中考經(jīng)典題型-阿氏園問題

1、 阿氏圓問題 C 6 即齒所找的點P 3 B 8 關鍵旱構造這丫母子型相饑將-PC化為PJW 美麗的圖形會謝話（朋友語）！先呈上解決此題欣極辭如圖2-1 同學旳河對瞞此圖 先自行參悟（然后再聽我鱷進耒！ 不 II即為所求最小值.O任P （阿氏ET問題）問題2 :如圖2 ,已知點B （8,0） F C （0 P 6）半徑為3的c 0上有一動 點P .求PBH/2叩C的最小值 V 簡析：此題依然是一個兩定一動型”最值問題，且動點P被”綁在” 了半徑為3的00上運 動，動點P的本馬轄征也就是OC的本質(zhì)待征，即到原點C的距爲始饞為3 ,解暫的關紳肯宇也 要抓磁個本質(zhì)粽正； 此題讓人望而卻步的，還是在不

2、為1這個系數(shù)上,即T/2如何處理1/2成為了解題的 難點； 回顧上直的胡不歸模型,里面也有不為1的系數(shù)，我們私用構造三角函數(shù)的聯(lián)想機 制,成功將系數(shù)轉化為1 ；具間之所以能喲造三角兩數(shù)，是因為動點從一個走點出發(fā)先沿 看一條走直線運動,構造的關鍵也是抓住這條走直線及其上的這 Y走原.即過走直線上的走 點向這條走直線的某一側（視具體情況而走）作一個銳角,使其正弦值等于要處理的系數(shù),從 而將諭頁利轉化為1 ； 那么本題可不可以同樣處理呢？顯然不行,動點P在一個圍上運動,該怎么構造三角函數(shù)??！ 看來此路不通，那就再作其他聯(lián)想U巴！ 想啊.想啊.，想到目標是要處埋1/2叩C,與庶B無關，那就先撩去PB，

3、減少越日中 的干擾線條，如圖22所示，將目光就聚焦注一點，即PC上； v. 第一步（連接半徑，突岀本質(zhì)）:剛剛說過r動點P被“綁在了半徑為3的0 0上r中點P的 本質(zhì)特征是具到京點009甌離始終為走請3 ,轉化“1/2FC的矢健肯走也要抓汪這個本質(zhì)特 征； 如2-2 .連. 現(xiàn)越目的特姝性,即OP=3旦OC=6 ,這是本迪的巧合“.般 此種題型都具備這樣的特凍性,同寧們要多玄試、多聯(lián)艱； 我們更處理的系數(shù)是“丄”.而此處恰有這荒道僅僅是一個巧合嘛？還是說 2OC 2 是必然呢| ? 第二步（鉄想比例.構適相似）“數(shù)學人最神奇之處.就在干耳豐富的聯(lián)理”（本 人妄語）！聯(lián)想到“竺 二丄”及更處巡的

4、“IpcJ可以巧妙地構造岀大家耳熱能詳?shù)?OC 22 “母亍型相似”荃本圖形，如圖23所示.在OC上取一點=丄.即OM=1.5此 0P 2 時舄AOMPCOAOPC.且相似比為 1 則由V目似三毎形的對應邊成比例” XD OP 2 從而有3/P=-PC成功格系數(shù)化為了】即將如C轉化為了 MP,則 PC 222 PB*-PC=PB-MP： X 關縫是處理PC, 圖23 弟三步（兩點之間.線段最短）這樣原E題成功被轉化為系數(shù)均為1的帶規(guī)最值問 題.即只PB-MP*最小值，如圖24所示，這是 f 常規(guī)的“兩定一動型”最值間暫 利 用“兩點之何，線段最短”.連犢DI與O O的交點即為所要尋棧的點P.此

