數(shù)學(xué)教學(xué)論課件-命題及論證的教學(xué)

1、二、二、推理、證明與學(xué)習(xí)心理推理、證明與學(xué)習(xí)心理 為準(zhǔn)確地運(yùn)用概念和判斷進(jìn)行推理或?yàn)闇?zhǔn)確地運(yùn)用概念和判斷進(jìn)行推理或 證明，就必須掌握形式邏輯的基本規(guī)證明，就必須掌握形式邏輯的基本規(guī) 律律同一律、矛盾律、排中律和充足同一律、矛盾律、排中律和充足 理由律理由律 （一）形式邏輯的基本規(guī)律（一）形式邏輯的基本規(guī)律 n1 1、同一律、同一律 n同一律的內(nèi)容是：在同一時間，同一地點(diǎn)，同一思維的過同一律的內(nèi)容是：在同一時間，同一地點(diǎn)，同一思維的過 程中，所使用的概念和判斷必須確定，且前后保持一致程中，所使用的概念和判斷必須確定，且前后保持一致 n同一律的公式是：同一律的公式是：AAAA，即，即A A是是A

2、A n根據(jù)同一律的內(nèi)容，它具體有兩點(diǎn)要求：根據(jù)同一律的內(nèi)容，它具體有兩點(diǎn)要求： n一是思維的對象應(yīng)保持同一一是思維的對象應(yīng)保持同一（在思維的過程中所考察的對（在思維的過程中所考察的對 象必須確定，要始終如一，不能中途變更）；象必須確定，要始終如一，不能中途變更）； n二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一（在思維的過程中，（在思維的過程中， 要以同一概念表示同一思維對象，不能用不同的概念來表要以同一概念表示同一思維對象，不能用不同的概念來表 示同一事物，也不能把不同的事物混淆起來用同一個概念示同一事物，也不能把不同的事物混淆起來用同一個概念 來表示）來表示） n違反同

3、一律的錯誤，在概念中主要表現(xiàn)為偷換概念或所使違反同一律的錯誤，在概念中主要表現(xiàn)為偷換概念或所使 用的概念不明確等；在推理中主要是論題不明確或偷換論用的概念不明確等；在推理中主要是論題不明確或偷換論 題等題等 2、矛盾律、矛盾律 矛盾律的內(nèi)容是：矛盾律的內(nèi)容是：在同一時間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程在同一時間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程 中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么即在同一思維中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么即在同一思維 過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假 矛盾律的公式是矛盾律的公式是： 即即A A 不是不是 矛盾律實(shí)為矛盾律

4、實(shí)為“不矛盾律不矛盾律”，它是同一律的引申，是用否定形，它是同一律的引申，是用否定形 式表達(dá)同一律內(nèi)容的矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，其作式表達(dá)同一律內(nèi)容的矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，其作 用是排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性這里所用是排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性這里所 說的思維矛盾，是人們思想陷入混亂狀態(tài)或故意玩弄詭辯時說的思維矛盾，是人們思想陷入混亂狀態(tài)或故意玩弄詭辯時 所產(chǎn)生的邏輯矛盾它與客觀事物本身所存在的矛盾是不同所產(chǎn)生的邏輯矛盾它與客觀事物本身所存在的矛盾是不同 的的 兩個矛盾判斷不能同真，但可能同假兩個矛盾判斷不能同真，但可能同假例如，例如，ABCABC是銳角是

5、銳角 三角形與三角形與ABCABC是鈍角三角形是兩個矛盾的判斷，其中一個是鈍角三角形是兩個矛盾的判斷，其中一個 正確，另一個必錯誤；但其中一個錯誤，另一個未必正確，正確，另一個必錯誤；但其中一個錯誤，另一個未必正確， 這是因?yàn)檫€存在這是因?yàn)檫€存在ABCABC為直角三角形的第三種情況為直角三角形的第三種情況 A AA 3、排中律、排中律 n排中律的內(nèi)容是排中律的內(nèi)容是：在同一時間，同一地點(diǎn)，同一：在同一時間，同一地點(diǎn)，同一 思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯 定或否定的判斷即在同一思維過程中，兩個互定或否定的判斷即在同一思維過程中，兩個互 相矛盾

6、的概念或判斷不能同假，必有一真，而排相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排 除第三種可能。除第三種可能。 n排中律的公式是排中律的公式是： ，即即 或或 。 n排中律要求人們的思維有明確性，它是反證法的排中律要求人們的思維有明確性，它是反證法的 邏輯基礎(chǔ)。邏輯基礎(chǔ)。 n例如，例如， 是無理數(shù)與是無理數(shù)與 是有理數(shù)，這是兩個互是有理數(shù)，這是兩個互 相矛盾的判斷，但不能同時存在，其中必有且只相矛盾的判斷，但不能同時存在，其中必有且只 能有一個是正確的。能有一個是正確的。 AAA A 2 2 排中律和矛盾律的關(guān)系排中律和矛盾律的關(guān)系 n排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別其聯(lián)系在排中律和矛盾律既有聯(lián)

