第六章 變異指標(biāo)

1、第六章 變異指標(biāo)統(tǒng)計(jì)學(xué)statistics高等學(xué)校應(yīng)用型特色規(guī)劃教材清華大學(xué)出版社第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論第二節(jié) 全距、分位差和平均差第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過(guò)本章的學(xué)習(xí)和習(xí)題演算，掌握變異指標(biāo)的意義和作用；標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用。了解變異指標(biāo)的分布特性；極差、平均差和四分位差的概念、計(jì)算公式和特點(diǎn)；分布的偏度與峰度。第四節(jié) 偏度和峰度第五節(jié) 變異指標(biāo)的應(yīng)用 第六章 變異指標(biāo) 一、離種趨勢(shì)的涵義第六章 變異指標(biāo)第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論指總體中各單位標(biāo)志值背離分布中心的規(guī)?；虺潭?，用標(biāo)志變異指標(biāo)來(lái)反映。離中趨勢(shì)反映統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)差異程度的綜合指標(biāo)，也稱為標(biāo)志變動(dòng)度變異指標(biāo)

2、值越大，平均指標(biāo)的代表性越??；反之，平均指標(biāo)的代表性越大 二、變異指標(biāo)的作用第六章 變異指標(biāo)第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論衡量和比較平均數(shù)代表性的大??；是進(jìn)行質(zhì)量控制的基礎(chǔ)；是衡量風(fēng)險(xiǎn)程度的尺度。 例如：某車間有兩個(gè)生產(chǎn)小組，各有7名工人，各人日產(chǎn)量如下:甲組：20，40，60，70，80，100，120乙組：67，68，69，70，71，72，73第六章 變異指標(biāo)第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論第六章 變異指標(biāo)第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論503020100乙廠343432100甲廠鋼廠3月2月1月季度總供貨計(jì)劃執(zhí)行結(jié)果供貨計(jì)劃完成百分比(%)【專欄61】 國(guó)家統(tǒng)計(jì)局日前發(fā)布的報(bào)告稱，與2005年的工資數(shù)

3、據(jù)相比，2006年全國(guó)城鎮(zhèn)單位在崗職工的年平均工資增加了2596元，日平均工資增加了10.36元。（中國(guó)證券報(bào)3月26日）溫家寶總理在十屆全國(guó)人大五次會(huì)議記者招待會(huì)上曾說(shuō)：“一個(gè)艦隊(duì)決定它速度快慢的不是那個(gè)航行最快的船只，而是那個(gè)最慢的船只。”同樣，決定全國(guó)城鎮(zhèn)單位在崗職工工資整體發(fā)展速度的是廣大低收入者的增長(zhǎng)情況。 別把平均指標(biāo)看得過(guò)重 第六章 變異指標(biāo)【專欄61】目前，雖然過(guò)去15年中，中國(guó)居民工資性收入穩(wěn)步增長(zhǎng)，但收入差距的擴(kuò)大，已成為工資分配中的突出問(wèn)題。1月31日，國(guó)家發(fā)改委官方網(wǎng)站公布系列收入分配報(bào)告顯示，19902005年，城鄉(xiāng)居民的工資性收入在居民總收入中所占的比重從45.3%

4、逐步提高到63.2%.但也就在這一時(shí)期，平均貨幣工資收入最高最低行業(yè)之比由1.761擴(kuò)大為4.881。如果我們不注重行業(yè)間的收入差距過(guò)大問(wèn)題，不采取措施彌補(bǔ)這種差距，而是任其擴(kuò)大，一味追求平均指標(biāo)的增長(zhǎng)，那就無(wú)助于“整個(gè)社會(huì)的生活狀況”的改善，因?yàn)橐粋€(gè)艦隊(duì)的速度，取決于那個(gè)最慢的船只。 別把平均指標(biāo)看得過(guò)重 第六章 變異指標(biāo)第六章 變異指標(biāo)第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論二、變異指標(biāo)的種類以標(biāo)志值之間相互比較說(shuō)明變異情況 以平均數(shù)為比較標(biāo)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)明標(biāo)志的變異情況 以正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明分配數(shù)列偏離情況的指標(biāo) 平均差標(biāo)準(zhǔn)差平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)方差峰度偏度全距分位差第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異

