高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算學(xué)案（含解析）1-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3。2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)提出問(wèn)題已知函數(shù):(1)yf（x)c,(2)yf(x)x,（3）yf（x）x2，（4）yf(x)，（5）yf（x)。問(wèn)題1：函數(shù)yf(x）c的導(dǎo)數(shù)是什么？提示：0,y0。問(wèn)題2：函數(shù)(2）（3)（4）(5)的導(dǎo)數(shù)分別是什么?提示：由導(dǎo)數(shù)的定義得：（x）1，（x2)2x，（） .問(wèn)題3：函數(shù)（2)（3)(5）均可表示為yx（q*）的形式，其導(dǎo)數(shù)有何規(guī)律？提示:(x）1x11，(x2)2x21，()（x）x,(x）x1。導(dǎo)入新知基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f（x）cf(x）0f(x）x（q）f(x)x1f（x)sin xf（x）c

2、os_xf（x)cos xf（x)sin_xf（x)axf(x)axln_a(a0）f(x)exf(x）exf（x)logaxf(x）(a0，且a1）f(x）ln xf（x)化解疑難理解公式時(shí)要注意的五點(diǎn)：(1）對(duì)于冪函數(shù)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，x為自變量，為常數(shù)，可推廣到r也成立;(2)對(duì)于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是符號(hào)，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦函數(shù)前加一負(fù)號(hào)，而正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù);(3)注意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式中字母a的范圍;(4)公式是公式的特例,公式是公式的特例；（5）要重視公式和，對(duì)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算要準(zhǔn)確導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則提出問(wèn)題已知f（x）x，g(x).問(wèn)題1:f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)分

3、別是什么？提示：f（x）1，g（x)。問(wèn)題2：試求q(x)x,h（x）x的導(dǎo)數(shù)提示：y（xx）x，1，q(x）1。同理h（x)1。問(wèn)題3:q(x),h(x）的導(dǎo)數(shù)與f（x)，g（x）的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？提示：q(x）的導(dǎo)數(shù)等于f(x),g(x)導(dǎo)數(shù)的和，h（x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x），g(x)導(dǎo)數(shù)的差問(wèn)題4：f（x)g（x)f(x）g（x)對(duì)嗎？提示：不對(duì)，因?yàn)閒(x)g(x）1，f(x)g（x)0，而f（x）g（x)1。導(dǎo)入新知導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x）g（x）f（x)g(x)；（2)f(x)g(x)f（x）g（x）f（x)g(x）；（3)（g（x)0）；（4）cf(x）cf(x)化解疑難導(dǎo)數(shù)的運(yùn)

4、算法則的認(rèn)識(shí)1在兩個(gè)函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中，不能認(rèn)為f(x)g（x）f（x)g（x）以及.2注意區(qū)分兩個(gè)函數(shù)積與商的求導(dǎo)公式中符號(hào)的異同,積的導(dǎo)數(shù)公式中是“，而商的導(dǎo)數(shù)公式中分子上是“”3（1)f1(x）f2（x)fn（x）f1（x)f2(x）fn（x);（2)cf（x）cf(x），也就是說(shuō),常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）yx20；(2)y；(3)ysin；(4)ylog6x;（5)y .解(1）y（x20)20x20120x19.(2)y(x4）4x414x5.(3）y0.(4)y（log6x).（5）y（x）xx。類(lèi)題通法求簡(jiǎn)單

5、函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩種基本方法(1）用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，運(yùn)算比較繁雜（2）用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、降低運(yùn)算難度解題時(shí)根據(jù)所給函數(shù)的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式活學(xué)活用求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1）yx6；(2）ylog7x；(3）yx2.解：(1）y（x6）6x5.(2)y(log7x）。(3)y(x2)(x2x）（x）x。求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）yx53x35x26;(2)y(2x23）（3x2）;（3)y;(4）yx3ex；(5）yx2log3x。解(1)y（x53x35x26)(x5)(3x3）(5x2）65x49x210x.(2)法一：y

6、(2x23）（3x2)(2x23)(3x2）4x（3x2)（2x23)318x28x9.法二:y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9。（3）法一：y.法二:y1,y.(4）y（x3）exx3(ex）3x2exx3exx2(3x）ex。（5）y(x2log3x)（x2）（log3x）2x。類(lèi)題通法解決函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，應(yīng)先分析所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇正確的公式和法則，對(duì)較為復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算，一般綜合了和、差、積、商幾種運(yùn)算，在求導(dǎo)之前應(yīng)先將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，以減少運(yùn)算量活學(xué)活用求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1）yx；（2）y；(3）y3xex2xe.解:(1)因?yàn)閥xx31，所以y3x

