數(shù)學建模論文關于眼科病床的合理安排問題

1、關于眼科病床的合理安排問題摘要該問題屬于數(shù)學優(yōu)化理論。對于眼科病床的合理安排問題，我們既要從醫(yī)院資源的有效利用方面考慮，又要從病人的情況方面考慮。對于醫(yī)院的資源，在考慮到手術醫(yī)生的安排問題下，病床的利用率應越高越好。對病人而言，當然是門診后等待入院的時間越短越好，但是，對醫(yī)院來說，這雖然縮短了部分病人的等待時間，從全局看，這并不是最優(yōu)的，若一個病人門診后已經(jīng)入院了，但一直在等待做手術，一直處于手術前的準備狀態(tài)。所以這無形中增大了其他病人的等待入院時間?；诖藛栴}，醫(yī)院應該在病人排隊入院這個問題上確定哪些病人入院才能使病人的病人的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）達到最短。由于白內障、視網(wǎng)膜疾

2、病、青光眼和外傷四類眼科的手術條件各有不同，于是我們可以設置一系列限制條件來安排病人的入院時間，從而縮短病人的平均逗留時間（含等待入院及住院時間），以及對醫(yī)院資源的有效利用。為了使病人入院后能夠盡快的進行手術，我們可以把入院時間安排到剛好符合所有條件，同時又離手術時間最短的那天，相當于病人的最短逗留時間，此時間由三年部分組成，即：最短逗留時間=最短排隊入院時間+最短入院后未手術時間+手術時間。要使病人的逗留時間盡量縮短，必須縮短排隊入院時間和入院后未手術時間，對病人的手術時間什么要求，因為對同一類病人，他們的手術時間變化波動不大，可看成是一個定值。因此，只要縮短排隊入院時間和入院后未手術時間，

3、就縮短了平均逗留時間（含等待入院及住院時間）。對眼科病床的安排，我們做出了三種模型，模型一：根據(jù)病人類型和門診日期，判斷病人是入院還是繼續(xù)等待已達到等待日期最少便可以手術。模型二：其他條件跟模型一相同，只是考慮星期六和星期天手術醫(yī)生不上班，這相當于對模型一的靈敏度分析。模型三：是從考慮方便管理的角度出發(fā)建立模型的，相當于是對模型一的改進。通過統(tǒng)計計算，fcfs規(guī)則得出的平均逗留時間為19.713天，模型一的平均逗留時間為14.701天，模型二的平均逗留時間為15.093天，模型三的平均逗留時間為15.083天，由以上數(shù)據(jù)，模型一最優(yōu)。模型一與fcfs規(guī)則模型相比，縮短了病人等待入院的時間和入院

4、后手術前的時間，相當于縮短了平均逗留時間。模型一與模型二相比，模型二在星期六和星期天不安排手術，相對以來說，有一部分手術會推遲，故比模型一少，但從數(shù)據(jù)上看，星期六和星期天不安排手術的影響不是很大。模型一與模型三相比，模型三的優(yōu)點是管理方便，這樣必然會是病人平均逗留時間長些關鍵詞：平均逗留時間，平均住院天數(shù)，平均等待入院天數(shù)問題的敘述與分析(一) 問題的敘述某醫(yī)院眼科門診每天開放且住院部有病床79，需要住院并且手術的有：白內障、外傷、青光眼以及視網(wǎng)膜疾病，其中只認為外傷疾病屬于急診。它們符合如下條件： 該院白內障手術只能在每周一、周三做，此類病人只需1、2天的術前準備時間。其中做雙眼的病人占到6

5、0%，周一做一只，周三再做另一只。白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。 急診在有病床有空位的時候就立即安排住院，第二天便能手術。 青光眼和視網(wǎng)膜疾病情況比較復雜，住院2、3天才能手術，術后觀察時間較長。周一、周三不安排這兩類手術。當前該住院部對全體非急癥病人是按照fcfs（first come, first serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫(yī)院方面希望能通過數(shù)學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。問題二：試就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排

6、模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應該安排哪些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標體系作出評價。問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據(jù)當時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術時間安排是否應作出相應調整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。給出的2008年7月13日至2008

