2021年人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊3.2.1《雙曲線及其標準方程》教學設計(含答案)

1、3.2.1雙曲線及其標準方程 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學習雙曲線及其標準方程學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學習就會順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向加深對雙曲線的標準方程及簡單幾何性質的理解與應用。從高考大綱要求和課程標準角度來講，雙曲線的定義、標準方程作為了解內容，在高考的考查當中以選擇、填空為主。正因如此，學生在學習過程當中對雙曲線缺少應有的重視，成為了學生的一個失分點。而且由于學生對橢圓與雙曲線的區(qū)別與聯(lián)

2、系認識不夠，無法做到知識與方法的遷移，在學習雙曲線時極易與橢圓混淆。在教學中要時刻注意運用類比的方法，讓學生充分的類比體會橢圓與雙曲線的異同點，使得橢圓與雙曲線的學習能相互促進。課程目標素養(yǎng)A.掌握雙曲線的標準方程及其求法.B.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題. C.與橢圓的標準方程進行比較,并加以區(qū)分.1.數(shù)學抽象：雙曲線的定義2.邏輯推理：運用定義推導雙曲線的標準方程 3.數(shù)學運算：雙曲線標準方程的求法 4.數(shù)學建模：運用雙曲線解法實際問題 5.直觀想象：雙曲線及其標準方程重點：用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題. 難點：雙曲線的標準方程及其求法.多媒體教學過程教學設計意

3、圖核心素養(yǎng)目標一、 情景導學 雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質。本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關問題。 我們知道，平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡是橢圓，一個自然的問題是：平面內與兩個定點的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡是什么？1.雙曲線的定義 從橢圓的情形一樣，下面我們用坐標法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出雙曲線的標準方程。以F1,F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，此時雙曲線的焦點分別為F1（c,0）,F2 （c,0）設Px,y是雙

4、曲線上一點，則PF1PF2=2a,因為PF1=(x+c)2+y2, PF2=(xc)2+y2,所以(x+c)2+y2xc2+y2=2a 由得(x+c)2+y2(xc)2+y2(x+c)2+y2+(xc)2+y2 =2a 整理得(x+c)2+y2xc2+y2=2cax.且與右邊同時取正號或負號，+ 整理得(x+c)2+y2 =(a+cax) 將式平方再整理得c2a2a2x2y2= c2a2 因為ca0 ，所以c2a20設c2a2=b2且b0,則可化為x2a2y2b2=1 (a0，b0) 設雙曲線的焦點為 F1和F2 ，焦距為2c，而且雙曲線上的動點P滿足PF1PF2=2a,其中ca0 ，以F1,

5、F2所在直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時；雙曲線的標準方程是什么？2.雙曲線的標準方程 焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程 (a0,b0) (a0,b0)焦點F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系b2=c2-a2雙曲線與橢圓的比較 橢圓雙曲線定義|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|)|MF1|-|MF2|=2a(02a|F1F2|)a,b,c的關系b2=a2-c2b2=c2-a2焦點在x軸上焦點在y軸上1.在雙曲線的定義中,若去掉條件02a0,b0),代入點的坐標,解方程即可得到.(2)

6、可設雙曲線方程為mx2-ny2=1,代入點的坐標,得到方程組,解方程組即可得到.解:(1)設雙曲線方程為x2a2y2b2=1(a0,b0),則a=25,25a24b2=1,解得b2=16,則雙曲線的標準方程為x220y216=1.(2)設雙曲線方程為mx2-ny2=1,則有49m-72n=1,28m-9n=1,解得m=125,n=175,則雙曲線的標準方程為x225y275=1. 求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似,可以先根據(jù)其焦點位置設出標準方程,然后用待定系數(shù)法求出a,b的值.若焦點位置不確定,可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解,此方法思路清晰,但過程復雜.若雙曲線過兩定點

7、,可設其方程為mx2+ny2=1(mn0,b0),將點(4,-2)和(26,22)代入方程得16a2-4b2=1,24a2-8b2=1,解得a2=8,b2=4,所以雙曲線的標準方程為x28y24=1.(2)設雙曲線的方程為Ax2+By2=1,AB0.因為點P,Q在雙曲線上,則9A+22516B=1,2569A+25B=1,解得A=-116,B=19.故雙曲線的標準方程為y29x216=1.跟蹤訓練2. “神舟”九號飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30方向,相距4千

8、米,P為航天員著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.解:因為|PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因為|PB|-|PA|=42),BC的垂直平分線方程為x-3y+7=0.聯(lián)立兩方程解得x=8(舍負),y=53, 所以P(8,53),kPA=tanPAx=3,所以PAx=60,所以P點在A點的北偏東30方向.通過實際問題，引導學生類比思考，引出雙曲線的定義。發(fā)展學生數(shù)學抽象，直觀想象的核心素養(yǎng)。 類比橢圓的標準方程推導，運用雙曲線定義推導其標準

9、方程。發(fā)展學生數(shù)學抽象，數(shù)學運算，直觀想象的核心素養(yǎng)。 通過典例解析，幫助學生形成求解雙曲線標準方程的基本解題思路，進一步體會數(shù)形結合的思想方法。發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，進一步熟練掌握雙曲線標準方程的求解及其定義，提升學生數(shù)學建模，數(shù)形結合，及方程思想，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1.已知兩定點F1(-5,0),F2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則當a=3和5時,P點的軌跡為()A.雙曲線和一條直線B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線D.雙曲線的一支和一條射線解析:當a=3時,根據(jù)雙

10、曲線的定義及|PF1|PF2|可推斷出其軌跡是雙曲線的一支.當a=5時,方程y2=0,可知其軌跡與x軸重合,舍去在x軸負半軸上的一段,又因為|PF1|-|PF2|=2a,說明|PF1|PF2|,所以應該是起點為(5,0),與x軸重合向x軸正方向延伸的射線.答案:D2.已知雙曲線x2a2y2b2=1(a0,b0),F1,F2為其兩個焦點,若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交,且所得弦長|AB|=m,則ABF2的周長為()A.4aB.4a-m C.4a+2mD.4a-2m解析:不妨設|AF2|AF1|,由雙曲線的定義,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+

11、|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是ABF2的周長l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故選C.答案:C3.已知方程x21+m+y2m-2=1表示雙曲線,則m的取值范圍是()A.(-1,+)B.(2,+) C.(-,-1)(2,+) D.(-1,2)解析:方程x21+m+y2m-2=1,(m-2)(m+1)0,解得-1m0,b0),則有a2+b2=c2=8,9a210b2=1,解得a2=3,b2=5.故所求雙曲線的標準方程為x23y25=1.(3)當焦點在x軸上時,可設雙曲線方程為x2-y2=a2,將點(3,-1)代入,得32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求的雙曲線的標準方程為x28y28=1.當焦點在y軸上時,可設雙曲線方程為y2-x2=a2,將點(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦點不可能在y軸上.綜上,所求雙曲線的標準方程為x28y28=1.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結五、課時練通過總結，讓學生進一