解三角形中的各類問題

1、教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！課題解三角形中的各類問題師生共研 )考點一 利用正弦、余弦定理解三角形 (重點保分型考點 必備知識 1正弦定理 ：sin Asin Bsin C2R，其中R 是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1) a b c sin Asin Bsin C；(2) a2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，2 2 2 2 2 2b c aa c b變形： cos A ， cos B 2bcc2 a2 b2 2abcos C2ac222 a b c cos C2ab 典題例

2、析 (2014 遼寧高考 )在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 ac .已知 BA BC 2，cos B13， b3，求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值解： (1)由 BA BC2 得 cacos B2，又1cos B 3，所以 ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accos B.ac6，a2，解2 2 得或a2c213，c3因為 ac，所以3，2.a 3，c2.又 b3，所以 a2c292 213.(2)在ABC 中，sin B 1 cos2B由正弦定理，得c2 2 2 4 2sin Cbsin B3 3 9 .因 a bc，所以 C 是銳角，

3、教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！因此 cos C 1 sin2C于是 cos（B C） cos Bcos Csin Bsin C137923249222373 9 3 9 27 類題通法 正、余弦定理的應(yīng)用原則(1) 正弦定理是一個連比等式， 在運用此定理時， 只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達到解決 問題的目的，在解題時要學(xué)會靈活運用(2) 運用余弦定理時，要注意整體思想的運用 演練沖關(guān) 在銳角三角形 ABC 中，a，b，c分別為內(nèi)角 A，B，C 所對的邊，且滿足 3a2bsin A0. (1)求角 B 的大?。?2)若 a c5，且 ac，b 7，求 AB AC 的值 解：

4、 (1)因為 3a2bsin A 0，所以 3sin A 2sin Bsin A0.因為 sin A 0，所以 sin B3.2.又 B 為銳角，則 B 3.(2)由(1) 知 B 3，因為 b 7，根據(jù)余弦定理得 7a2c22accos3，整理，得 (a c)2 3ac 7.由已知 a c 5，則 ac 6.又 ac，可得 a 3， c 2.b2c2a2 7 497于是 cos A ，2bc 4 7 147 所以 AB AC | AB | | AC |cos Acbcos A2 7141.考點二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀(題點多變型考點 全面發(fā)掘 ) 必備知識 三角形中常見的結(jié)論(

5、1)ABC.(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然(3) 任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4) 三角形內(nèi)的誘導(dǎo)公式：教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！ sin（ A B） sin C；cos（AB）cos C；A BCABCtan（A B） tan C； sin 2 cos2； cos 2 sin2.（5）在 ABC 中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.（6）在 ABC 中，A，B，C 成等差數(shù)列的充要條件是 B60 .（7）ABC 為正三角形的充要條件是 A，B，C 成等差數(shù)列且 a，b，c 成等比數(shù)列 一題多變 典型母題 （2013 陜西

6、高考 ）設(shè) ABC 的內(nèi)角 A，B，C所對的邊分別為 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，則 ABC 的形狀為 （）A. 銳角三角形B直角三角形C.銳角三角形D 不確定解析 依據(jù)題設(shè)條件的特點，由正弦定理 ，得 sin Bcos Ccos Bsin C sin2A，有 sin（BC）sin2A， 從而 sin（B C）sin A sin2 A， 解得 sin A1， A2， 故選 B.答案 B題點發(fā)散 1 本例的條件變?yōu)椋喝?2sin A cos Bsin C，那么 ABC一定是 （ ）A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解：選 B 法一： 由已知得 2sin

7、 Acos Bsin C sin（A B） sin Acos Bcos Asin B，即 sin（ A B） 0， 因為 AB，所以 A B，選 B.由正弦定理得 2acos B c，再由余弦定理得2aa2c2b2ac c? a2 b2? a b.題點發(fā)散 2 本例的條件變?yōu)椋喝?acos Abcos B，那么 ABC 一定是 （ ） A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解析： 選 D 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B? sin 2Asin 2B，因為 2A,2B（0， ），所以 2A2B或 2A2B，即 AB或AB2.選 D.題點發(fā)散 3 本例

8、的條件變?yōu)椋喝?2asin A （2b c）sin B （2c b）sin C且 sin Bsin C1，試判斷教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！ ABC 的形狀解 ：由已知，根據(jù)正弦定理得 2a (3) S 2r(a b c)(r 為三角形的內(nèi)切圓半徑 ) (2bc)b (2c b)c，即 a2 b2 c2 * bc，1 cos A 2，sin A 3，2，(2014 山東高考 )ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為又因為 B A2，所以sin B sin A2 cos A 6.3.由正弦定理可得asin Bb sin A3則 sin(2)求 ABC 的面積Asin2Bsin