7、年9月11日這段時間里各類病人的情況（略）。(二) 問題的分析1.通過對問題的分析，以及相關背景的了解，按照以前的規(guī)則，不能使病人得到合理的住院治療，因此要改變現(xiàn)有的規(guī)則。為此，我們認為在現(xiàn)有資源確定的情況下，即眼科醫(yī)院79張病床不變的情況下，我們要達到四個目的：a) 提高病床的利用率。b) 縮短病人的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）。c) 使得病人花更少的錢。d) 提高醫(yī)院對病人的服務率。2.同時還要考慮看病的優(yōu)先級。首先對于外傷病人，因為確定外傷為急診，作為急診必須是醫(yī)院有空床就當天立即安排住院，第二天便能進行手術，在一些背景知識的了解后，認定外傷病人應優(yōu)先考慮。其次針對白內障病人，因

8、為他們的約束條件比較多，我們把白內障病人分成做白內障單眼手術和做白內障雙眼手術，根據(jù)他們的手術約束和所占總白內障病人數(shù)的病人比例，將白內障雙眼病人在盡量短的時間內安排在星期一進行手術，而白內障單眼病人在已經(jīng)滿足了白內障雙眼病人的情況后再考慮住院，因此將白內障雙眼病人作為看病的第二優(yōu)先級，白內障單眼病人作為第三優(yōu)先級。3.當病人來到醫(yī)院就診時，判斷病人所患得病的類型，從各種類型病人中，確定有哪些病人應該先入院，有三種情況：當病人來到醫(yī)院就診時，判斷病人所患得病的類型，從各種類型病人中，確定有哪些病人應該先入院，有三種情況：一、 當判斷為外傷病人時，第一天就可以會診，第二天就可以安排手術。二、 當

9、白內障病人在星期五和星期天來醫(yī)院眼科門診時，根據(jù)之前的已知條件，在醫(yī)院有空閑病床時，病人住院后等待兩天就可以進行手術。在會診結束后的其他時間來醫(yī)院入住，會使病人得不到合理的安排。尤其是雙眼都患有白內障的人，他們只能在星期一做手術。假如有一人雙眼都患有白內障在星期六住院，經(jīng)過兩天的準備及觀察，已經(jīng)到了下個星期的周二，這樣，就不能進行手術，要等到之后的星期一。這樣，不僅病人要花費更多的錢，同時，醫(yī)院也服務不到更多的人。三、 根據(jù)已知條件，將青光眼病人和視網(wǎng)膜病人劃為一類，青光眼病人和視網(wǎng)膜病人入院三天就可以手術，若他們在星期一、星期二、星期三、星期五、星期天這五天之中的任意一天來就診，三天后就剛好

10、可以安排手術；若他們在星期四和星期六來就診，同樣，他們要術前準備三天，這樣就與其他類型的病人的手術沖突。例如,青光眼病人或視網(wǎng)膜疾病病人在星期四來就診，經(jīng)過三天的等待，本來是可以手術的，但在星期一與其他類型的病人的手術沖突，只能是推遲到星期二，他們若在星期六來就診，又與星期三的其他類型病人的手術相沖突，這也是醫(yī)院的原始問題?？梢?，在有空閑病床的情況下，青光眼病人和視網(wǎng)膜病人在星期一、星期二、星期三、星期五、星期天這五天之中的任意一天來就診，都可以很快的安排手術，為病人節(jié)省住院時間，也節(jié)省了住院費用，不僅如此，還使得醫(yī)院的病床利用率提高了。因此，我們需要建立出對醫(yī)院制度合適并且合理的數(shù)學模型。模

11、型的假設（一）、模型假設假設一：白內障類型病人的術前準備時間為2天。假設二：青光眼和視網(wǎng)膜疾病類型病人的術前準備時間為3天。（二）、符號說明t1：模型一的平均逗留時間。t2：模型二的平均逗留時間。t3：模型三的平均逗留時間。：所有病人的平均住院天數(shù)。：所有病人的平均等待入院天數(shù)。：所有病人的平均術后觀察天數(shù)。模型的建立、求解、分析與評價依據(jù)給出的五個問題，需要建立三個模型模型一（一）、模型建立：通過對問題的分析，要提高醫(yī)院資源的利用率，就得縮短病人的平均逗留時間，而平均逗留時間又由病人的排隊入院時間和在醫(yī)院（住院未手術時間和手術時間）的時間決定。即：=+對上述表達式，對同一種病人，手術時間一般