7、系，又有區(qū)別其聯(lián)系在 于：它們都是關(guān)于兩個互相矛盾的判斷，都指出于：它們都是關(guān)于兩個互相矛盾的判斷，都指出 兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是 假但如何進(jìn)一步確定誰真誰假，它們本身都無假但如何進(jìn)一步確定誰真誰假，它們本身都無 能為力，只有借助其他知識，進(jìn)行具體分析，才能為力，只有借助其他知識，進(jìn)行具體分析，才 能正確地予以回答其區(qū)別在于：矛盾律指出兩能正確地予以回答其區(qū)別在于：矛盾律指出兩 個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中 律則指出兩個互相矛盾的判斷，不能同假，必有律則指出兩個互相矛盾的判斷，不能

8、同假，必有 一真矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而一真矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而 排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛 盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，而排中律是反證法盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，而排中律是反證法 的邏輯基礎(chǔ)的邏輯基礎(chǔ) 4、充足理由律、充足理由律 n充足理由律的內(nèi)容是：充足理由律的內(nèi)容是：任何一個真判斷，必須有任何一個真判斷，必須有 充足理由，即對于任何事物的肯定或否定，都要充足理由，即對于任何事物的肯定或否定，都要 有充分的理由和根據(jù)有充分的理由和根據(jù) n充足理由律可表示為充足理由律可表示為：若有：若有B B，則必有，則必有

9、A A，使得由，使得由A A 可以推出可以推出B B充足理由律是進(jìn)行推理和證明的邏輯充足理由律是進(jìn)行推理和證明的邏輯 基礎(chǔ)，它與判斷有著密切的聯(lián)系基礎(chǔ)，它與判斷有著密切的聯(lián)系 n例如，在數(shù)學(xué)命題中，充分條件、充要條件都可例如，在數(shù)學(xué)命題中，充分條件、充要條件都可 以作為結(jié)論的充足理由，原定理可作為它的逆否以作為結(jié)論的充足理由，原定理可作為它的逆否 命題的充足理由等等。命題的充足理由等等。 充足理由律和前面三個規(guī)律有著密切的聯(lián)系充足理由律和前面三個規(guī)律有著密切的聯(lián)系 n同一律、矛盾律和排中律是為了保持同一判斷同一律、矛盾律和排中律是為了保持同一判斷( (或概或概 念念) )本身的確定性和無矛盾性

10、；充足理由律則是為了本身的確定性和無矛盾性；充足理由律則是為了 保持之間的聯(lián)系有充分根據(jù)和說服力因此，在思維保持之間的聯(lián)系有充分根據(jù)和說服力因此，在思維 過程中，如果違反了同一律、和排中律，那么就必然過程中，如果違反了同一律、和排中律，那么就必然 導(dǎo)致違反充足理由律導(dǎo)致違反充足理由律 n總之，數(shù)學(xué)推理、證明必須要求對象確定總之，數(shù)學(xué)推理、證明必須要求對象確定( (同一律同一律) )， 判斷不自相矛盾判斷不自相矛盾( (矛盾律），不模棱兩可矛盾律），不模棱兩可( (排中律排中律) )， 有充分根據(jù)有充分根據(jù)( (充足理由律充足理由律) )在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)注在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)注 意培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)

11、格遵守這些邏輯規(guī)律進(jìn)行思考的習(xí)慣，意培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格遵守這些邏輯規(guī)律進(jìn)行思考的習(xí)慣， 以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。 （二）推理、證明與學(xué)習(xí)心理（二）推理、證明與學(xué)習(xí)心理 n推理推理是數(shù)學(xué)的基本思維方法，是數(shù)學(xué)的基本思維方法，是數(shù)學(xué)的靈魂，沒是數(shù)學(xué)的靈魂，沒 有推有推理理就沒有數(shù)學(xué)。就沒有數(shù)學(xué)。 n推理與證明，是數(shù)學(xué)的基本思維過程，推理與證明，是數(shù)學(xué)的基本思維過程，推理一般推理一般 包括合情推理和演繹推理。包括合情推理和演繹推理。 n證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué) 結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前結(jié)論的正確性必須

