高中數(shù)學 第一章 集合 1.1 集合的含義與表示學案 北師大版

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1 集合的含義與表示5核心必知1集合的含義與標記一般地，指定的某些對象的全體稱為集合，常用大寫字母a,b,c,d,標記2元素的定義、標記與特性（1)定義與標記:集合中的每個對象叫作這個集合的元素，常用小寫字母a,b，c，d，標記(2)特征：集合中的元素具有確定性、互異性和無序性3元素與集合的關系4。常見集合的符號表示5.集合的常用表示方法 (1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)的方法（2）描述法:在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征這種用確定的條件表示某些對象屬于這

2、個集合的方法叫作描述法6集合的分類按所含元素的個數(shù)分為:(1)有限集：含有限個元素的集合(2）無限集：含無限個元素的集合（3)空集：不含有任何元素的集合問題思考1通過對集合含義的學習，你認為“我們班中聰明的同學”,“時尚的同學”，“所有的小河”，“很小的數(shù)”能組成一個集合嗎?為什么？提示:不能，因為沒有明確的標準2下列關系正確嗎？0n；r；1q；0z；0n。提示：正確3你認為列舉法和描述法分別適合表示什么特點的集合?提示：一般地，列舉法適合表示有限集合（當元素個數(shù)不太多時），描述法適合表示無限集或其元素不宜一一列舉的集合講一講1已知集合a含有兩個元素a3和2a1，若3a，試求實數(shù)a的值嘗試解答

3、因為3a，所以3a3或32a1，若3a3，則a0。此時集合a含有兩個元素3和1，符合要求;若32a1，則a1，此時，集合a含有兩個元素4,3，符合要求綜上所述,滿足題意的實數(shù)a的值為0或1.利用集合元素互異性求參數(shù)問題（1)根據(jù)集合中元素的確定性,可以解出字母的所有可能值,再根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗(2)利用集合中元素的特性解題時，要注意分類討論思想的應用練一練1由實數(shù)x2,1,0,x所組成的集合里最少有_個元素解析：若x2x1，即x1，則集合中有2個元素;若x2x0，即x0，則集合中也有2個元素,故集合里最少有2個元素答案：22若集合a中有且僅有三個數(shù)1，0,a，若a2a，

4、求a的值解:若a20,則a0,不符合集合中元素的互異性,所以a20。若a21,則a1,由元素的互異性知a1，所以當a1時適合若a2a，則a0或1，由上面討論知均不符合集合中元素互異性的要求綜上可知,a1。講一講2集合ay|yx21，集合b(x，y)|yx21(a，b中xr，yr)， 選項中元素與集合的關系都正確的是(）a2a，且2bb（1，2)a，且（1，2)bc2a,且(3，10）bd（3，10）a,且2b嘗試解答選c集合a中元素y是實數(shù)，不是點，故b、d不正確； 集合b的元素（x，y)是點而不是實數(shù)，所以a不正確，選項c經(jīng)驗證正確(1）判斷一個元素是不是某個集合的元素就是判斷這個元素是否具

5、有這個集合的元素的共同特征，若具有共同的特征,則屬于這個集合，否則不屬于（2）當集合是用列舉法表示時，若某一元素屬于該集合，則該元素與集合中的某一元素相等，解決此問題時要注意集合中元素的互異性，故求解后要檢驗練一練3已知62，4，x，x2x，則x等于(）a2b6c2或6 d3或6解析:選d當x6時，集合為2,4,6,42;當x2x6，即x2或x3，易知x2不合題意；當x3時,集合為2,4，3,6所以a6或3。4用符號或填空(1）2_xx，_xx2；（2)3_x|xn21，nn，(1,1) _y|yx2；(3)設x,y3,mmmab,aq，bq，則x_m，y_m。解析：（1)2；2；填，。（2)

6、設n213，nn，填.把(1，1)代入yx2成立，但(1,1)是有序?qū)崝?shù)對，而y|yx2是y的取值集合,填。(3）x,q，q。xm.q，ym。填，。答案：(1）（2）(3)講一講3用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?（1）大于2且小于16的質(zhì)數(shù)組成的集合a；(2）方程x22x10的解組成的集合b；(3）平面直角坐標系中直線yx上的點組成的集合c;(4）所有被3除余1的整數(shù)組成的集合d;(5）e;（6)f.嘗試解答（1）大于2且小于16的質(zhì)數(shù)有3，5，7,11,13，故a。（2）方程x22x10有兩個相等的解1,故b1（3）平面直角坐標系中直線yx上的點組成的集合是點集，故c。（4)這一集合中元素的屬性為

7、被3除余1且為整數(shù),所以d。（5）xy4，xn，yn，或或e.(6)z，且xn，1x1，2,3，6.x0,1,2，5。即6，3,2，1。f。(1)當集合中的元素個數(shù)較少時往往采用列舉法表示用列舉法表示集合時,必須注意以下幾點：元素之間必須用“,隔開；集合的元素必須是明確的；不必考慮元素出現(xiàn)的先后順序；集合中的元素不能重復；集合中的元素可以是任何事物（2)用描述法表示集合，首先應弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示練一練5給出下列說法：在直角坐標平面內(nèi),第一、三象限的點的集合為(x，y）|xy0；方程y20的解集為2,2；集合

