2020年中考數(shù)學(xué)二輪重難題型突破一 最優(yōu)方案問題

1、 2020 年中考數(shù)學(xué)二輪重難題型類型一 最優(yōu)方案問題例 1 某商品的進(jìn)價(jià)為每件 40 元當(dāng)售價(jià)為每件60 元時(shí)，每星期可賣出300 件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價(jià)1 元，每星期可多賣出 20 件在確保盈利的前提下，解答下列問題：xyy x（1）若設(shè)每件降價(jià) 元、每星期售出商品的利潤為 元，請(qǐng)寫出 與 的函數(shù)關(guān)系式，x并求出自變量 的取值范圍；（2）當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】：當(dāng)降價(jià) 2.5 元時(shí)，每星期的利潤最大，最大利潤是6125 元.【分析】：這是一道與商品銷售有關(guān)的最優(yōu)化問題首先根據(jù)“利潤=（售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷售量”構(gòu)建二次函數(shù)，然后通過配方或用頂點(diǎn)坐

2、標(biāo)公式求出最值.【解析】： （1） y=(60x40)(300+20x) 6000+400x300x20x220x +100x+60002x自變量 的取值范圍是 0x20.（2）a200，函數(shù)有最大值，b1004(-20)6000 -10024(-20)- = -= 2.54ac-b4a2 = 6125.，2a2(-20)當(dāng) x=2.5 時(shí)，y 的最大值是 6125.當(dāng)降價(jià) 2.5 元時(shí)，每星期的利潤最大，最大利潤是 6125 元.例 2 現(xiàn)有一塊矩形場地，如圖 1 所示，長為 40m，寬為 30m，ab要將這塊地劃分為四塊分別種植： 蘭花； 菊花； 月季；cx3adcd牽?；╞y bx（1）

3、求出這塊場地中種植 菊花的面積 與 場地的長 之bx4間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自為量的取值范圍x圖 1（2）當(dāng) 是多少時(shí)，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？x =15m【答案】：當(dāng)時(shí)，種植菊米的面積最大， 最大面積為 225m 2y x【分析】：這是花草種植面積的最優(yōu)化問題，先根據(jù)矩形的面積公式列出 與 之間第 1 頁 共 4 頁 的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法或公式法求得最大值.【解析】：（1）由題意知， b 場地寬為(30- x)m，y = x(30 - x) = -x + 30xx0 x 30， 自變量 的取值范圍為 2y = -x + 30x = -(x -15) + 225，（2）22x

4、 =15m當(dāng)時(shí)，種植菊米的面積最大， 最大面積為 225m2點(diǎn)評(píng)：求解與二次函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問題時(shí)，首先要根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值有一點(diǎn)大家一定要注意：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最值；頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，要根據(jù)題目條件，具體分析，才能求出符合題意的最值例 3、某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖1(1)所示）是邊長為0.4 米的正方形abcd，點(diǎn) e、f 分別在邊 bc 和 cd 上， cfe、 abe 和四邊形 aefd 均由單一材料制成，制成 cfe、 abe 和四邊形 aefd 的三種材料的每平方米價(jià)格依次為 3

5、0 元、20 元、10 元，若將此種地磚按圖 1(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形efgh(1)判斷圖(2)中四邊形 efgh 是何形狀，并說明理由；(2)e、f 在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最省？【答案】：(1) 四邊形 efgh 是正方形（2）當(dāng) ce=cf=0.1 米時(shí)總費(fèi)用最省.【分析】：（1）通過觀察圖形，可猜想四邊形 efgh 是正方形。要注意圖形中隱含的條件，由圖 1(2)可得 cef 是等腰直角三角da形，即可說明四邊形 efgh 是正方形；（2）設(shè) ce=x，則 be=0.4x，每塊地磚的費(fèi)用為 y，分別求出 cfe、 abe 和四邊形 aefd

6、 的面積，再根據(jù)價(jià)格列出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而借助最值公式求得最小值。adfgbcefchbe(1)(2)圖 1【解析】：(1) 四邊形 efgh 是正方形圖1(2)可以看作是由四塊圖1(1)所示地磚繞c 點(diǎn)按順(逆)時(shí)針方向依次旋轉(zhuǎn)90后得到第 2 頁 共 4 頁 的，故 ce=cf=cg=chcef、 cfg、 cgh、 che 是四個(gè)全等的等腰直角三角形.因此 ef=fg=gh=he，feh=efg=ghe=fgh=90，因此四邊形efgh 是正方形.(2)設(shè) ce=x，則 be=0.4x，每塊地磚的費(fèi)用為 y,那么1111y= x 2 30+ 0.4(0.4-x)20+0.1

7、6- x 2 - 0.4(0.4-x) 10=10(x 2 -0.2x+0.24)2222=10(x-0.1) +2.3(0x0.4) 2當(dāng) x=0.1 時(shí)，y 有最小值，即費(fèi)用為最省，此時(shí) ce=cf=0.1。答:當(dāng) ce=cf=0.1 米時(shí)總費(fèi)用最省.說明：這類探究幾何圖形中的關(guān)系式的問題，在近年來考試題中較為常見，同學(xué)們要注意總結(jié)它們的方法，一般地，在平面幾何中尋找關(guān)系式，要充分挖掘圖形的性質(zhì)，利用圖形的性質(zhì)（如面積公式、相似三角形的性質(zhì)等）列出關(guān)系式。例 4、 一家電腦公司推出一款新型電腦投放市場以來前 3 個(gè)月的利潤情況如圖 2所示，該圖可以近看作為拋物線的一部分請(qǐng)結(jié)合圖象，解答以下

8、問題：（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；（2）該公司在經(jīng)營此款電腦過程中，第幾月的利潤最大？最大利潤是多少？（3）若照此經(jīng)營下去，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，對(duì)公司在此款電腦的經(jīng)營狀況（是否虧損？何時(shí)虧損？）作預(yù)測分析yy = -x +14x（2）49（3）15 個(gè)月【答案】：（1）2【分析】：（1）結(jié)合圖象可以判斷出是該函數(shù)是二次函數(shù)，利用待頂系數(shù)法即可解決；（2）在（1）的基礎(chǔ)上配方即可；（2）令 y=0，列出一元二次方程，解方程即可。xo第1月 第2月 第3月圖 2y = ax + bx，【解析】：（1）因?yàn)閳D象過原點(diǎn)，故可設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：2a + b =13，4a + 2b = 24， 解得a = -1，b =14，所以y= -x +14x由圖知：2y = -x +14x=（x-7） +49，2（2）2第 3 頁 共 4 頁 14= = 72= -72 +147 = 49=14 x = 0當(dāng)