考研高數(shù)易錯(cuò)部分總結(jié)精品

1、考研高等數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)1.1. 函數(shù)的性質(zhì)1.1.1. 單調(diào)性1.1.2.奇偶性a奇函數(shù)：f(x) = O-aaa偶函數(shù)：f(x) = 2 f (x)-a0奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)xF(x) f(t)dt,F(x)二 f(x)有：f(t)是奇函數(shù)二F(x) C是偶函數(shù)(C是任意實(shí)常數(shù))f (t)是偶函數(shù)=F(x) C是奇函數(shù)(C=0)f (x)是奇函數(shù)，當(dāng) x (0, ：), f(x) 0, f (x) 0(推出：f (x)在x 0上是Exa:單調(diào)遞增的，并且f (x)是偶函數(shù),x (0,二)上f (x)單調(diào)增)所以:x (：,0)時(shí)f (x) 0, f (x) M。2、聯(lián)系

2、：3、例題：f(x)=xsinx,當(dāng)Xr 時(shí)，f (x)是:A ：B. 無(wú)界量C. 有界量D. 無(wú)窮小量解：對(duì)于函數(shù)f(x) =xsinx,由于sin x是周期函數(shù)，將之改寫成：f(x) =(2 n二)si n(2 n二)三0,當(dāng)n很大時(shí)，x也很大，但是f(x)趨于0 若改寫成：f(x)=(2n)sin(2 n )三2n ，當(dāng)n很大時(shí)，2 2 2x也很大，但是f(x)趨于：。選Bf(x)=xLsin(x2)2 ,以下有界區(qū)間是:x(x1)(x2)A. ( -1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)本題考查開區(qū)間的有界性。x (-1,0),f(x)=-sin(x2)2(x-1)(

3、x-2),連續(xù),lim f(x)=, lim f(x)=X_； 1 亠18X0 -sin24x(0,1),f(x)二sin(x - 2)(x-1)(x-2)(x-1)(x-2)lim f(x)= , lim f(x)不存在X )0 4 x ：1 X(1,2),f(x)二同理x (2,3),f(x)二sin(x - 2)(x-1)(x-2)2si n(x -2)同理1.1.5.連續(xù)性與間斷點(diǎn)g(x)二 型,如果f(x)是奇函數(shù)，且f(o)存在，問(wèn)：xx =0是g(x)的那一類間斷點(diǎn)？ 分析：xo是函數(shù)f(x)間斷點(diǎn)的3個(gè)充分條件：1、X0沒(méi)有定義。2、xo有定義，但是lim f (x)不存在。x

4、o3、 x0有定義，lim f(x)存在，但是 lim f(x)(x0)。判斷類型：lim f(x)、lim f (x)存在，x 談0 .jx -如果：lim f (x)= lim f(x)= x0為可去間斷點(diǎn)(第一類)JX0 一lim f(x)= lim f(x)= x0為跳躍間斷點(diǎn)(第一類)x_ x0 X_ 0 -非第一類間斷點(diǎn)即第二類間斷點(diǎn)，有無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn) 解答：g(x)在x=0沒(méi)有定義。Exa： lim g (x) =limf(x = li叫 二 f (0)存在，所以x =0是g(x)的可去間斷點(diǎn)。1.2. 極限 1.2.1.極限的定義0函數(shù)極限的定義：f(x)在U(x。)有

5、定義，對(duì)一任意該定的正數(shù)0；，不管它有多小，總存在U(x0,：),使得If(x)-A|v ;lim f(x)=Ax %0U(X0, )= 0 ：|x x0 I ： 1.2.2.極限的唯一性1.2.3.極限的局部保號(hào)性lim f (x) = AX Xo若：0(1) U(Xo), f (x) _0(f (x)乞 0)= A_0(A 0)0 A 0(A ： 0) = U(X),、)，f (x) 0(f (x) ： 0)exal: f(x)在x =x某鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim 心-牛0)=2(x -滄)討論f(x)在x0處的極值。解：lim f(x)-f(x。)g x U(X0),0x心(x-x)(X-x