9、典題例析 a，b，c.已知 a3，cos A 36，BA2.Csin Bsin C.11 又 sin Bsin C1，所以 sin B sin C4，所以 sin B sin C2.因為 0B2，0C2，故 BC6，所以ABC 是等腰鈍角三角形 類題通法 判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷提醒 在判斷三角形形狀時一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件另外，在變形過程中要 注意角 A，B，C 的范圍對三角函數(shù)值的影響考點三 與三角形面

10、積有關(guān)的問題 (重點保分型考點 師生共研 ) 必備知識 三角形中常用的面積公式1(1)S 2ah(h 表示邊 a 上的高 )；111(2)S 2bcsin A 2acsin B 2absin C；教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！(2)由 B A2得cos Bcos A2sin A3.3.由 A BC，得 C (AB)所以 sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B33 33 36 3613.1 1 1 3 2 因此ABC 的面積 S2absin C23 3 2 3 2 . 類題通法 三角形面積公式的應(yīng)用原則111(1)對于面積公式 S2absin

11、 C 2acsin B 2bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式 (2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化 演練沖關(guān) 已知 a，b，c分別為 ABC三個內(nèi)角 A， B，C的對邊， acos C 3asin Cb c 0.(1)求 A；(2)若 a2， ABC 的面積為 3，求 b，c. 解：(1)由 acos C 3asin Cbc0 及正弦定理得，sin Acos C 3sin Asin C sin B sin C0.因為 B AC，所以 3sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于 sin C 0，所以 sin A621.又 0A，故

12、 A3. (2)ABC 的面積 S12bcsin A 3，故 bc 4.而 a2 b2 c2 2bccos A ，故 b2 c2 8.解得 b c 2.考點四 與取值范圍有關(guān)的問題 (重點保分型考點 師生共研 )已知向量mn(1)若 mn 1，求 cosx 的值；(2)記 f(x) mn，在 ABC 中，角 A，B， C 的對邊分別是 a，b，c，且滿足 (2ac)cos B bcos C，求 函數(shù) f(A)的取值范圍教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！x x 2x 3 x 1 x 1 x 1解： mn 3sin 4cos 4cos 4 2 sin 2 2cos 2 2 sin 2 6

13、2.x 1 2 x 12 1(1)mn1，sin 26 2，cos x3 1 2sin2 26 2，cos 3x cos x3 2.(2)(2ac)cos B bcos C，由正弦定理得 (2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C， cos B 1， B .23 2sin Acos B sin(B C) A 1 A 6 26 2，2sin 21.ABC， sin(BC)sin A，且 sin A0，0A2.3又 f(x)mn sin1，2，cos Asin C cos Asin56 A cos Asin1cos A2

14、cos Asin A f(A) sin A26 求角 A 的值；2，故 1f(A) 32. 故函數(shù) f(A)的取值范圍是 1， 32 .設(shè)銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，a2bsin A.(1)求 B 的大小；(2)求 cos A sin C 的取值范圍(1)由 a2bsin A，根據(jù)正弦定理得 sin A 2sin Bsin A，1 所以 sin B 12，由ABC 為銳角三角形可得 B6.由 ABC 為銳角三角形可得， 0C，故 05 A，解得 A5，2 6 2 3 6又0A2，所以3A2. 故23A3 5 (2)由(1)可知 ACB 6 ，故 C 6A.

15、6， 所以21sin A3 23，即 cos A sin C 的取值范圍為思考題已知 ABC 三個內(nèi)角A，B，C 的對邊分別是a，b， c，面積為 S， acosC 3csinA bc 0.(2)若 a 3，求S 3cosBcosC 取最大值時S的值教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！解】 （1）由正弦定理，得 sin AcosC 3sin AsinC sin B sinC0，sin Acos C 3sin AsinCsin （A C）sinC0，sin Acos C 3sin Asin Csin AcosCcos AsinC sinC 0， 3sin Asin Ccos Asin Cs

16、in C0，又 sin C0， 3sin Acos A1，即 2sin （A6）1， 15 sin （A ） ， A ， A ，A .6） 26666 63.bcasin B sin C sin A33S 3cosBcosC332322，b2sin B，c2sin C，由（1）知C 3B， 312bcsin A 3cosBcosC 33212sin B2sin C23 3cos Bcos C sin BsinC 3cosBcosC sin Bsin（ 23 B） 3cosBcos（23 B）3343sin2B 12sin2B 23cos2B 43sin2B 43sin2B 2112（1 cos

17、2B） 2312（1cos2B） 34sin2B3 11 34 （ 3sin2B cos2B） 43 1 1 32 sin （2B6） 42 7 0B23，則 62B60) 5x 2 11x 2 13x 2 23x2則 cos C 2 1.sin B sin C c 20角 B 不存在，即滿足條件的三角形不存在2 2 4（2014 江西高考 ）在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C所對的邊分別是 a，b，c.若 c2（ab）26，C3，則 ABC的面積是 （）A3B.9 3B. 2C.3 3C. 2D 3 3解析： 選 C由 c （a b） 6，可得 a b c 2ab 6.由余弦定理及C3，可得