12、是波動不大的。因此，要縮短平均逗留時間，只有縮短病人的排隊入院時間和住院未手術時間。要縮短這兩種時間，即解決如何安排病人入院的問題。若來門診的是外傷病人，醫(yī)院有空位就立即入住，若是白內障和白內障（雙眼），對白內障病人來說，考慮他們入院后準備2天后是不是星期一或星期三，若是，則考慮入住，若不是，則讓其繼續(xù)等待，第二天在同樣的條件判斷，一直重復下去，直到該病人入住為止。對白內障（雙眼）病人來說，由于他們只在星期一做手術，所以應先考慮他們入院后準備2天后是不是星期一，后面的判斷入住情況與白內障病人一樣。因為白內障（雙眼）占60，再加上他們只能在星期一做手術，而白內障可在星期一或星期三做手術，所以星期

13、一盡量考慮白內障（雙眼）。對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病的病人考慮入住的情況跟白內障和白內障（雙眼）一樣，只是他們不能在星期一和星期三手術，且手術前準備需要3天。對于每一種類型的病人哪一天是否合適入院，我們可以建立一個表格來描述：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日外傷1111111青光眼1110101視網(wǎng)膜1110101白單0000101白雙0000100其中1表示適合當天入院，0表示不適合。（二）、模型求解：令表示每個病人出院的時間，表示每個病人入院的時間, 表示每個病人入診的時間，表示每個病人手術的時間，則：則所有病人平均住院時間：=；所有病人平均等待入院時間：=；所有病人平均術后觀察時間

14、： =；根據(jù)醫(yī)院給出的2008年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況，可以根據(jù)上面的公式統(tǒng)計出：白內障白內障雙眼青視疾病外傷平均等待時間13.5913.5113.469.47平均術前時間3.344.63.341平均術后時間2.94.969.597.07利用上面表的數(shù)據(jù)可以畫出下圖：利用matlab可以設計一個程序（程序見附錄一）來確定病人的入院時間，從而算出病人的平均逗留時間。(三)、模型結果分析：根據(jù)醫(yī)院的入診情況統(tǒng)計，如果按照fcfs（first come, first serve）規(guī)則安排住院，則所有病人的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）：t=19.713天，如果

15、按照模型的算法，運行程序可以求出病人的平均逗留時間t1=平均等待時間+平均住院時間=6.951+7.75=14.701天。從上圖比較可以看出，按照模型的算法極大地縮短了病人的平均逗留時間，同時也提高對醫(yī)院資源的有效利用。（四）、模型評價：1.模型一比較充分地利用了醫(yī)院有效資源。2.模型一的平均逗留時間非常短，要遠優(yōu)于fcfs規(guī)則。模型二（一）、模型建立：若住院部周六、周日不安排手術，則相應的修改下適合入院表，得到一個新的表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日外傷1111001青光眼1000101視網(wǎng)膜1000101白單0000101白雙0000100其中1表示適合入院，0表示不適合入院

16、。模型二的思想與模型一基本一致，只是適當?shù)匦薷囊稽c條件。對模型一算法設計出來的程序做適當?shù)男薷?，得出模型二的程序（程序見附錄二）。（二）、模型的結果與分析：運行程序可以求出，病人的平均逗留時間t2=平均等待時間+平均住院時間=7.3431+7.75=15.093天。與模型一的結果14.701天相比，模型二的安排差了一點，但還是比fcfs規(guī)則好的多。（三）、模型評價：1.模型二比較有利于醫(yī)院的工作人員，使得他們有雙休日休息。2.模型二的平均逗留時間比fcfs規(guī)則要少，優(yōu)于fcfs規(guī)則。3.模型二沒有充分的利用醫(yī)院有效資源。模型三（一）、模型建立問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，

17、醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。既然要從便于管理的角度做這個模型，就有必要將病人的類型分為四類；第一類：外傷疾病第二類：青光眼和視網(wǎng)膜疾病第三類：單眼患有白內障第四類：雙眼患有白內障我們認定共有3個評價指標來評價病床分配比例的優(yōu)劣。 入住適合度 平均每種病占用病床時間的長短 平均就診人數(shù)比例其中這三個評價指標越高，越能說明病床分配的合理。1) 通過下表，可以確定出七天中四類病人的入住適合度：外傷病人一周7天都可以住院手術，比例為100。青光眼或視網(wǎng)膜疾病一周有5天合適住院