12、通過邏輯證明來保證，即在前 提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié) 論。論。 n中學(xué)階段對推理中學(xué)階段對推理、證明、證明的學(xué)習(xí)要求是：的學(xué)習(xí)要求是：了解合了解合 情推理與演繹推理，體會二者之間的關(guān)系與差情推理與演繹推理，體會二者之間的關(guān)系與差 異異；體會證明的特點(diǎn)。了解證明的基本方法，；體會證明的特點(diǎn)。了解證明的基本方法， 包括直接證明和間接證明的方法；感受邏輯證包括直接證明和間接證明的方法；感受邏輯證 明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，通過學(xué)習(xí)使通過學(xué)習(xí)使 學(xué)生表達(dá)清楚、養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)學(xué)生表達(dá)清楚、養(yǎng)成言之有

13、理、論證有據(jù)的習(xí) 慣慣；學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方法解決數(shù)學(xué)和日常生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方法解決數(shù)學(xué)和日常生 活中的問題?；钪械膯栴}。 1.數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)推理 n推理：推理：根據(jù)判斷間的關(guān)系，從一個或幾個已有的根據(jù)判斷間的關(guān)系，從一個或幾個已有的 判斷作出一個新的判斷的思維過程叫做推理判斷作出一個新的判斷的思維過程叫做推理 n推理結(jié)構(gòu)：推理結(jié)構(gòu)：包括前提和結(jié)論兩部分；所根據(jù)的已包括前提和結(jié)論兩部分；所根據(jù)的已 有判斷叫做推理的前提，作出的新判斷叫做推理有判斷叫做推理的前提，作出的新判斷叫做推理 的結(jié)論正確的推理要求合乎邏輯形式，遵守推的結(jié)論正確的推理要求合乎邏輯形式，遵守推 理規(guī)則理規(guī)則 n推理作用：推理作

14、用：在實(shí)踐中有兩方面的作用，一是幫助在實(shí)踐中有兩方面的作用，一是幫助 人們從已知的知識推出新的知識人們從已知的知識推出新的知識; ;二是證明的工具；二是證明的工具； n推理的形式：推理的形式：由于劃分的標(biāo)準(zhǔn)不同由于劃分的標(biāo)準(zhǔn)不同, ,推理可以分成許推理可以分成許 多種類。直接推理與間接推理直接推理的前提只有多種類。直接推理與間接推理直接推理的前提只有 一個，比較簡單；間接推理則是由兩個或兩個以上前一個，比較簡單；間接推理則是由兩個或兩個以上前 提組成的推理，它又可分為歸納推理、類比推理和演提組成的推理，它又可分為歸納推理、類比推理和演 繹推理三類繹推理三類 n數(shù)學(xué)推理：數(shù)學(xué)推理：是指從數(shù)學(xué)的已

15、知事實(shí)或假設(shè)事實(shí)出發(fā)，是指從數(shù)學(xué)的已知事實(shí)或假設(shè)事實(shí)出發(fā)， 依據(jù)數(shù)學(xué)邏輯引出結(jié)論的過程。依據(jù)數(shù)學(xué)邏輯引出結(jié)論的過程。 n數(shù)學(xué)推理包括合情推理與演繹推理。數(shù)學(xué)推理包括合情推理與演繹推理。 n例例1 1 角平分線上任一點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等角平分線上任一點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等, ,因因 此此, ,到角兩邊的距離不等的點(diǎn)不在這個角的平分線上。到角兩邊的距離不等的點(diǎn)不在這個角的平分線上。 n例例2 2 矩形的對角線平分且相等矩形的對角線平分且相等, ,正方形是矩形正方形是矩形, ,所以正所以正 方形的對角線平分且相等。方形的對角線平分且相等。 n合情推理：合情推理：是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論是根

16、據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論( (包括包括 實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果) )以及個人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測以及個人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測 某些結(jié)果和推理過程，某些結(jié)果和推理過程，歸納、類比是合情推理常歸納、類比是合情推理常 用的思維方法用的思維方法在解決問題的過程中，合情推理在解決問題的過程中，合情推理 具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用， 有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng) n例如例如 工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒, ,發(fā)發(fā) 明了鋸子；人們仿照魚類的外型和它們在水中沉明了鋸子；人們仿照魚類的外型和它們在水

17、中沉 浮的原理浮的原理, ,發(fā)明了潛水艇發(fā)明了潛水艇. . n演繹推理演繹推理：是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論：是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論( (包括包括 定義、公理、定理等定義、公理、定理等) )，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到 新結(jié)論的推理過程新結(jié)論的推理過程 n合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密，相輔相成合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密，相輔相成 (1)(1)合情推理合情推理 歸納推理歸納推理 歸納推理是一種由特殊到一般的推理歸納推理是一種由特殊到一般的推理，即從個別或特，即從個別或特 殊的事物所作判斷擴(kuò)大為同類一般事物的判斷的思維殊的事物所作判斷擴(kuò)大為同類一般事物的判斷的思維