7、2。（2)y。（3）y（3xex）(2x)(e)（3x)ex3x(ex）（2x)3xln 3ex3xex2xln 2（ln 31)（3e)x2xln 2。求曲線的切線方程例3(1）曲線ysin xex在點(diǎn)（0，1)處的切線方程是_（2）若曲線f（x)xsin x1在x處的切線與直線ax2y10相互垂直，則實(shí)數(shù)a_.解(1)ysin xex，ycos xex，ycos 0e02,曲線ysin xex在點(diǎn)（0，1)處的切線方程為y12(x0），即2xy10。（2）因?yàn)閒（x）sin xxcos x，所以fsincos1.又直線ax2y10的斜率為，所以根據(jù)題意得11，解得a2.答案：（1)2xy1

8、0(2)2類(lèi)題通法根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可直接得到曲線上一點(diǎn)處的切線的斜率需注意直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征當(dāng)問(wèn)題中涉及相切但未出現(xiàn)切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)活學(xué)活用求曲線y在點(diǎn)處的切線方程解：y，y，yx2.因此曲線y在點(diǎn)處的切線方程為y（x2)，即6x25y320.典例(12分)已知函數(shù)f（x）x3x16，直線l為曲線yf（x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)解題流程 隨堂即時(shí)演練1曲線f（x）xln x在點(diǎn)x1處的切線方程為(）ay2x2by2x2cyx1 dyx1解析：選cyxln x,yln x1，故切線斜率為kyx11.切線方程為y

9、x1。2函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)是（)a. b。c。 d。解析：選ay。3曲線yx(3ln x1)在點(diǎn)（1,1)處的切線方程為_(kāi)解析：y3ln x4，則曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率為4，故切線方程為y14（x1)，即y4x3.答案：y4x34已知函數(shù)f（x），則f_。解析：f(x)，則f1.答案：15已知拋物線f（x)ax2bx7經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1），且在點(diǎn)(1，1）處的切線方程為4xy30,求a，b的值解:因?yàn)閽佄锞€f(x)ax2bx7經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以1ab7，即ab80。又在點(diǎn)(1,1）處的拋物線的切線方程為4xy30,其斜率為4,f（x）2axb，所以f（1)4,即2ab40。解方程組得課時(shí)達(dá)標(biāo)

10、檢測(cè)一、選擇題1給出下列結(jié)論：（cos x）sin x；cos；若y，則y； 。其中正確的個(gè)數(shù)是（）a0 b1 c2 d3解析:選b(cos x）sin x，所以錯(cuò)誤;sin，而0，所以錯(cuò)誤；2x3，所以錯(cuò)誤；x，所以正確2已知曲線y3ln x的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）a3 b2 c1 d.解析:選a因?yàn)閥，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，,解得x3（x2不合題意,舍去）3對(duì)任意的x，有f（x）4x3，f(1)1，則此函數(shù)解析式為(）af（x）x3 bf（x)x42cf(x）x31 df(x）x41解析：選b由f(x)4x3知，f(x）中含有x4項(xiàng)，然后將x1代入選項(xiàng)中驗(yàn)證可得4已知直

11、線y3x1與曲線yax33相切，則a的值為(）a1 b1 c1 d2解析:選a設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則y03x01，且y0ax3,所以3x01ax3.對(duì)yax33求導(dǎo)得y3ax2，則3ax3，ax1.由可得x01，所以a1.5若f0（x)sin x，f1（x）f0（x），f2（x）f1(x)，,fn1(x）fn(x)，nn，則f2 015(x）（）asin x bsin xccos x dcos x解析：選d因?yàn)閒1(x）（sin x)cos x，f2(x)（cos x）sin x，f3(x)（sin x)cos x，f4（x)（cos x）sin x,f5(x)(sin x)cos x，所

12、以循環(huán)周期為4，因此f2 015(x)f3(x）cos x。二、填空題6若f（x)ex(cos xsin x)，則f(x)_.解析：f（x）2exsin x.答案：2exsin x7（陜西高考）設(shè)曲線yex在點(diǎn)(0,1）處的切線與曲線y（x0）上點(diǎn)p處的切線垂直,則p的坐標(biāo)為_(kāi)解析:yex，曲線yex在點(diǎn)（0,1)處的切線的斜率k1e01，設(shè)p(m，n）,y(x0）的導(dǎo)數(shù)為y（x0),曲線y(x0）在點(diǎn)p處的切線斜率k2（m0），因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k21,所以m1，n1,則點(diǎn)p的坐標(biāo)為（1,1)答案：(1,1)8已知f（x）x22fx，則f_.解析：f（x）2x2f,令x,則f2f，f.

13、答案：三、解答題9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1)y(x1)2（x1)；（2)yx2sin x；(3）y。解:(1）法一:y（x1）2(x1）（x1)2（x1）2(x1）(x1）(x1）23x22x1.法二：y（x22x1）(x1)x3x2x1，y(x3x2x1）3x22x1.（2）y(x2sin x）（x2）sin xx2(sin x）2xsin xx2cos x。(3）y。10設(shè)f（x)x3ax2bx1的導(dǎo)數(shù)f(x）滿(mǎn)足f(1)2a，f(2）b，其中常數(shù)a，br。求曲線yf(x）在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線方程解：因?yàn)閒（x）x3ax2bx1，所以f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab。又f(1)2a，