6、jX r X0 J X - X0 : 0n為奇數(shù),(xx0)n ： 0, f (x)f (x0) ： 0n為偶數(shù)，(xx0)n0, f (x)f (x0) 0 兒X； x0 ,x -x 0n為任意整數(shù)，(x-x)n 0, f (x) - f (x) 0所以：n為奇數(shù)時(shí)，x0不是極值點(diǎn)n為偶數(shù)時(shí)，x0是極小值點(diǎn)注：本題關(guān)鍵：去極限符號(hào)，用保號(hào)定理分n的奇偶性，極值的討論方法exa2: f (x),a,b連續(xù)，f (a)二 f (b) = 0, f (af (b)0求證：二三(a,b), f( )=0 證明：不妨設(shè)f(a) 0,那么f(b)0.f (x) 一 f (a)f(a)=lim0,T 0,

7、x(a, a 、J, f (xj f (a) = 0 x afQVIim 型 0, 20,x2 (b 2,b), f(x2) ： f (b) =0xtxb零點(diǎn)定理得結(jié)論，需記住此結(jié)論exa3: f (x)連續(xù),f (0) =0且lim帯1分析：limf (0) =0討論f (x)在x = 0的特殊點(diǎn)情況。f (x)01 0,存在:0,在U(0,、M,f”(x) 0,f(x) |x|x (0, Jf(x)0二 f(x)x (i,0), f(x) ：0二 f(x八因此x =0是f(x)的極小值點(diǎn)f (x)exa4: f (x)連續(xù)，且 lim1討論f (x)在x二0的特殊點(diǎn)情況。分析：limf (

8、x)x01：0,存在、0,在 U（0,、）內(nèi),f (x)x:0顯然：一x (0, ), f(x) ：0r (-,0), f(x)0根據(jù)拐點(diǎn)的判斷條件：f （x）一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)性改變的點(diǎn)是f（x）的拐點(diǎn) f（x）單調(diào)性改變的點(diǎn)是f（x）的極值點(diǎn)。1.2.4.極限存在的條件極限存在的充要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限存在且相等, 者是否等于函數(shù)在該點(diǎn)的值沒(méi)有關(guān)系。P63但是與函數(shù)在該點(diǎn)是否定義,Exa:a +2cosx(x =0)f(x) = b(x=0)若 lim f (x)存在，求 a,bsi n3X/c、(x“)L. x丿lim (a 2cosx) = a 2 =lim 沁=3.x Xa = 1,

9、b二任意實(shí)數(shù)1.2.5.幾個(gè)潛規(guī)則1、： （.）極限若存在，必有（.）=0（分子）2、 （分子1極限若存在且（分母） 0,必有（分子）=0 （分母）3、極限若存在且-0 （分子）0,必有（分母）=0 （分母）x3 +ax2 +bexa1: lim8,a = ?b = ?T x-2li32limj xax b)=8 4a b=0322(x ax b) 3x2ax2lim(3 x 2ax) = 12 4a = 8X )2exa2 : lim( . x2 x 1 - ax - b) = 0, a = ?b = ?原式=lilim xJx2 +x +1 _ax_： x-X2 X 1 )=a = lim

10、_b)= limx x廠(Jx2+x + 1 _a_b) = 0 xxi+丄+-4 =1x x3xln(1 t )adt3lim xln1dt=0= a=0 j0 a tbx sin xlimx )0xln(1 t3)dtx(b cosx) =lim3ln(1 x )0 tx(bcosx) =limx )0二 b =1b -cosx =limx 0b = lim( Jx2 +x +1 -x) = lim x訂1 十丄 + 丄 一1 = lim x十厶)=丄 x廠x廠x xx廠2 x x 二bx sin xexa3:右 lim3 c(c = 0), a = ?b = ?1.3. 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)存在的充

11、要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，首先函數(shù)必須在該點(diǎn)有定義。導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的極限，即增量趨于零的極限，極限的定義形式有3種：1.4. 極限的求法 1.4.1.步驟：判斷類型、選擇方法不定型：0 二、0、于 O0、旳 _oO、00旳要區(qū)別“真正的 0和1”和“極限為0和1真正的0乘以任何數(shù)為0.lim n sin（2n二）=0n_.0 2xtg-_nT=limn_：:=1exa3: lim(n_potg1)nn2= lim(1n .tg n1-1)1tg-n j1n1 1tg 1 n n 1n1n21tg 1 -limn- *n ：11nn注:1,加1.減1.顛倒.還原自變量是“n?的函