18、過程，且根據(jù)前提與結(jié)論所作判斷的范圍是否相同，過程，且根據(jù)前提與結(jié)論所作判斷的范圍是否相同， 又分為完全歸納法與不完全歸納法又分為完全歸納法與不完全歸納法 如果歸納推理的前提中一個或幾個判斷范圍的總和等如果歸納推理的前提中一個或幾個判斷范圍的總和等 于結(jié)論中判斷的范圍，這種歸納推理叫做完全歸納于結(jié)論中判斷的范圍，這種歸納推理叫做完全歸納 法就是根據(jù)對某類事物的全部對象的考察而進(jìn)行的法就是根據(jù)對某類事物的全部對象的考察而進(jìn)行的 歸納推理。歸納推理。 完全歸納法：完全歸納法： S S1 1、S S2 2、S Sn n是是A A類事物中所有的對象類事物中所有的對象 S S1 1 具有具有( (或不具

19、有或不具有)P)P S S2 2 具有具有( (或不具有或不具有)P)P S Sn n 具有具有( (或不具有或不具有)P)P - - A A類事物具有類事物具有( (或不具有或不具有)P)P 例如，分別考察某班每一個同學(xué)，確認(rèn)全班五十位同學(xué)例如，分別考察某班每一個同學(xué)，確認(rèn)全班五十位同學(xué) 在期終考試中每門功課都及格，從而推出結(jié)論，該班全在期終考試中每門功課都及格，從而推出結(jié)論，該班全 體同學(xué)在期終考試中全部過關(guān)。體同學(xué)在期終考試中全部過關(guān)。 其表示形式是：其表示形式是： 完全歸納推理的特點(diǎn)：完全歸納推理的特點(diǎn)： 1 1、前提完備：前提應(yīng)包括某類事物的全部對象。、前提完備：前提應(yīng)包括某類事物的

20、全部對象。 2 2、結(jié)論可靠：結(jié)論的斷定范圍沒有超出前提的斷定、結(jié)論可靠：結(jié)論的斷定范圍沒有超出前提的斷定 范圍，所以它確實(shí)可靠。范圍，所以它確實(shí)可靠。 由于完全歸納法在前提判斷中已對結(jié)論的判斷范圍作由于完全歸納法在前提判斷中已對結(jié)論的判斷范圍作 出了判斷，如果皆是真實(shí)的，則所得結(jié)論是完全可靠出了判斷，如果皆是真實(shí)的，則所得結(jié)論是完全可靠 的，所以完全歸納法可作為數(shù)學(xué)上的一種嚴(yán)格推理方的，所以完全歸納法可作為數(shù)學(xué)上的一種嚴(yán)格推理方 法但在應(yīng)用時，法但在應(yīng)用時，須注意前提的判斷范圍既不能重復(fù)，須注意前提的判斷范圍既不能重復(fù)， 也不能遺漏，即前提判斷范圍的總和不能小于結(jié)論判斷也不能遺漏，即前提判斷

21、范圍的總和不能小于結(jié)論判斷 的范圍的范圍 如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范 圍，這種歸納推理叫做不完全歸納法是從一個或幾個圍，這種歸納推理叫做不完全歸納法是從一個或幾個 （但不是全部）特殊情況作出一般性結(jié)論的歸納推理。（但不是全部）特殊情況作出一般性結(jié)論的歸納推理。 其表示形式是：其表示形式是： 、 、 是是A類事物中部分的對象類事物中部分的對象 具有具有(或不具有或不具有)P 具有具有(或不具有或不具有)P 具有具有(或不具有或不具有)P A類事物具有類事物具有(或不具有或不具有)P 1 S 2 S n S 1 S 2 S n

22、S 不完全歸納法：不完全歸納法： n例如，中學(xué)數(shù)學(xué)中從具體實(shí)數(shù)的運(yùn)算概括出實(shí)數(shù)例如，中學(xué)數(shù)學(xué)中從具體實(shí)數(shù)的運(yùn)算概括出實(shí)數(shù) 的運(yùn)算律以及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)等的推理都是不完全的運(yùn)算律以及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)等的推理都是不完全 歸納法，一些氣象諺語、農(nóng)業(yè)諺語、人們的養(yǎng)生歸納法，一些氣象諺語、農(nóng)業(yè)諺語、人們的養(yǎng)生 之道等也是根據(jù)不完全歸納法得到的之道等也是根據(jù)不完全歸納法得到的 n歸納推理的作用：歸納推理的作用： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中歸納的作用主要表現(xiàn)在啟發(fā)解題思路，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中歸納的作用主要表現(xiàn)在啟發(fā)解題思路， 預(yù)測解題答案利用歸納法考察原問題的特殊情預(yù)測解題答案利用歸納法考察原問題的特殊情 形，為我們提供信息，幫助從特殊性