18、，比例為：71.4。白內障單眼病人一周有2天合適住院，比例為：28.6。白內障雙眼一周只有1天合適住院，比例為：14.3星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日外傷1111111青或視1110101白單0000101白雙00001002) 可通過公式=（其中，i(i=1,2,54)表示從2008.7.132008.9.4共54天，j =1,2,3,4分別表示四類病（1:外傷。2:青、視疾病。3:白內障。4:白內障（雙眼）。表示第i天第j類病出院的時間。表示第i天第j類病入院的時間。表示第i天第j類病人的入院數(shù)。從而可求出各種類型的病床的使用頻率=(j=1,2,3,4)以及通過他們的頻率可求得

19、他們的權重=（j=1,2,3,4），如下表：外傷青、視疾病白內障白內障（雙眼）（人/天）8.0612.936.249.560.1240.0770.1610.1040.2660.1650.3450.2243) 通過原始數(shù)據(jù)可求出來就診的各類病人的比例，如下表：外傷青、視疾病白內障白內障（雙眼）總就診人數(shù)（人）349各種病人數(shù)（人）551407282比例16402123最后，通過以上求出的個數(shù)據(jù)可確定病床如何分配,見下表：外傷青、視疾病白內障白內障（雙眼）入住適合度10.7140.2860.143平均住院頻率比例0.2660.1650.3450.224平均門診人數(shù)比例0.160.40.210.23

20、指標權重總和1.4261.2790.8410.579指標權重總比例0.3440.3090.2030.144分配的病床數(shù)27251613通過計算可以得出應分配給外傷病人27張床，分給青光眼和視網(wǎng)膜疾病的病人25張床，分給單眼患有白內障的病人16張床，分給雙眼都患有白內障的病人13張床。（二）、模型的結果與分析運行程序可以求出，病人的平均逗留時間t3=平均等待時間+平均住院時間=7.3333+7.75=15.083天。模型三得出的結果和模型二幾乎一樣，但考慮到模型三有利于管理，所以總體上來說模型三要優(yōu)于模型二。但與模型一相比，還是差了不少。（三）、模型評價：1模型三非常方便醫(yī)院管理。2模型三的平均

21、逗留時間和模型二差不多，要優(yōu)于fcfs規(guī)則。3仍然沒有充分的利用醫(yī)院有效資源。參考文獻1王建衛(wèi)等，matlab7.x程序設計.北京：中國水利水電出版社，20072林亮等，統(tǒng)計實驗.北京：國防工業(yè)出版社，2006附錄附錄一模型一的matlab程序：設8月30號到9月11號醫(yī)院入診病人編號a102。每個病人的病型：1為白內障單眼，2為白內障雙眼，3為青光眼或視網(wǎng)膜，4為外傷；每一個病人是星期幾入診的：t=6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,

22、4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4;a=2,3,3,3,3,2,1,3,2,3,3,3,3,1,3,3,3,2,2,2,3,1,3,3,1,1,2,1,3,3,3,2,1,3,1,3,3,2,1,3,3,3,3,3,2,2,3,3,3,3,2,2,2,3,2,3,2,1,2,2,2,3,3,2,3,2,3,1,3,3,1,2,1,3,1,3,3,3,1,1,3,1,2,1,1,2,1,3,2,3,3,3,2,2,3,2,

23、4,2,3,1,3,3;b=14,2,6,2,5,9,13,17,10,4,5,13,7; %初始化每天的出院人數(shù)b102for i=14:102b(i)=0;endfor i=1:102 %總共有102個病人入診for j=1:100 %入診后的第j天 if a(i)=4&b(j)0 k(i)=j; %k(i)表示第i個病人的等待入院時間b(j)=b(j)-1; b(j+8)=b(j+8)+1; break; elseif mod(t(i)+j),7)=5 & b(j)0 & a(i)=2k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+10)=b(j+10)+1;reak;elseif (mo

24、d(t(i)+j),7)=5 | mod(t(i)+j),7)=7) & b(j)0 & a(i)=1k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+6)=b(j+6)+1;break;elseif (mod(t(i)+j),7)=4 | mod(t(i)+j),7)=6) & b(j)0 & a(i)=3k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+13)=b(j+13)+1;break;elsecontinue;endendendn=0;for i=1:102n=n+k(i);endt=n/102; %t為所有病人的平均等待時間8月30號到9月11號之間每個入診病人的入院等待時間：k = c

