2互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

1、第二節(jié)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率 一、基本知識(shí)概要： 1、 互斥事件：如果事件A與B不能同時(shí)發(fā)生(即 A發(fā)生B必不發(fā)生或者 B發(fā)生A必不發(fā)生)，那 么稱事件A , B為互斥事件(或稱互不相容事件)。如果事件Ai, A2，An中任何兩個(gè)都是互斥 事件，那么稱事件 Ai, A2,An彼此互斥。 互斥事件的概率加法公式：如果事件A , B互斥，那么P (A+B ) =P (A) +P ( B); 如果事件 Ai, A2,An 彼此互斥，則 P ( A1+A2+ + An) =P (Ai) +P (A2) + +P ( An); 2、 對(duì)立事件：如果事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，且事件 A與B必有一個(gè)發(fā)生，則

2、稱事件A與B互 為對(duì)立事件，事件 A的對(duì)立事件通常記作 A。 對(duì)立事件 A與A的概率和等于1,即：P ( A) +P ( A ) =P (A+ A ) =1 ; 注：對(duì)立事件是針對(duì)兩個(gè)事件來說的，一般地說，兩個(gè)事件對(duì)立是這兩個(gè)事件互斥的充分條件，但 不是必要條件。 3、 事件的和事件：對(duì)于事件A與B,如果事件 A發(fā)生或事件B發(fā)生，也即A , B中有一個(gè)發(fā)生 稱為事件 A與B的和事件。記作： A+B , 此時(shí)P (A+B ) =P (A) +P ( B) - P A B ; 4、從集合的角度來理解互斥事件，對(duì)立事件及互斥事件的概率加法公式： 設(shè)事件A與B它們所含的結(jié)果組成的集合分別是 A, B。

3、若事件A與B互斥，即集合A B = , 若事件A與B對(duì)立，即集合 A f B -:且A B二U，也即：A=CuB或B -CU A，對(duì)互斥事件 A+B (即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生)即可理解為集合 A_. B。有等可能事件的概率公式知： c/a 丄 c card (A+B) card(AuB) card (A) + card (B) P( A B)= card (U ) card (U )card (U ) card (A) card (B) =+=P (A) +P ( B) card (U ) card (U ) 二、重點(diǎn)難點(diǎn)：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重點(diǎn)；互斥事件、對(duì)立事件的概

4、念及 二者的聯(lián)系與區(qū)別及應(yīng)用是難點(diǎn)。 三、思維方式：在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)通常有兩種方法：一是將所求事件的概率分化成一 些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求出此事件的對(duì)立事件的概率，即用逆向思維法。正難 則反的思想。 四、 特別注意：互斥事件、對(duì)立事件的區(qū)別。 五、例題： 例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取 2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是( C ) A.至少有1個(gè)白球，都是白球B 至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球， C恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球，D至少有1個(gè)白球，都是紅球。 在所有的兩未數(shù)( 1099) 中, 任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被 2或3整除的概率是(C) A 5 m 4

5、 C 2 1 AB D- 6 5 3 2 從編號(hào)為 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10的十個(gè)球中， 任取 5個(gè)球，則這5個(gè)球的編號(hào)之 1 禾廿為奇數(shù)的概率是 () 3 8個(gè)籃球隊(duì)中有2個(gè)強(qiáng)隊(duì), 強(qiáng)隊(duì)被分在一個(gè)組內(nèi)的概率是 解法一：2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一組， 先任意將這 8個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組 4個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，則這兩個(gè) ? 包括互斥的兩種情況：2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在 A組和都分在B組。 2個(gè)強(qiáng)隊(duì) 都分在A組，可看成“從 8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面包括2個(gè)強(qiáng)隊(duì)” 這一事件, 其概率為 個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在B組，可看成“從 8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面沒有強(qiáng)隊(duì)”這一事件, 其概率為 C4 C6 ； 4

6、 ； C 2 C 4 因此2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一個(gè)組的概率為P ；6 CsC： ，而兩個(gè)組中各有 解法二：“ 2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一個(gè)組”這一事件的對(duì)立事件“2個(gè)組中各有一個(gè)強(qiáng)隊(duì)” C1 C3 一個(gè)強(qiáng)隊(duì)，可看成“從 8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面恰有一個(gè)強(qiáng)隊(duì)”，這一事件，其概率為，因 C； 此2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一個(gè)組的概率為: P=1卷討 思維點(diǎn)撥：正確理解互斥事件、對(duì)立事件的概念。 例2：（ 1）今有標(biāo)號(hào)為1，2，3, 4，5的五封信，另有同樣標(biāo)號(hào)的五個(gè)信封，現(xiàn)將五封信任意地裝 入五個(gè)信圭寸，每個(gè)信圭寸裝入一圭寸信，試求至少有兩圭寸信配對(duì)的概率。 解：設(shè)恰有2封信配對(duì)為事件 A，恰有3封信配對(duì)為事件 B,恰有4封

7、信（也即5封信配對(duì)）為事 件C,則“至少有 2封信配對(duì)”事件等于 A+B+C且A、B、C兩兩互斥。 Cf 2C；1 P（A） 才,P（B）春 P（C）p， A5A5A5 -所求概率為 31 P(A) P(B) P面 答：至少有兩封信配對(duì)的概率是 31 120 （2 ）有三個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率被分配到四個(gè)房間中的每一間，求 三個(gè)人都被分配到同一個(gè)房間的概率；至少有二人分配到同一房間的概率。 解: P(A)= 1 16 P(B) =1 -P(B) 思維點(diǎn)撥：運(yùn)用互斥事件的概率加法公式解題時(shí)，首先要分清事件是否互斥，同時(shí)要學(xué)會(huì)把一個(gè)事 件分拆為幾個(gè)互斥事件，做到不重不漏。 例3： （2004年