23、到普遍性的形，為我們提供信息，幫助從特殊性到普遍性的 認(rèn)識，指明探索方向，發(fā)現(xiàn)解題途徑認(rèn)識，指明探索方向，發(fā)現(xiàn)解題途徑 類比推理類比推理 類比推理是一種由特殊到特殊的推理類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個，即根據(jù)兩個 ( (或兩類或兩類) )事物的某些相同或相似的性質(zhì)，判斷它們事物的某些相同或相似的性質(zhì)，判斷它們 在別的性質(zhì)上也可能相同或相似稱為類比推在別的性質(zhì)上也可能相同或相似稱為類比推 理理.(.(簡稱簡稱: :類比類比) )。 其表示形式是其表示形式是： A A類事物具有性質(zhì)類事物具有性質(zhì) a b c da b c d B B類事物具有性質(zhì)類事物具有性質(zhì) a b ca b c

24、- - B B類事物可能具有性質(zhì)類事物可能具有性質(zhì)d d 例如，代數(shù)中根據(jù)分式與分?jǐn)?shù)都具有分子、分母這例如，代數(shù)中根據(jù)分式與分?jǐn)?shù)都具有分子、分母這 個相同的形式，從而推測分式可以如同分?jǐn)?shù)一樣進(jìn)個相同的形式，從而推測分式可以如同分?jǐn)?shù)一樣進(jìn) 行化簡與計(jì)算；由平面上直線與直線之間的關(guān)系可行化簡與計(jì)算；由平面上直線與直線之間的關(guān)系可 以推測空間中平面與平面之間的關(guān)系等，這都是類以推測空間中平面與平面之間的關(guān)系等，這都是類 比推理比推理 類比推理的作用類比推理的作用： 在數(shù)學(xué)發(fā)展中類比的作用是提出新問題作出新發(fā)在數(shù)學(xué)發(fā)展中類比的作用是提出新問題作出新發(fā) 現(xiàn)類比能提供線索、幫助分析猜想、發(fā)現(xiàn)解決問現(xiàn)類比能

25、提供線索、幫助分析猜想、發(fā)現(xiàn)解決問 題的途徑類比是擴(kuò)大知識范圍、獲得新知識、發(fā)題的途徑類比是擴(kuò)大知識范圍、獲得新知識、發(fā) 現(xiàn)真理的重要手段，類比在獲得科學(xué)成果和數(shù)學(xué)命現(xiàn)真理的重要手段，類比在獲得科學(xué)成果和數(shù)學(xué)命 題中有重要作用題中有重要作用 類比推理的幾個特點(diǎn)：類比推理的幾個特點(diǎn)： n1.1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性, ,推推 測正在研究的事物的屬性測正在研究的事物的屬性, ,是以舊有的認(rèn)識為是以舊有的認(rèn)識為 基礎(chǔ)基礎(chǔ), ,類比出新的結(jié)果類比出新的結(jié)果. . n2.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事 物的

26、特殊屬性物的特殊屬性. . n3.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠, , 有些結(jié)有些結(jié) 論，還有待于實(shí)踐和理論的證明但它卻有發(fā)論，還有待于實(shí)踐和理論的證明但它卻有發(fā) 現(xiàn)的功能現(xiàn)的功能. . （2 2）演繹推理）演繹推理 演繹推理演繹推理是是一種由一般到特殊的推理一種由一般到特殊的推理，即以某類，即以某類 事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個別、事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個別、 特殊事物判斷的思維形式特殊事物判斷的思維形式 簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實(shí)現(xiàn)簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實(shí)現(xiàn) 的的 三段論推理三段論推理由兩個前提由兩個前

27、提( (大前提、小前提大前提、小前提) )推出推出 一個結(jié)論的思維形式稱為三段論推理一個結(jié)論的思維形式稱為三段論推理, , 又稱三段又稱三段 論法。三段論推理是演繹推理的最主要形式，是論法。三段論推理是演繹推理的最主要形式，是 中學(xué)階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)中學(xué)階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn) n其表現(xiàn)形式是：其表現(xiàn)形式是： 集合集合M中的元素具有中的元素具有(或不具有或不具有)P zM - 也具有也具有(或不具有或不具有)P 三段論的結(jié)構(gòu)包括大前提三段論的結(jié)構(gòu)包括大前提-是指一般性事是指一般性事 物物, 如已知的公理、定理、定義、性質(zhì)等如已知的公理、定理、定義、性質(zhì)等,反映反映 一般原理的判斷，小前提一般原理的判斷，小前