8、(x，y）y1x與xy1x是同一集合其中正確的有()a1個b2個c3個 d0個解析:選a在直角坐標平面內(nèi),第一、三象限的點的橫、縱坐標是同號的,且集合中的代表元素為點（x，y)，故正確；方程y20等價于即解為有序?qū)崝?shù)對(2，2），即解集為（2，2)或，故不正確；集合(x,y）y1x的代表元素是(x，y），集合xy1x的代表元素是x，一個是實數(shù)對，一個是實數(shù)，故這兩個集合不相同不正確已知集合ax|ax22x10,xr，若集合a中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍錯解由于集合a中至多有一個元素，則一元二次方程ax22x10有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，所以44a0，解得:a1，錯因涉及關于x的方

9、程ax2bxc0的問題,易誤認為其一定是關于x的一元二次方程，即a0，而丟掉二次項系數(shù)a0的情況，導致錯誤，解決這類含參數(shù)的問題,一定要注意二次項，一次項系數(shù)是否為0的情況正解當a0時，方程只有一個根，則a0符合題意當a0時，則關于x的方程ax22x10是一元二次方程由于集合a中至多有一個元素,則一元二次方程ax22x10有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根,所以44a0，解得a1。綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是aa0或a11下列各組對象中能構(gòu)成集合的是（）a2016年中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會中吸引觀眾的演員b某校高一年級高個子的學生c。的近似值d2015年全國經(jīng)濟百強縣答案：d2給出以下結(jié)論:2，4,

10、6,8與4,8，2,6是同一集合；y|yx2，xr與（x,y）yx2,xr是同一集合；0，1與（0，1）是不同集合其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）a0 b1 c2 d3解析:選c正確；中的兩個集合不是同一集合，元素不一樣；中的兩個集合也不是同一集合,也是元素不一樣3給出下列關系:r；q;|3n；|n.其中正確的個數(shù)為（)a1 b2 c3 d4解析：選b由元素與集合的關系知正確，錯誤4集合ax|mx22x20中只有一個元素，則m的值構(gòu)成的集合為_解析：當m0時，a1滿足題意；當m0時，由48m0,得m，a2，滿足題意，綜上可知m0,.m的值構(gòu)成的集合為.答案：5設ax2，2x25x,12，若3a，則x_

11、。解析:由題意可知:x23或2x25x3.當x23時，x1，把x1代入集合a中，x22x25x3,不滿足集合中元素的互異性，故舍去當2x25x3時,x滿足已知條件(x1舍去），所以x.答案:6選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1）絕對值不大于3的整數(shù)組成的集合;(2)方程（3x5)(x2)0的實數(shù)解組成的集合；（3)一次函數(shù)yx6圖像上所有點組成的集合解：(1）絕對值不大于3的整數(shù)是3，2，1,0,1，2，3,共有7個元素,用列舉法表示為3，2，1,0,1,2,3；(2)方程(3x5）(x2)0的實數(shù)解僅有兩個，分別是，2,用列舉法表示為;（3）一次函數(shù)yx6圖像上有無數(shù)個點，用描述法表示為(x，

12、y)yx6一、選擇題1下列四個關系式中,正確的是（)aabaacaa，b daa,b答案:c2有下列說法：（1）0與0表示同一個集合；(2）由1，2,3組成的集合可表示為1，2,3或3,2，1；（3）方程(x1）2(x2)0的所有解的集合可表示為1,1,2；(4)集合x|4x5是有限集其中正確的說法是()a只有（1)和（4）b只有(2）和(3）c只有（2) d以上四種說法都不對解析：選c00；方程（x1)2（x2）0的解集為1,2；集合x|4x5是無限集,只有（2)正確3（新課標全國卷)已知集合a1，2,3，4，5，b(x，y)xa,ya，xya,則b中所含元素的個數(shù)為()a3 b6c8 d1

13、0解析：選d列舉得集合b（2,1）,(3，1)，（4,1）,(5,1），（3,2)，（4,2），(5，2），(4,3)，(5，3)，（5,4），共含有10個元素4下面六種表示法：x2，y1；（2，1)；（1，2)；2,1；(x，y）|x2，或y1，能正確表示方程組的解集的是（)a bc d解析：選c方程組的解是一對有序?qū)崝?shù),即是一個點，因此解集應是一個點的集合用列舉法表示為(2,1)，用描述法表示為（x，y）|x2,且y1或。和是列舉法,中代表兩個方程，而不是一個點，中代表兩個數(shù)為描述法,但中元素是無數(shù)個點,表示兩條直線x2及y1上的所有點不是集合二、填空題5若a2,2,3，4，bx|xt2，

14、ta,用列舉法表示b_。解析：由已知b4，9，16答案：4,9，166已知集合m，則m_.解析：5a整除6，故5a1,2,3，6,所以a4,3，2，1。答案：4,3，2，17已知含有三個實數(shù)的集合既可表示成,又可表示成a2，ab，0，則a2 012a2 013_。解析：依題意b0,a，0，1，a2，ab,0a,0，a2，于是a21，a1或a1（舍去)，故a1,a2 012a2 0130。答案:08集合ax|x2ax20,az,若4a，2a，則滿足條件的a組成的集合為_解析：由題意知解得1a.又az，滿足條件的a組成的集合為1，0,1,2，3答案：1,0，1,2,3三、解答題9設集合a含有3個元素a22a3，2,3,集合b含有2個元素2,a3，已知5a且5b，求a的值解：因為5a,所以a22a35，解得a2或a4。當a2時,a3|5,不符合題意，應舍去當a4時，a3|1，符合題意，所以a4。1