12、數(shù)不能直接用洛必達(dá)法則,1 1 1ax bcx應(yīng)該是般-特殊exa4:求極限lim(xtoC1 1 b c - 331 1 1(令 t,lim 護(hù) &c3x x ：31a x解：原式=lim(1 一xSC*xlim(at-1) (bt-1) (ct-1)tT3ti ax丄 丄 丄 ax bx -cx :1 1b； -6 -3x1(abc)?= limat btt od 33t.11 na + tl nb + tl nc 二 limt-Q3t1ln (abc)33x1.4.3.利用等價(jià)代換求極限利用等價(jià)代換求極限（上面其實(shí)已經(jīng)用過(guò)）常用的等價(jià)無(wú)窮?。?x 0)s inx |_ta nxarcsi

13、 n x _ arcta nx_x(x 0) axL xIn a(x 0)ex-U x (x；O)I n(1+x) Lx (x 0)(1+x) m_i L mx.1 2(x0)1-cosx x2(x 0) tan x - xexal:求極限：lim13-x3tanx x e -e3xtanx解法1:原式=lim e02xtan x xsec x-ee -elim2x a3x23x2tan x2xtan x xtanx2xe*sec x-e e-ee*sec x-e6x6x二 limlimlim0x )06xx)06 xx 刃 （錯(cuò)誤很隱蔽：和解法 2 一樣）x x解法2 :原式=lim乞輕 =

14、0（tanx_ x,錯(cuò)!等價(jià)代換不能用在加減運(yùn)算中 X 4 X-解法3：原式(etanx1)( ex -1)3xx3tan x e（錯(cuò)！ ！前提條件是兩個(gè)極限都存在，由下面知道，這兩個(gè)極限都是不存在的。這樣做沒(méi)有道理）解法4（正確）：原式3 x二 limx0x tan x -x八e (e -1)二 limx0tan x -x /e -1tan x - xx31.4.4.洛必達(dá)法則求極限總之，用洛必達(dá)法則求極限時(shí)(如果可以用洛必達(dá)法則)，可以 先用等價(jià)代換化簡(jiǎn)，但是等價(jià)代換只能用在乘法或者除法，千萬(wàn) 不能用在加減法中，即被作等價(jià)代換的因子不能是加減法的一部分氏2In (1+t2)dtexa2:求

15、極限 lim 一20T(21 0. ln(1 _l)(e3x 1)(Jl+x3 1)解：當(dāng)X0時(shí),2” -1 _x2ln2,e3x-13x,Jl + x3 1L -x3,且這幾個(gè)因子是- _ 2x22f ln(1 +t )dt 乘積的關(guān)系，所以原式 Tim 042x ln(1 x )=limx)0 35ln 2 *6x 2c 42x *x213x ln 2 *3x x 22?ln26x59ln22x22ln(1 t )dt =limx3ln2 x62啊知沁(0),sin x ln(滬四沁xcosxLx-sin x2x2xcosxLx -sin x2sin x x2很復(fù)雜另解：原式二 limx

16、0 x$ln(1 沁-1):xsin x -1) 1丫x； 0時(shí) ln(1 x) _x,sin xsin x原式=lim sinx-x =lim sinxx應(yīng)用洛必達(dá)法則xT x2xxox3COSX -13x2結(jié)論:洛必達(dá)法則和等價(jià)代換混合使用145(夾逼定理和)定積分定義Exa1:1求lim（n ； ： n 1 n 22n）令丄丄n 1 n 21 1 Xn2n1Xnv2n1二Xn,則2n1+n 12n 2求不出來(lái)lim（亠n_, n 1=lim 1二nf n i n i1 1I11丄丄n n 1 n 2亠n nn jn i” 丄dx = l n21 xnsin 求打=lim（ nn n 1.

17、2 二sin -n.n 二sin -n）1 iIn Elim sin： 一） n iy n1n -n21 2 jsi n：xdx= ln - lim -sin（二丄）Jim-12-i ： n 1 i n n .； ： n二 lim *lim 1 sin（二丄）=2nr：n 1 i ：n y n JI2ln = 2 （夾逼準(zhǔn)則）、sin（二丄）i a n1.46利用收斂級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為0exal:處 nini級(jí)數(shù)v二收斂=lim羋=0nnFn基本概念：1、級(jí)數(shù)是一個(gè)數(shù)項(xiàng)，確切的說(shuō)是一個(gè)數(shù)列的和表達(dá)式qQ，數(shù)列的一般項(xiàng)Un也是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。Un表示一個(gè)級(jí)數(shù)nA Un = 6 U2. Un .n =1n