5、指標(biāo)指所研究的數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差，又稱極差。一、全距最大變量值或最高組上限或開(kāi)口組假定上限最小變量值或最低組下限或開(kāi)口組假定下限第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則一、全距第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)一、全距【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：18 2 310 3企業(yè)數(shù)（個(gè)） 85 95105115組中值（）24 900合計(jì) 800 2 500 17 200 4 40090以下90100100110110以上計(jì)劃產(chǎn)值（萬(wàn)元）計(jì)劃完成程度（）第二

6、節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)一、全距缺點(diǎn):僅取決于兩個(gè)極端值的水平，不 能反映其間的變量分布情況；受個(gè)別極端值的影響過(guò)于顯著， 不符合穩(wěn)健性和耐抗性的要求。全距的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):計(jì)算方法簡(jiǎn)單、易懂；第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)二、分位差從變量數(shù)列中，剔除了一部分極端值后計(jì)算的類似于極差的指標(biāo)。四分位差十六分位差十分位差八分位差三十二分位差百分位差上四分位數(shù)下四分位數(shù)第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)三、平均差 簡(jiǎn)單平均差適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，用 表示。計(jì)算公式：總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第 個(gè)單位的變量值第二節(jié)

7、全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)三、平均差【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解：即該售貨小組5個(gè)人銷售額的平均差為93.6元。第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)三、平均差 加權(quán)平均差適用于分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第 組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第 組的變量值或組中值第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)三、平均差【例B】計(jì)算下表中某公司職工月工資的平均差。2 000208314382456305237 78 20職工人數(shù)（人）250350450550650750850950組中值（元）合計(jì)30

8、0以下300400400500500600600700700800800900900以上月工資（元）第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)三、平均差解：即該公司職工月工資的平均差為138.95元。第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)三、平均差優(yōu)點(diǎn):不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；缺點(diǎn):用絕對(duì)值的形式消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問(wèn)題，不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算。平均差的特點(diǎn)第二節(jié) 全距、分位差和平均差 第六章 變異指標(biāo)三、平均差平均差系數(shù)第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo) 簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的

9、離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開(kāi)平方根，用 來(lái)表示；標(biāo)準(zhǔn)差的平方又叫作方差，用 來(lái)表示。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：總體單位總數(shù)第 個(gè)單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解：第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差 加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差適用于分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第 組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第 組的變量值或組中值第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)【例B】計(jì)算下表中某公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差。2 000 208 314 382 456 305 237 78 20職工

10、人數(shù)（人）250350450550650750850950組中值（元）合計(jì)300以下300400400500500600600700700800800900900以上月工資（元）第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)解：（比較：其工資的平均差為138.95元）即該公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差為167.9元。第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)由同一資料計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果一般要略大于平均差。證明：當(dāng)a,b,c0時(shí)，有 標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問(wèn)題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算.第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)

11、差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)捷計(jì)算避免離差平方和計(jì)算過(guò)程的出現(xiàn)目的:變量值平方的平均數(shù)變量值平均數(shù)的平方第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)可比變異系數(shù)指標(biāo)第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較可比第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)用來(lái)對(duì)比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大小標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然。應(yīng)用:第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)【例】某年級(jí)一、二兩班某門課的平均成績(jī)分別為82分和76分，其成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為

12、15.6分和14.8分，比較兩班平均成績(jī)代表性的大小。解：二班成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：因?yàn)?，所以一班平均成績(jī)的代表性比二班大。第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)是非標(biāo)志總體合計(jì)10具有某一屬性不具有某一屬性變量值單位數(shù)分組為研究是非標(biāo)志總體的數(shù)量特征，令指總體中全部單位只具有“是”或“否”、“有”或“無(wú)”兩種表現(xiàn)形式的標(biāo)志，又叫交替標(biāo)志是非標(biāo)志第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)是非標(biāo)志總體的指標(biāo)具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)指是非標(biāo)志總體中具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位總數(shù)的比重。成數(shù)第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變

