此性質(zhì)即為題3考查內(nèi)容性質(zhì)2 若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線證明：設(shè)Q(x，y)，由性質(zhì)1，x=，y=， 由A、B、C三點(diǎn)共線知，即，將y=，代入得，即為點(diǎn)的軌跡方程.性質(zhì)3 拋物線以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于Q點(diǎn)的軌跡利用兩式相減法易求得以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的斜率為，因此該弦與Q點(diǎn)的軌跡即直線平行性質(zhì)4 若直線與拋物線沒有公共點(diǎn)

4、，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)證明：如上圖，設(shè)方程為，且，弦AB過點(diǎn)C，由性質(zhì)2可知點(diǎn)的軌跡方程，該方程與表示同一條直線，對(duì)照可得，即弦AB過定點(diǎn)C（，）.性質(zhì)5 底邊長(zhǎng)為a的阿基米德三角形的面積的最大值為證明：|AB|=a，設(shè)Q到AB的距離為d，由性質(zhì)1知=，設(shè)直線AB方程為：，則，即S=ad.性質(zhì)6 若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為證明：由性質(zhì)2，若底邊過焦點(diǎn)，則，Q點(diǎn)軌跡方程為即為準(zhǔn)線；易驗(yàn)證，即QAQB，故阿基米德三角形為直角三角形，且Q為直角頂點(diǎn)； |QM|=+=+=，而性質(zhì)6即為題2所涉及性質(zhì)性質(zhì)7 在阿基米德三角形

5、中，QFA=QFB證明：如圖，作AA準(zhǔn)線，BB準(zhǔn)線，連接 QA、QB、QF、AF、BF，則，顯然，F(xiàn)AQA，又|AA|=|AF|，由三角形全等可得QAA=QAF，QAAQAF， |QA|=|QF|，QAA=QFA，同理可證|QB|=|QF|，QBB=QFB，|QA|=|QB|，即QAB=QBA QAA=QAB+900=QBA+900=QBB,QFA=QFB，結(jié)論得證此性質(zhì)即題1的結(jié)論，但原解答采用代數(shù)法相當(dāng)復(fù)雜，這里給出的幾何法簡(jiǎn)潔明了性質(zhì)8 在拋物線上任取一點(diǎn)I（不與A、B重合），過I作拋物線切線角QA、QB于S、T，則QST的垂心在準(zhǔn)線上證明：設(shè)、，易求得過B、I的切線交點(diǎn)T，過T向QA引

6、垂線，其方程為，它和拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y =，顯然這個(gè)縱坐標(biāo)是關(guān)于對(duì)稱的，因此從S點(diǎn)向QB引垂線，從Q點(diǎn)向ST引垂線，它們與準(zhǔn)線的交點(diǎn)也是上述點(diǎn)，故結(jié)論得證性質(zhì)9 |AF|BF|=|QF|2證明：|AF|BF|=+，而|QF|2=+=|AF|BF|.性質(zhì)10 QM的中點(diǎn)P在拋物線上，且P處的切線與AB平行證明：由性質(zhì)1知Q(，)，M，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為，此點(diǎn)顯然在拋物線上；過P的切線的斜率為=，結(jié)論得證性質(zhì)11 在性質(zhì)8中，連接AI、BI，則ABI的面積是QST面積的2倍證明：如圖，這里出現(xiàn)了三個(gè)阿基米德三角形，即QAB、TBI、SAI；應(yīng)用阿基米德三角形的性質(zhì)：弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的；設(shè)BI與拋物線所圍面積為，AI與拋物線所圍面積為，AB與拋物線所圍面積為，則=，2性質(zhì)12 設(shè)，AQB=，則（1