18、:2、數(shù)列的前n項(xiàng)的和sn =二ui稱為級(jí)數(shù)un的部分和。sn又可以構(gòu)成一個(gè)i 4nA新的數(shù)列，稱為該級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列SnqQ3、lim snn:二S存在，級(jí)數(shù)x Un收斂，和為S,反之，發(fā)散n =1(n 1)!4、審斂法：lim (n 1) n# n!nn阿&)艸片十1 收斂n1.4.7.泰勒公式-皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式-皮亞諾余項(xiàng)：無(wú)窮小運(yùn)算法則：/ m 丄 / nm in m,no(x ) o(x ) = o(x ) o(x ) o(x ) =o(x )f(x)在含有X。的開區(qū)間具有直到n1階的導(dǎo)數(shù)f (x) =a a,x -x。) a?(x -x。)2 -. a.(x - x)n o( x

19、 - x)n,其中an(xo),如果x。=0,即成帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式:n!f (x)二 a。qx a2x2 anxn o(xn), an 二常見的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式f 5)(。)n!x1ea0 x x213sin x = x x3!2 2o(x )o(x3)4 1 2 cosx =1 一 一x 2!1ln(1 x)1 .x o(x ) 4!2 , 13=X 一 X x23144x o(x )4tan x =secx =tan xcos xX z。= 11 2tanx = -2廠(sin x) =sec xtanx= tanxcos x2x=0二 26 cos xtanx

20、 =(呼)，2(cos x 吧 x 沁 x)二 tan妝cos xmm(m1) 22(1 x)m =1 mxx3x o(x) o(x2)2!m ,m(m -1) 2, 2、(1 x) 1 - mxx o(x )2!xf(x)+si n6xf (x) 6 oexal:已知 lim30,求 lim 2?x-0x3x2分析：湊丄冒，原式.limx( f(x)+6)3+sin6x-6xxTXf(x)+6sin 6x-6xx6( 36x2)-6( ) -lim 2 = _36x3x2或者 sin6x=6x- (6x)3!x3sin 6x-6x6(cos6x-1)幾四一=xmxr-x3o（6x）3）,ms

21、in 6x-6x=-36存在lim竺乞=36x 0 x1 2 exa2 :叫(二-cot x) = ?(tan x x)(tan x - x) 原式=lim(22)exa2 : li二 lim(x2 2x tan x133(tan x x)(x x o(x ) -x)xlx3= 2lim(x03 o(x3)3xexa3: limX 一tan(tan x) -sin(sin x)ix3洛必達(dá)法則求?133133tan x=x x o(x )= tan(tan x) = tanx(tan x) o(x )3 31 3 11 3 33=x x (x x ) o(x )3 33131=x x (x .

22、) o(x )332 = x x3 . o(x3)不必求了3133133sin x = x x o(x )= sin(sin x)二sin x sin x o(x )6 61 311 3 33=(x x ) (x x ) o(x )6 66 = x -中x3. o(x3)不必求了=x 2 x3 -(xx3)=x333原式=1TFFx+VTH2 exa4: lim2?7x2分析：可以用洛必達(dá)，有理化，泰勒公式.1 x =111 x2 o(x2)24、1 _x 11 x2 o(x2)24122x o(x )1原式=lim 21.4.8.無(wú)窮小比較exa:lim f (x) xt 1 -cosx分析

23、:lim f (x) T 1 _ COSXx2=1且。f(t)dt與弋是同階無(wú)窮小，求n1 2 =1= f (x) 1-cosxxx2x2f f (t)dt0 f (t)dt與是同階無(wú)窮小二lim 亍WO)Jim f(x2)2xn _1 nx1x42xTimnx5xnx1.4.9.其它方法總結(jié)lim ( ax+ (1+ 丿)=b,求 a,bx 0ln(1+e x)解：x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如:0 +=0 ,0=-1 ,lim( ax+x0ln(1+e x)ln(1+e x)=limx 0ln(1+e x)（方法1)(1+e x)eX(-ln(1+e-X=lim+Xr 04(1+e x)(1