25、olumns 1 through 11 6 1 1 1 1 6 5 1 5 1 1 columns 12 through 22 1 1 5 1 1 1 4 4 11 1 11 columns 23 through 33 1 2 3 3 3 3 2 3 3 9 9 columns 34 through 44 5 9 5 6 8 8 6 6 6 6 6 columns 45 through 55 8 8 6 7 7 7 7 7 7 7 7 columns 56 through 66 7 7 7 7 7 13 8 8 13 8 12 columns 67 through 77 8 11 8 8 11

26、 11 11 8 11 8 8 columns 78 through 88 8 10 10 8 9 9 9 9 9 9 8 columns 89 through 99 9 8 8 8 8 15 10 15 10 15 10 columns 100 through 102 15 10 10附錄二模型二的matlab程序：設8月30號到9月11號醫(yī)院入診病人編號a102。每個病人的病型：1為白內障單眼，2為白內障雙眼，3為青光眼或視網(wǎng)膜，4為外傷；每一個病人是星期幾入診的：t=6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3

27、,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4;a=2,3,3,3,3,2,1,3,2,3,3,3,3,1,3,3,3,2,2,2,3,1,3,3,1,1,2,1,3,3,3,2,1,3,1,3,3,2,1,3,3,3,3,3,2,2,3,3,3,3,2,2,2,3,2,3,2,1,2,2,2,3,3,2,3,2,3,1,3,3,1,2,1,3,1,3,3,3

28、,1,1,3,1,2,1,1,2,1,3,2,3,3,3,2,2,3,2,4,2,3,1,3,3;b=14,2,6,2,5,9,13,17,10,4,5,13,7; %初始化每天的出院人數(shù)b102for i=14:102b(i)=0;endfor i=1:102 %總共有102個病人入診for j=1:100 %入診后的第j天 if (mod(t(i)+j),7)=5 | mod(t(i)+j),7)=6)&a(i)=4 &b(j)0 k(i)=j; b(j)=b(j)-1; b(j+7)=b(j+7)+1; break; elseif mod(t(i)+j),7)=5 & b(j)0 & a

29、(i)=2k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+7)=b(j+7)+1;break;elseif (mod(t(i)+j),7)=5 | mod(t(i)+j),7)=7) & b(j)0 & a(i)=1k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+5)=b(j+5)+1;break;elseif (mod(t(i)+j),7)=1 | mod(t(i)+j),7)=5 | mod(t(i)+j),7)=7) & b(j)0 & a(i)=3k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+12)=b(j+12)+1;break;elsecontinue;endendendn=0;for

30、 i=1:102n=n+k(i);endt=n/102; %t為所有病人的平均等待時間k = columns 1 through 11 6 2 2 6 6 6 5 1 5 1 1 columns 12 through 22 1 1 5 4 4 7 11 11 11 7 11 columns 23 through 33 7 7 3 3 3 3 3 5 5 9 9 columns 34 through 44 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 columns 45 through 55 1 1 8 8 8 8 7 7 7 3 7 columns 56 through 66 7 7 7 7

31、7 6 6 6 6 8 12 columns 67 through 77 8 11 14 14 18 18 18 14 18 6 6 columns 78 through 88 10 10 10 9 9 9 9 16 16 16 12 columns 89 through 99 16 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 columns 100 through 102 8 8 8附錄三模型三的matlab程序：8月30號到9月11號醫(yī)院入診病人編號a102；每個病人的病型：1為白內障單眼，2為白內障雙眼，3為青光眼或視網(wǎng)膜，4為外傷；每一個病人是星期幾入診的：t=6,6,6,6,6,6,7,

32、7,7,7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4;a=2,3,3,3,3,2,1,3,2,3,3,3,3,1,3,3,3,2,2,2,3,1,3,3,1,1,2,1,3,3,3,2,1,3,1,3,3,2,1,3,3,3,3,3,2,2,3,3,3,3,2,2,2,3,2,3,2,1,2,2,2,3,3,2,3,2,3,1,3,3,1,2,1,3,1,3,3,3,1,1,3,1,2,1,1,2,1,3,2,3,3,3,2,2,3,2,4,2,3,1,3,3;b1=0,0,0,0,0,5,2,1,0,0,0,5,4;b2=12,1,0,0,0,0,3,10,6,0,0,0,0;b3=2,1,4,2,2,3,8,4,4