8、合肥模擬試題）在袋中裝 20個(gè)小球，其中彩球有 n個(gè)紅色、5個(gè)藍(lán)色、10個(gè)黃色， 其余為白球。 13 求：（1）如果從袋中取出 3個(gè)都是相同顏色彩球（無白色）的概率是，且n _2，那么，袋中的 114 紅球共有幾個(gè)？ （2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，計(jì)算從袋中任取3個(gè)小球至少有一個(gè)是紅球的概率。 解：(1)取3個(gè)球的種數(shù)為C；o =1140. 設(shè)3個(gè)球全為紅色”為事件 A , “ 3個(gè)球全為藍(lán)色”為事件 B , “ 3個(gè)球全為黃色”為事件 C C5 p(Br C20 10 1140 ,P(C) C10 C0 120 1140 -A、B、C為互斥事件, P(A B C) =P(A) P(B) P(C)

9、, 28 9 28 1310120 - 即 上 P(A) 旦 上0 = P(A)二0=取3個(gè)球全為紅球的個(gè)數(shù) 2。 1141140 1140 又 n _2,故 n 二 2. (2)記“ 3個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球”為事件 D,則D為“ 3個(gè)球中沒有紅球” P(D) =1 _P(D) =1 Cj 衛(wèi)或 P(D)= C2C128T2C18 二耳。 C；0 C2095C；95 思維點(diǎn)撥：在求用“至少”表達(dá)的事件的概率時(shí)，先求其對(duì)立事件的概率往往比較簡(jiǎn)便。 練習(xí)：變式：袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任意摸出 4個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率: (1) 摸出2個(gè)或3個(gè)白球；(2)至少摸出1個(gè)白球；(3)至少摸出

10、1個(gè)黑球。 解:從8個(gè)球中任意摸出4個(gè)共有C84種不同的結(jié)果。記從8個(gè)球中任取4個(gè)，其中恰有1個(gè)白球?yàn)?事件A1,恰有2個(gè)白球?yàn)槭录嗀2, 3個(gè)白球?yàn)槭录?A3, 4個(gè)白球?yàn)槭录?A4,恰有i個(gè)黑球?yàn)槭录﨎j , 則(10摸出2個(gè)或3個(gè)白球的概率: P1 = P(A2 A3) =p(aj p(A3)二 c；c c；c (2)至少摸出1個(gè)白球的概率：巳=1 一 p(B4) =1 - 0 =1 ； (3 )至少摸出1個(gè)黑球的概率: P3 =1_P(A4)=1 - 13 C84 14 例4: 9個(gè)國(guó)家乒乓球隊(duì)中有 3個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)，抽簽分成甲、乙、丙三組(每組3隊(duì))進(jìn)行比賽，試 求：(1)三個(gè)組各有一

11、個(gè)亞洲隊(duì)的概率；(2)至少有兩個(gè)亞洲隊(duì)分在同一組的概率。 A種分法，其余 6個(gè)隊(duì)平分給甲、 解：9個(gè)隊(duì)分成甲、乙、丙三組有 CgCCf種等可能的結(jié)果 (1) 三個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)分給甲、乙、丙三組，每組一個(gè)隊(duì)有 乙、丙三組有C；C：C；種分法。故三個(gè)組各有一個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)的結(jié)果有A；C；C；C；種, 所求概率P(A)二 a3c2c 2c2 3642 3 6 C9C C： 9 答：三個(gè)組各有一個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)的概率是 (2)；事件“至少有兩個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)分在同一組”是事件“三個(gè)組各有一個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)”的對(duì)立 919 事件，.所求概率為1- -。 28 28 19 答：至少有兩個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)分在同一組的概率是 。

12、28 思維點(diǎn)撥：要能正確熟練地掌握排列、組合的有關(guān)計(jì)算。 例5、從一副52張的撲克牌中任取 4張，求其中至少有兩張牌的花色相同的概率。 解法一：任取四張牌，設(shè)至少有兩張牌的花色相同為事件A ;四張牌是同一花色為事件B1；有3 張牌是同一花色，；另一張牌是其他花色為事件B2；每?jī)蓮埮茷橥换ㄉ珵槭录﨎3 ；只有兩張牌為 同有花色，另兩張牌為不同花色為事件B4。可見BB2、B3、B4彼此互斥，且 A= B 1+B2+B3+B4 141311 C4C13C4C13C3C13 P(BJF，P(B2)4 寧邑 P)= C52 Ct 1 2 2 1 、2 P(B ) _ C4C13C3 (C13) 4 P(B4)- C52 2 2 2 C4 C13C13 Ct P(A) = C52 .P(A)二 P(BJ P(B2) P(B3) P(B4)=0.8945。 解法二：由解法一知， A為取出的四張牌的花色各不相同, _(C1 )4 .P(A) =1-P(A) =1 行 0.8945。 C52 0.8945。 答：至少有兩張牌的花色相同的概率是 思維點(diǎn)撥：直接計(jì)算符合條件的事件個(gè)數(shù)較繁時(shí)，可間接地先計(jì)算對(duì)立事件的個(gè)數(shù)，求得對(duì)立事件 的概率，再求出符合條件的事件的概率。 三、課堂小結(jié) 互斥事件不一定是對(duì)立事件、對(duì)立事件一定是互斥事件。在求用“至少