24、+ex)（方法2）limXr 01(1+eX)e x(-p) x1eXG -4)x4 limlnelne計(jì)千2+Xr 0lim (ax+ln(1+eXr 0a2ex+exXr 02 limex（-電）x1exex2 limx(1+e x)limx(1+e x)lne x+ln(1+e x)lne x+ln(1+e x)2X)ln(1+e x)=lim( aix)+lim(Xr 0x 0ln(1+e X)ln(1+e x)130 二和1(1 x x2) -3x2 x - 2(x 1)(x 2)=lim廠二 lim廠 =lim x 1 (1 x)(1 x x ) x :1 (1 x)(1 x x

25、) x -(1 x)(1 x x )x+2Tmi(1 X X2) 一 _11.4.10.幾個(gè)常用的結(jié)論0si nx= 2i/ 2左式=-Isxn J=sin xcosx7/2 /2 n _20 (n“0 sin xcosxdx/2n _22二 0 (n -1) 0 sin x(1 -sin x)dxn _2=(n -1)。氣innxdx-(n - 1).sinn xdx=(n _1)In _ (n -1)*In口 In,其中I。nJI=2，I1 =1)12131 二州2 2=2 133 1JI4 2 24 2彳I515 3165 3 1州州州Innn -2n Tn -3n n 22 ” 3（n

26、為正偶數(shù)）-（n為正奇數(shù)且大于1）5 3ji0ln =二/2nsin xdx =二/2ncos xdx-二 /2,ln/2 _X,ln0 0sin n（t 二 / 2）dt=-二/20-f sin n（n / 2 t）dt=-：/2 ）:cos tdt y20ncos tdt7/2(I。2, Ii =1）證明:左式/2cosn xdx 0cosn xdxn二/2nsin xdx 二 2 sin xdxJ0兀n亠 i sin xdx：/2珥j/ 2sin nxdxsin nxdx即 卩可二/2nsin xdx只需要證明:令 t=x-二/2JI-7/2JI7/2-sinxdx sinn（：/2 t

27、）dt二/2cosntdt=/2si nnxdx證明完畢問(wèn)題：0兀 ncos xdx 二 2:;/2cosn xdx馬左式=二/2n 二 ncosxdx二/2cosxdx令 t=x-二/2ncos兀n兀/2nn ：J2cosxdx=0 cos （兀 / 2 + t）dt = （-1） J00（n是奇數(shù)）xdx -：/22p cosnxd（ n 是偶數(shù)）二/2求: ann-：0cosntdtx sin xdx解：去絕對(duì)值符號(hào)？這樣會(huì)出現(xiàn)很多的項(xiàng)，可以這樣考慮是一個(gè)周期為二函數(shù)，令t=n黛X, x = n恵tExa: an 二- n（nH -t） sin（n -t）dtnJ!.=f0 （n兀-t）

28、 sintdt/兀InnI=（n兀）sintdt- t sin t dt2兀|22=（n 兀）sin t dx an =2n 兀an n an = n 兀,因?yàn)閟in x1.5. 分段函數(shù) 1.5.1.分段函數(shù)的復(fù)合exal:f (x) =cosx, f ( (x) = 2 x2.求(x)的定義域。設(shè):(x)的定義域D-X D,值 (x), f ( (x) = cos (x) = 2-x2有 2x2 蘭 1二 一1 蘭 2x2E1= 1 蘭 x22 蘭 1二 1 蘭 x2 蘭 3呂 1 勻x|J3exa2 :g(x)Jx2(0)IJx(x MO)12 x(x AO)求 f(g(x)答案:004

29、e2方法g(x)(g(x)0)|2g(x)(g(x)3 0)對(duì)g(x)來(lái)說(shuō)什么時(shí)候g(x) : 0呢?令 g(x) ：0= x 1 g(x) _ 0= 0乞x空1或者x : 0所以:2(1 -x)(x 1) f(g(x) =2 (1 x)(0 蘭x 蘭1)22 -x(X 0)方法二:exa3:求丨 f (g(x)dx,其中f (x)斗x|,g(x)=壯一1 ,x0J|x ,x cof(g(x)E(x)卜吟晉00卜g(x),g(x) COg(x) _0= x _1 或者x 0 g(x) ： 0= 0 x ：1f(g(x) = x2,x：01 x,0 空 x : 12 01 2 J(g(x)dx 二./2dx0(1-x)dx 辺(x-1)dx16微分中值定理1.6.1.費(fèi)馬引理費(fèi)馬引理：f(x)(1) U(Xo)有定義f(Xo)存在(3 若- X：二U(Xo),有