28、提-反映個別對象與反映個別對象與 大前提有關(guān)系的判斷，以及結(jié)論三個判斷如大前提有關(guān)系的判斷，以及結(jié)論三個判斷如 果大前提、小前提都正確，則結(jié)論一定正確。果大前提、小前提都正確，則結(jié)論一定正確。 例例1 1，因?yàn)樨?fù)數(shù)無對數(shù)，因?yàn)樨?fù)數(shù)無對數(shù)( (大前提大前提) )； -1-1是負(fù)數(shù)是負(fù)數(shù)( (小前提小前提) )； 所以，所以，-1-1無對數(shù)無對數(shù)( (結(jié)論結(jié)論) ) 例例2 2，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分( (大前提大前提) )； ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形( (小前提小前提) )； 所以，所以，ABcDABcD的對角線的對角線ACAC與與BDBD

29、互相平分互相平分( (結(jié)論結(jié)論) ) （3）合情推理與演繹推理的關(guān)系）合情推理與演繹推理的關(guān)系 n合情推理與演繹推理在實(shí)際問題推論中相輔相成合情推合情推理與演繹推理在實(shí)際問題推論中相輔相成合情推 理用于探索，猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論演繹推理用于確認(rèn)結(jié)論的理用于探索，猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論演繹推理用于確認(rèn)結(jié)論的 正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想 n在探索自然規(guī)律時，首先要確定一個目標(biāo)，或者提出一個在探索自然規(guī)律時，首先要確定一個目標(biāo)，或者提出一個 要解決的問題；然后通過日常的實(shí)踐、分析和合情推理，要解決的問題；然后通過日常的實(shí)踐、分析和合情推理， 總結(jié)出一個預(yù)期的解決方案或猜想

30、；最后還需對此猜想作總結(jié)出一個預(yù)期的解決方案或猜想；最后還需對此猜想作 出嚴(yán)格的證明證明的過程中則需要按演繹推理的規(guī)則進(jìn)出嚴(yán)格的證明證明的過程中則需要按演繹推理的規(guī)則進(jìn) 行，證明完前一步，下一步又該如何演繹，仍需依靠合情行，證明完前一步，下一步又該如何演繹，仍需依靠合情 推理提供思路，直至完成全部證明可見，合情推理與演推理提供思路，直至完成全部證明可見，合情推理與演 繹推理在實(shí)際問題推論中相輔相成的。繹推理在實(shí)際問題推論中相輔相成的。 2、中學(xué)數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)、中學(xué)數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí) n數(shù)學(xué)證明是應(yīng)用已經(jīng)確定其真實(shí)性的公理、定理、定數(shù)學(xué)證明是應(yīng)用已經(jīng)確定其真實(shí)性的公理、定理、定 義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)

31、命題來論證某一數(shù)學(xué)命題的推義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)命題來論證某一數(shù)學(xué)命題的推 理過程理過程 n邏輯證明是邏輯證明是由論題、論據(jù)、論證三個部分組成的由論題、論據(jù)、論證三個部分組成的 n論題論題是需要證明其真實(shí)性的判斷，是需要證明其真實(shí)性的判斷，論據(jù)論據(jù)是用來證明論是用來證明論 題真實(shí)性所引用的那些判斷，題真實(shí)性所引用的那些判斷，論證論證就是由論據(jù)出發(fā)進(jìn)就是由論據(jù)出發(fā)進(jìn) 行一系列推理來證明論題的真實(shí)性的過程行一系列推理來證明論題的真實(shí)性的過程 n數(shù)學(xué)證明習(xí)慣上分成已知、求證、證明三個部分來數(shù)學(xué)證明習(xí)慣上分成已知、求證、證明三個部分來 寫寫其中其中論據(jù)論據(jù)是包括論題給定的條件和證明論題時所是包括論題給定

32、的條件和證明論題時所 引用的那些論據(jù)，以及已知的公理、定理、公式、定引用的那些論據(jù)，以及已知的公理、定理、公式、定 n義、法則、性質(zhì)等命題；義、法則、性質(zhì)等命題；求證求證就是論題的結(jié)論，即有就是論題的結(jié)論，即有 待于證明具有真實(shí)性的命題；證明就是論證，即證明待于證明具有真實(shí)性的命題；證明就是論證，即證明 論題真實(shí)性的推理過程論題真實(shí)性的推理過程 n證明格式證明格式常用的有聯(lián)用式與推進(jìn)式兩種常用的有聯(lián)用式與推進(jìn)式兩種 n聯(lián)用式聯(lián)用式是聯(lián)用是聯(lián)用“因?yàn)椤⑺砸驗(yàn)?、所以”表示推理關(guān)系表示推理關(guān)系 的書寫格式的書寫格式 . .聯(lián)用式給人以聯(lián)用式給人以“亂亂”的感覺。的感覺。 n推進(jìn)式推進(jìn)式是借助符號是