13、異指標(biāo)是非標(biāo)志總體的指標(biāo)均值標(biāo)準(zhǔn)差第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)是非標(biāo)志總體的指標(biāo)方差標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第六章 變異指標(biāo)是非標(biāo)志總體的指標(biāo)【例】某廠某月份生產(chǎn)了400件產(chǎn)品，其中合格品380件，不合格品20件。求產(chǎn)品質(zhì)量分布的集中趨勢(shì)與離中趨勢(shì)。解：概 念 計(jì) 算 特 點(diǎn)數(shù)列中最大值與最小值之差1極差 （R）R=最大值-最小值優(yōu)點(diǎn)：容易理解， 計(jì)算方便缺點(diǎn)：不能反映全部數(shù)據(jù)分布狀況2平均差 （A.D）各標(biāo)志值與均值離差絕對(duì)值的算術(shù)平均簡(jiǎn)單：加權(quán)：優(yōu)點(diǎn)：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況缺點(diǎn)：取絕對(duì)值 ,數(shù)字上 不盡合理第六章 變異指標(biāo)概 念 計(jì) 算 特 點(diǎn)各標(biāo)志值與均值離差平方

14、的平均。方差的平方根（取正根）3方差（2） 和 標(biāo)準(zhǔn)差()優(yōu)點(diǎn)：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況，數(shù)字上合理。缺點(diǎn)：受計(jì)量單位和平均水平影響，不便于比較4標(biāo)準(zhǔn)差系 數(shù) （V）標(biāo)準(zhǔn)差與均值之商，是無(wú)量綱的系數(shù)簡(jiǎn)單：加權(quán)：優(yōu)點(diǎn)：適宜不同數(shù)據(jù)集的比較缺點(diǎn)：對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變化反應(yīng)不靈敏第六章 變異指標(biāo)分布的矩1.矩的基本形式第i個(gè)變量常數(shù)權(quán)數(shù)第六章 變異指標(biāo)第六章 變異指標(biāo)第四節(jié) 偏度與峰度原點(diǎn)矩中心矩未分組資料分組資料未分組資料分組資料第六章 變異指標(biāo)(對(duì)稱分布)正偏態(tài)分布（右）負(fù)偏態(tài)分布(左）1.平均數(shù)與眾數(shù)比較法第六章 變異指標(biāo)2.矩法 (m3三階中心矩) 定義M=(X-A)k/n為變量X關(guān)于A的k階矩。 當(dāng)A

15、=0，即以原點(diǎn)為中心，上式稱為“K階原點(diǎn)矩”。K=1，2，3時(shí)，有：一階原點(diǎn)矩1=(X-0)1/n=X/n二階原點(diǎn)矩2=(X-0)2/n=X2/n三階原點(diǎn)矩3=(X-0)3/n=X3/n第六章 變異指標(biāo)2.矩法 當(dāng)A= ，即以 為中心，上式稱為“K階中心矩”。K=1，2，3時(shí)，有：一階中心矩二階中心矩三階中心矩第六章 變異指標(biāo)K=1，2，3時(shí)，有：一階中心矩二階中心矩三階中心矩 所以，3可以測(cè)定偏度。為消除量綱，轉(zhuǎn)變?yōu)橄禂?shù)，再除以3。<0負(fù)偏態(tài)=0對(duì)稱分布>0正偏態(tài)< 0 0 > 0第六章 變異指標(biāo)測(cè)定分布的偏度(對(duì)稱分布)正偏態(tài)分布（右）負(fù)偏態(tài)分布(左）3.分位數(shù)法不