5、時所求最小 值尊于BM為與 至此此越得堂主類解決！掰T妨冉回頭看看Tk始的“終極團形.即2-1 ,冉次深別 反思，障令祈謂阿氏區(qū)T的解題匍6 : 圖2J 解険后反禺：上述是兩和不同去帝數(shù)不為1的呈值問題頁需決芍熬陽共通之處都總想辦法處 理不為啲磁將其化為1;但轉化的力武略有不同：40不廿 冋塑是霜化龍直域丄國迄 熬件疋角，曲個0的止血1斡于越中雄之比【小逸曼:大此1 , 口JJrfi將瘵教都址理 為1 ；而阿氏圖”是抓住動魚p的本質(zhì)即到國心o的距裔尢半徑,連接圓心。與冃馬巴販 圍嗆0與M不為1相黃前甌，走點C再僭貼I理目中踐縮闊嗎合性” r即別剛幫個逹趣 旳氏度N比恰尢賈辿理的喬數(shù).恂適一迥母

6、子型”岡咲,咸功胃葢數(shù)化為L !凡事郃有凈 同屁學們嬰去柜互糞比聯(lián)炬汕較才能逛I應田色婦之功力！ 阿氏圓基本解法：構造相似 阿氏圓一般解題步驟： 第一步：連接動點至圓心0（將系數(shù)不為1的線段的兩個端點分別與 圓心相連接），則連接OP、0D; 第二步：計算出所連接的這兩條線段 OP、0D長度； 第三步：計算這兩條線段長度的比； 第四步：在 0D上取點M，使得0E:0P=0P:0D 第五步：連接CM,與圓0交點即為點P.此時CM有最小值。 解法對比變式拓展反思提升 以阿波羅尼斯圓為背景的一類中考最值問題探究 朱宸林楊蜂 （無鋸審僉星中學.江蘇無錫214000；無鎬市東林申甞.江芥無錫214000）

7、 扌商 要:以阿波羅尼斯圓為背景的幾何問題近年來在中考故學中經(jīng)常岀現(xiàn)刈于此類問題的 歸納和剖析顯得非常車冬教師在教字中應多以目題為例從解決對比中尋求解決此類問題対逋 性通法并對其逬行改進與延伸通過不同用度和深度的挖掘男力呈現(xiàn)此類問題的全規(guī)和解決 方法井給出對于圓旳敎學的反思和改逬建議. 關犍詞鰹法對比岌式拓展最值問題 一、問題與直履 眾所周知，平面內(nèi)至J兩個疋點距海之比尋 于定值AUX）且人工）的動點的軌跡是圓 此 圓又被稱為阿波羅尼肝圓近竺年，以阿氏圓 為背景的解桁幾何問荻在高考中頻翠出現(xiàn)近 期筆者岌現(xiàn)數(shù)學中考中也岀現(xiàn)了阿波羅尼斯 圓的影子本文主要從阿氏圓幾何性質(zhì)的視角 對這類中考問題進行解

8、析通過不間視角進行 對比審視，總結規(guī)律并進行變式的斫究和推 廣以期解決中考中的此類問題 例題（2015年無錫市中宥一隕試題）如 圖 1 JI UihAHC 中上AC4 90 jCfi=4 r.l=5 QG 半徑為 2尸為凰上一動點,連結4P , RPtAP+l-fiP的屐小值為 圖丨 【篦規(guī)思路分析每當遇到最小值問題過 竜將問題通過轉化與“兩點之間線段最短” 相聯(lián)系.在此類問題中胡現(xiàn)最多的應該是將 軍飲馬”類問題但將軍飲罵類問題動點P 是巨疑上的動點頁此題稍加改動成為圓上的 動點.此時若次?，F(xiàn)的軸對稱旳方式解決經(jīng) 過試驗，發(fā)現(xiàn)圧這個問題中無法逬行下去S 此必須轉化思路 繼續(xù)觀察預目曲于點卩是圓

9、上的一個動 點于是很自然地就會想到連結CP，得CX2 , 又因為朋4可以得到籌弓這與問題中 的小占M中的系放扌足一樣的.直覺告訴 我們或許是解決這個問題的突破口再聯(lián) 想到題中需要求解的問題是亠；的最小 偵，很自然地處會想到是否可以用一條線段來 代換于BP堆而解決這個問題. 這里為了解決問題的棗要提出一個數(shù) 學基本圖形：如圖2，在ZIP從;中點是BC 邊上一點如異PCDsABCP,那么就能得 出帶二符二需這個基本圖形是初中學生 在學習相似三角形時接觸到的一個相似的基 本圖形 逍常稱為“子母5T.如果能在這個問 1 ffi5 闍6 於很題要，但經(jīng)駛対積累同樣必不可少，在這 兩點的基砒二科加上牛鞍所