33、借助符號“ ”“ ”表示蘊(yùn)含關(guān)系或推表示蘊(yùn)含關(guān)系或推 理關(guān)系的書寫格式，且都可分為橫、豎兩種基本理關(guān)系的書寫格式，且都可分為橫、豎兩種基本 形式推進(jìn)式給人以形式推進(jìn)式給人以“繁繁”的感覺。的感覺。 n中學(xué)常用的幾種證明方法直接證明和間接證明中學(xué)常用的幾種證明方法直接證明和間接證明 n（1）直接證法）直接證法 n在數(shù)學(xué)證明中，從正面證明論題真實(shí)性的證明方在數(shù)學(xué)證明中，從正面證明論題真實(shí)性的證明方 法，叫做法，叫做直接證法直接證法 n凡是用演繹法證明命題真實(shí)性的都是直接證凡是用演繹法證明命題真實(shí)性的都是直接證 法它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的證明方法。法它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的證明方法。在數(shù)學(xué)證在數(shù)學(xué)證 明中，

34、明中，分析法與綜合法分析法與綜合法是直接證明的兩種基本的是直接證明的兩種基本的 方法。一種是由已知走向求證，即方法。一種是由已知走向求證，即從數(shù)學(xué)問題的從數(shù)學(xué)問題的 已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到 待證結(jié)論或需求的問題，這一方法稱為待證結(jié)論或需求的問題，這一方法稱為綜合法綜合法； 另一種則是反過來，由求證走向已知，即從數(shù)學(xué)另一種則是反過來，由求證走向已知，即從數(shù)學(xué) 題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索 下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件，這種方法稱為下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件，這種方法稱為 分析法

35、分析法 n（2）間接證法）間接證法 n不是直接證明論題的真實(shí)性，而是通過證明論題的否不是直接證明論題的真實(shí)性，而是通過證明論題的否 定論題不真實(shí)，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題不真實(shí)，或者證明它的等效命題成立，從而肯 定論題真實(shí)性的證明方法，叫做定論題真實(shí)性的證明方法，叫做間接證法間接證法間接證法間接證法 主要有主要有反證法反證法與與同一法同一法 n反證法反證法 n反證法的一般步驟如下：反證法的一般步驟如下： (1)(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立( (即結(jié)論的否定成立即結(jié)論的否定成立) )； (2)(2)從否定結(jié)論出發(fā)，逐層進(jìn)行推理，得出與公理，或從否定結(jié)論出發(fā)，逐層進(jìn)

36、行推理，得出與公理，或 前述的定理、定義或題設(shè)條件，或與臨時假設(shè)等自相矛前述的定理、定義或題設(shè)條件，或與臨時假設(shè)等自相矛 盾盾( (即說明結(jié)論不能否定即說明結(jié)論不能否定) )； (3)(3)根據(jù)排中律，最后肯定原命題成立根據(jù)排中律，最后肯定原命題成立 n同一法同一法 n如前所述，兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有如前所述，兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有 當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論都唯一存在，且它們所指的概念當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論都唯一存在，且它們所指的概念 是同一概念時，該命題與其逆命題是同一概念時，該命題與其逆命題( (或否命題或否命題) )才等效，這才等效，這 個原理叫做同一原

37、理對于符合同一原理的命題，當(dāng)直接個原理叫做同一原理對于符合同一原理的命題，當(dāng)直接 證明有困難時，可以，改證與它等效的逆命題，這種證明證明有困難時，可以，改證與它等效的逆命題，這種證明 方法叫做方法叫做同一法同一法 n同一法的一般步驟如下同一法的一般步驟如下： (1)(1)當(dāng)命題的條件與結(jié)論所含事項(xiàng)都唯一存在時，先作出當(dāng)命題的條件與結(jié)論所含事項(xiàng)都唯一存在時，先作出( (設(shè)設(shè) 定定) )符合命題結(jié)論的圖形符合命題結(jié)論的圖形( (或算式或算式) )； (2)(2)證明所作圖形證明所作圖形( (或設(shè)定的算式或設(shè)定的算式) )符合已知條件；符合已知條件； (3)(3)根據(jù)唯一性，確定所作圖形根據(jù)唯一性，