18、a2b2 c2 ab.教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！1 1所以由得 2ab 6 ab，即 ab 6.所以 SABC 2ab sin3 26 23 3 3.2.5（2015 遼寧五校聯(lián)考 ）設(shè) ABC 的內(nèi)角 A，B，C所對邊的長分別為 5sin B，則角 C （a， b，c，若 bc2a， 3sin A2A. 3B.33C.345D.56解析： 選 A 因為3sin A 5sin B，所以由正弦定理可得 3a5b.因為37b c2a，所以 c 2a35a75a.令 a5，b3，c 7，則由余弦定理 c2 a2 b22abcos C，得 49 2592 3 5cos C，解得 cos

19、 C12，所以 C 23.6（2015 東北三校聯(lián)考 ）已知 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，c bsin A且 c asin C sin B，則 B （A.6B.4C.33D.4解析：C 根據(jù)正弦定理： sin Aasinb Bsinc C2R，得ccabsin Csin Asin B cba ，即 a2c2 b2ac，得 cos B222a c b 1 ，故 B ， 2ac 2，故 B 3，故選 C.二、填空題7（2014 湖北高考 ）在 ABC 中，角ab解析：由正弦定理 sina Asinb B，得答案： 3或 23A，B，C 所對的邊分別為 a，b， c.已知

20、A6， a1，b 3，則bsin A 3 5 2sin B a 2 ，又 B 6， 6 ，且 ba，所以 B 3或 3 .15 38（2015 蘇北四市聯(lián)考 ）在 ABC 中，已知 AB3，A120，且ABC的面積為 4 ，則 BC邊的長解析：由SABC1543得213ACsin 120 154 3，所以 AC5，因此BC2AB2AC22ABACcos 120 19 252 35249，解得 BC7. 答案： 7教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！49(2015 云南第一次檢測 )已知 a，b，c分別為 ABC 三個內(nèi)角 A，B，C 的對邊，若 cos B 5， a10， ABC 的面積

21、為 42，則 bsina A的值等于 解析：依題可得31sin B53，又 SABC21acsin B42，則 c 14.故 b a c 2accos B 6 2，所以 babsin Absin B16 2.答案： 16 210(2015 廣東重點中學(xué)聯(lián)考 )在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知cos A 3cos Ccos B3c ab，則ssiinn AC的值為解析：a b c cos A 3cos C 3ca 3sin Csin A 由正弦定理 sin Asin Bsin C得 cos B b sin B即(cos A3cos C)sin B (3sin Cs

22、in A) cos B，化簡可得， sin(AB)3sin(BC)，又知 A BC，所以 sin C3sin A，因此 sin C3. 答案： 3sin A三、解答題11在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c.已知(b2a)cos C ccos B0.(1)求 C；(2)若 c 7， b 3a，求 ABC 的面積解：(1)由已知及正弦定理得： (sin B2sin A)cos Csin Ccos B 0，sin Bcos Ccos Bsin C 2sin Acos C，sin（ B C） 2sin Acos C，sin A 2sin Acos C.1又 sin A0，得 c

23、os C 2. 又 C（0，），C 3.222（2）由余弦定理得： c2a2b22abcos C，a2b2ab7， 解得 a1， b3.b3a，1 1 3 3 3故ABC 的面積 S 2absin C 213 2 4 .312（2015 江西七校聯(lián)考 ）已知在 ABC 中，C2A，cos A4，且 2BACB 27.(1)求 cos B 的值；(2)求 AC 的長度解： (1)C2A，cos Ccos 2A 2cos2A 1 1， 810教學(xué)理念： 將簡單的方法練到極致就是絕招！sinC387，sin A7.4.9cos Bcos（AC）sin Asin Ccos Acos C16.|24，（

24、2）sAinB CsBinC A，AB23BC. sin C sin A 22BA CB 27， cos B 196，| BC 4， AB 6，AC BCcos B 的最小值為 2.2(2015 洛陽統(tǒng)考 )在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，cos 2C2 2cos C20. (1)求角 C 的大小； (2)若 b 2a， ABC 的面積為 2 sin Asin B，求 sin A 及 c 的值解：(1)cos 2C2 2cos C20， 2cos C2 2cos C 10，AB22BCABcos B16 362 461965.B 卷 增分提能 1(2014 陜西高考 ) ABC的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c. (1)若 a，b，c 成等差數(shù)列，證明： sin Asin C2sin(AC)； (2)若 a，b，c 成等比數(shù)列，求 cos B 的最小值解： (1)證明：a，b，c 成等差數(shù)列， a c2b.由正弦定理得 sin A sin C 2sin B.sin B sin （AC）sin（AC）， sin Asin