10、說rr不停地思 枚中輕0子母型這個敎學模型這個間頓臥 能夠順利得以解決如圖3在CH上馭點D浚 CM f所以豁卸*，只因為血” 乙所以ra)氐bcp從而得呂保= / 足樣就合有卡處用m代換了寺幾 就把小于處轉化為“譏觀察圖4發(fā)現(xiàn). 點4 足定點點P足圓上的一個動點馬以， 當 ? 三點在同一直墳上時,ED有最 小 20simi , 卩（* 2cceu ） 143”“=20 16ca&j ,.1 少 -1-P= 29-2Dqhv 4 vS-4cn&r . Wlh；i7 到ixsi,田于式子中出yt 了為個戲詩向且辿有対 個變屋過到了庖頸加肯 很自然就會屯慮平方賓 試之后也不行.只能考總 幾何老義但嘗

11、試之后也無法進行*去 此時只能藥拱思路，從尹-入手m河 波羅尼斯圓定理如圖6，可設o D)，且満 足 P 在上 x):-4 .臬-2. i殳 P (a tO ,S FH2PD 知 PH2 4)苓丫BD3vU *&16=0 又因為 Kx Q為葉=4 上任一點JK立方程組離得加測仍尹P HPD所以，當P為線段與OC約交點 時八燦有is小值 1/l=V26* . 用不冋的方法解左 這一遼鎖之后.不妨靜 下來匯蘇省 故學特級教師于斯華省 說過學習數(shù)學倉力固 b.燈必將有所成.而這里所說的經(jīng)驗就是 阿濃羅尼新IT的背歿毘里的思專就是與網(wǎng) 波羅尼斯圓背景建立關聯(lián).抉一種說法畝是， 禺二種解法貝冥已經(jīng)足阿液

12、羅尼斯圓的變式 問毬了招當于已知圓與一個定點怎作另一 個動點這一慮 間使E飲字競奏中，也是比較 難的一部分了相ttZT還足蚯子用型啜型 更齡際決這個間IB 二想法與改進 蓉立子母型模型必須發(fā)現(xiàn)異P這個 切入點井且翌対子母型這個墓本圖影非期 熟練刀能芫或詠棺和解棕的過得如吳 在初中玫學百摟對這個問題逬行考孩 是時學生客求過高了但不幼對這個問毀的難 度進行分解將這個問題分為至少三個胡分： (1)冋題提出(2)去試能決左這郁分給出解 題的記昭，但留下最后幾步，讓學生完成X3) 自主探索.左聞後和思考前直解沐Z)基砒上, 給出一個同類型的問題這樣干僅能讓學生欣 営地發(fā)現(xiàn)一種動點在曲線二時的求量值的方

13、法乜能很好堆體規(guī)字生現(xiàn)煬閱讀旳能力. 如圖7 A Ji是走點定0上一動點 求川叫處（U芳J）的聶?。?其中A罟 #，易證.Pre 得吩尋AF,即有（|片嚴丹0* （兀訶）4仔含畜 吸式2：如圖9JE萬形M：I）的辺飲為 2T內(nèi)切臨。上有一動點幾連錯門巴 則，円孚河）的雖小値為 潘題思路:在IH）上取點E .渥結Pt: ffi 魯喘= 從而得0易證 HODP，得用上21/7兒即有 乂互“）衣O丹丹百 聶式3 ：如圖10 在平面直角坐標系中. 5/（6 3）八（10 0）*（5 D）點為以 OA 為半 徑的圓。上一動點八”旳最小值為 樓題思路連結M在0上取點 便 篇二黑詩從血得處吟 易證,）2 ，