38、確定所作圖形( (或設(shè)定的算式或設(shè)定的算式) )與已知圖形與已知圖形 重合重合( (或與已知關(guān)系式相同或與已知關(guān)系式相同) )； (4)(4)最后肯定原命題成立最后肯定原命題成立 n反證法與同一法都是間接證法它們的主要區(qū)別 是： n方法不同反證法先否定結(jié)論，然后再予以反駁；方法不同反證法先否定結(jié)論，然后再予以反駁； 同一法先作出同一法先作出( (設(shè)定設(shè)定) )符合命題結(jié)論的圖形符合命題結(jié)論的圖形( (或算式或算式) )， 然后推證所作圖形然后推證所作圖形( (或算式或算式) )與已知圖形與已知圖形( (或關(guān)系式或關(guān)系式) )相相 同同 n根據(jù)不同反證法的邏輯依據(jù)是排中律，利用原命根據(jù)不同反證法

39、的邏輯依據(jù)是排中律，利用原命 題與其逆否命題的等價性來證明的；同一法的邏輯依題與其逆否命題的等價性來證明的；同一法的邏輯依 據(jù)是同一律，利用原命題與其逆命題的等價性來證明據(jù)是同一律，利用原命題與其逆命題的等價性來證明 的的 n適用范圍不同反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，適用范圍不同反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)， 只要能推出矛盾就行，而這個矛盾不一定由于圖形只要能推出矛盾就行，而這個矛盾不一定由于圖形 ( (或關(guān)系式或關(guān)系式) )的的“唯一存在性唯一存在性”引起的因此，反證法引起的因此，反證法 可適用于各種命題，而同一法只適用于符合同一法則可適用于各種命題，而同一法只適用于符合同一法則 的命題的命

40、題 內(nèi)容歸納起來就是： 推理的方法推理的方法 思維的理路思維的理路 證明的方法證明的方法 歸納法歸納法 類比法類比法 演繹法演繹法 分析法分析法 綜合法綜合法 直接證明法直接證明法 簡接證明法簡接證明法 完全歸納法完全歸納法 不完全歸納法不完全歸納法 反證法反證法 同一法同一法 歸謬法歸謬法 窮舉法窮舉法 推推 證證 同同 法法 以數(shù)學(xué)方法研究邏輯的分科，叫做數(shù)理邏輯或符號邏輯。以數(shù)學(xué)方法研究邏輯的分科，叫做數(shù)理邏輯或符號邏輯。 3、推理論證的學(xué)習(xí)心理 推理論證素質(zhì)的形成主要依賴于批判性思維和邏輯修養(yǎng)批推理論證素質(zhì)的形成主要依賴于批判性思維和邏輯修養(yǎng)批 判性思維是指善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)

41、地檢查思維過判性思維是指善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過 程的思維方式批判性思維具體呈現(xiàn)在以下幾個特點(diǎn)上：程的思維方式批判性思維具體呈現(xiàn)在以下幾個特點(diǎn)上： 分析性分析性在思維過程中不斷地分析解決問題所依據(jù)的條件在思維過程中不斷地分析解決問題所依據(jù)的條件 和反復(fù)驗(yàn)證業(yè)已擬定的假設(shè)、計(jì)劃和方案；和反復(fù)驗(yàn)證業(yè)已擬定的假設(shè)、計(jì)劃和方案； 策略性策略性在思維課題面前，根據(jù)自己原有的思維水平和知在思維課題面前，根據(jù)自己原有的思維水平和知 識經(jīng)驗(yàn)在頭腦中構(gòu)成相應(yīng)的策略或解決問題的手段，然后使識經(jīng)驗(yàn)在頭腦中構(gòu)成相應(yīng)的策略或解決問題的手段，然后使 這些策略在解決思維任務(wù)中生效；這些策略在解決思維任務(wù)中生

42、效； 整體性整體性在思維活動中，善于客觀地考慮正反兩方面的論在思維活動中，善于客觀地考慮正反兩方面的論 據(jù)，認(rèn)真把握問題的進(jìn)展情況，隨時堅(jiān)持正確計(jì)劃，修改錯據(jù)，認(rèn)真把握問題的進(jìn)展情況，隨時堅(jiān)持正確計(jì)劃，修改錯 誤方案；誤方案； 獨(dú)立性獨(dú)立性堅(jiān)持規(guī)則，不為情境性的暗示所左右，不人云亦堅(jiān)持規(guī)則，不為情境性的暗示所左右，不人云亦 云，盲從附和。云，盲從附和。 嚴(yán)謹(jǐn)性嚴(yán)謹(jǐn)性思維過程嚴(yán)謹(jǐn)，組織有條理，堅(jiān)持實(shí)事求是思維過程嚴(yán)謹(jǐn)，組織有條理，堅(jiān)持實(shí)事求是 推理論證的學(xué)習(xí)心理：推理論證的學(xué)習(xí)心理： n以似真為必真以似真為必真(27) (27) n初學(xué)推理者習(xí)慣于接納合情推理，認(rèn)為推理就初學(xué)推理者習(xí)慣于接納合情推理，認(rèn)為推理就