16、同分布情形下諸四分位數(shù)之間的關(guān)系第六章 變異指標(biāo)3.分位數(shù)法由上頁(yè)圖可知，當(dāng)公布為對(duì)稱時(shí)，中位數(shù)與上、下四分位數(shù)的距離相等地；當(dāng)分布為正偏時(shí)，中位數(shù)與上四分位數(shù)的距離大于它與下四分位數(shù)的距離；當(dāng)分布為負(fù)偏時(shí)，中位數(shù)與上四分位數(shù)的距離小于它與下四分位數(shù)的距離，因此，中位數(shù)與上、下四分位數(shù)的距離之差可以反映偏斜方向。第六章 變異指標(biāo)測(cè)定分布的偏度3.分位數(shù)法0 分布為正偏0 分布為負(fù)偏=0 分布為對(duì)稱優(yōu)點(diǎn)：可以排除極端值的干擾缺點(diǎn)：由于從分布中剔除了兩端各四分之一的數(shù)據(jù)，故只能反映中間半數(shù)總體單位的分布形態(tài)特征。為減少數(shù)據(jù)損失，可采用更高程度的分位數(shù)，按類似方式定義偏度指標(biāo)。第六章 變異指標(biāo)1.矩

17、法測(cè)定分布的峰度0 分布為高峰度的0 分布為低峰度的=0 分布為正態(tài)峰度的第六章 變異指標(biāo)第六章 變異指標(biāo)2.分位數(shù)法觀察表明，此式計(jì)算的結(jié)果數(shù)值越小，分布圖形越陡峭；反之，數(shù)值越大，分布圖形越平坦。且在理論上可證明，對(duì)于正態(tài)分布，這樣計(jì)算的結(jié)果總是0.526，故可定義相應(yīng)的峰度指標(biāo)為：第五節(jié) 變異指標(biāo)的應(yīng)用2. 總方差與組方差相結(jié)合 3. 偏度、峰度與公差相結(jié)合 1. 平均指標(biāo)與變異指標(biāo)相結(jié)合第六章 變異指標(biāo)本章小結(jié)：（1）平均指標(biāo)描述的是總體的集中趨勢(shì)，而標(biāo)志變異指標(biāo)描述的是總體的離中趨勢(shì)。它們從兩方面來(lái)反映總體的分布特征。其作用首先是衡量平均指標(biāo)代表性大小的一種尺度，其次還可以反映社會(huì)經(jīng)

18、濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的均衡性與協(xié)調(diào)性。 （2）全距、四分位差、平均差與標(biāo)準(zhǔn)差在反映標(biāo)志變異程度方面各有優(yōu)缺點(diǎn)。方差()和標(biāo)準(zhǔn)差()是應(yīng)用最廣的標(biāo)志變異指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是反映標(biāo)志差異程度的主要指標(biāo)。它比前面介紹的其它指標(biāo)都科學(xué)。標(biāo)準(zhǔn)差就是標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。 第六章 變異指標(biāo)本章小結(jié)：（3）為了對(duì)比和分析不同平均水平總體的標(biāo)志差異程度，就需要使用標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)之比，它既消除了變量數(shù)列水平的影響，是反映標(biāo)志差異程度方面目前最科學(xué)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)之一。（4）要掌握是非標(biāo)志的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算。是非標(biāo)志的最大值是0.25。 第六章 變異指標(biāo)復(fù)習(xí)思

19、考題1. 如何理解標(biāo)志變異指標(biāo)是衡量平均數(shù)代表性大小的尺度？2. 全距、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差各有什么特點(diǎn)？3. 為什么說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)差是各種標(biāo)志變異指標(biāo)中最常用的指標(biāo)？4. 什么是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)有何意義？5. 標(biāo)志變異指標(biāo)與平均數(shù)有何關(guān)系？6. 在何種情況下，只需計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差而不必計(jì)算標(biāo)志變異系數(shù)，就可以比較出不同資料的平均數(shù)代表性的大小，為什么？ 7. 某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元。試計(jì)算全距。 第六章 變異指標(biāo)復(fù)習(xí)思考題 第六章 變異指標(biāo)8. 已知某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。9. 某車