14、）NP .得P=PV .即有（E“寺爪）鬲= 吏式4如圖11菱形AHCI）的邊長為2 . 銳角大小為aifih弓月C相切于點F在區(qū) 4上任取一點P束旳+乎“的軌備 解題思路:易得 A02.聞的半徑養(yǎng)于 VT. APAC 在 4C 上収點幾便帝=豊-= ra it 歲1,得小L，”s A IPC ,得/仁 .（PR+PC）*（PR7F）后R* 存 捋升對ifp（x=2L I 為皆層的亜式問逆？從亂宜的崽考中啟然可 以想剝這個式問域斥存在旳 圖12 ZU M星綁t直角三角形, /r=90o邊相切尸是BE r上一動 點若fl c旳半徑為2 JUJ z)/rp 的最小 2 提取 個系效/E從而可以健到

15、/m+vTm- VT(衛(wèi)吾卩”皿)，從而就將這個問題轉 化為烈訂匸川時竹旳聶小值從而這個問題 就線化為前面運立子母型弔似這個數(shù)學模 型. 變式6:如圖13.己知扁形COD中 ACOD-90P C=6 /Zl=3 /=5 點是5 Cl) 上一百求2/M的彊小值. 斡題思路如臬共取仁, 前面的方案 2 W、PB) t 逞結 OP A| 后找們友現(xiàn)影* UKf) Ofi 5陽 13 卜此時絆二半竝于攔，仍更從，子田型八 Lv/15 這個S4E形入手述行建模即E-K Ml到 點E 使CE=6連結PE別有361Z AOPF. 得PE-2AP 可得2/M *PDPfPA序以目 P ”三點在一玄線上時取最小

16、值為13 四、反思與!奩 新課程標準對初中階段旳2!章的內(nèi)容 進行了丘新修訂劉知識點進行了刪祕對于 數(shù)學枚育工作者而我們應該州證覽來暑待 這一咬孌 対知識內(nèi)容的刪減并不亙味著對足 維能力娶求的卞啤.SSffiS的一點星從孜學 文化觀角血言 屈的內(nèi)容是豐耳多彩的作為 一個切人的肖集陽法羅尼WtS)豐査的幾何性 質(zhì)給了找們多變的命題視角而在初中階段敎 師不一走妥讓學生了解到隔氏圓的相關性質(zhì)， &孑考 201&7 8 但卻可以作為一種數(shù)學文化膜陶的有效途徉 讓學生走進豐富多影旳圓的世養(yǎng)之Q /、斷感 受幾何學習戲限*衍史和無窮爐力.近年來. 吉地的敗學半考證題仕設何二已經(jīng)矣很了固 定的巳知一我解西封

17、用模式而研究友展域 效的說冋方向半畐試題的說問形式成了命迥 的一個熱點視角于是対經(jīng)奐問題的不斷挖 據(jù)和改支成為教學的新旳方向迄就要求學生 在解答上突破停留在朗確的、直侵的結論層 面 堆加了問題的幵放性和孩化性這樣的設 計 離比較客觀、全面地測學生觀察、實驗、 猜想、歸納、艾比等黒維活動的水平，寸于激發(fā) 學生探索精神、求昇創(chuàng)新思維爹有著積極的息 義用M 5?討妝師也按岀了更高的要求間關 注幾何性質(zhì)教學的同吋込靈龔不新按尋幾何 問敦的內(nèi)注三外壯，力求埠腋問穎的采龍去 脈可見對于毎一位故學枚K工作耆，平時在 按融了穴鬣的數(shù)學範Z后 不僅竝該対題型進 行野珪更編妾對鬼型進行追根稠源的研冤 知道這個題m的產(chǎn)生、逗計釣肖景了館出題 者的考直色金去發(fā)現(xiàn)當去除掉題目的背景干 擾后隱鬲旳解決問題的矽學棣型從而有針對 性地使用同時栽學加強基本圖形約學習， 做好連模廣解模-釣堀弄対學生數(shù)學思址 的培養(yǎng)也是大有幫旳的只有這樣乃能使 更*的充港數(shù)寧味道釣餌活問題為提升寧生 的數(shù)學累養(yǎng)服勢.a 阿氏圓定國(全稱:呵波羅尼斯圓左理)具體的描述： 一動點P到兩定點A、B広涯離之比等于走比m ： n .