二次根式及一元二次方程復習及練習[共22頁]

1、1 / 15二次根式小結與溫習基礎盤點1. 二次根式的定義：一般地,我們把形如 a （ a _0）的式子叫做二次根式,“ ”稱為二次根式 .定義詮釋：（1）二次根式的定義是以形式界定的,如 4 是二次根式；（2）形如 b a （ a 0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式 a 中的被開方數(shù) a,可以是數(shù),也可以是單項式、多項式、分式,但必須滿足 a 0.2. 二次根式的基本性質(zhì)（1） a _0（ a_0）；（2）22 a _（ a _0）；（3） a a_aa_0_0；（4） ab _（ a _0, b _0）；（5）ab_（ a _0,b _0）.3. 最簡二次根式必須滿足的條件為： （1

2、）被開方數(shù)中不含 _；（2）被開方數(shù)中所有因式的冪的指數(shù)都 _.4. 二次根式的乘、除法則：（1）乘法法則： a b =_（ a_0,b _0）；（2）除法法則：ab_（ a _0, b _0）.2 溫習提示 ：（1）進行乘法運算時, 若結果是一個完全平方數(shù),則應利用 a aaaaa00進行化簡,即將根號內(nèi)能夠開的盡方的數(shù)移到根號外；（2）進行除法運算時,若除得的商的被開方數(shù)中含有完全平方數(shù)因數(shù),應運用積的算術平方根的性質(zhì)將其進行化簡.5. 同類二次根式：幾個二次根式化成 _后,如果 _相同,這幾個二次根式就叫做同類二次根式 .6. 二次根式的加減法則：二次根式加減時,可以先將二次根式化成 _

3、,然后把_進行合并 .溫習提示 ：（1）二次根式的加減分為兩個步驟： 第一步是 _,第二步是 _,在合并時,只需將根號外的因式進行加減,被開方數(shù)和根指數(shù)不變；（2）不是同類二次根式的不能合并,如： 3 5 8 ；2 / 15 （3）在求含二次根式的代數(shù)式的值時,常用整體思想來計算 .7. 二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一致,也是先 _,再 _,最后 _,有括號的先 _內(nèi)的.溫習提示 ：（1）在運算過程中,有理數(shù)（式）中的運算律,在二次根式中仍然適用,有理數(shù)（式）中的乘法公式在二次根式中仍然適用；（2）二次根式的運算結果可能是有理式, 也可能是二次根式, 若是二

4、次根式,一定要化成最簡二次根式 .8. 二次根式的實際應用利用二次根式的運算解決實際問題, 主要從實際問題中列出算式, 然后根據(jù)運算的性質(zhì)進行計算,注意最后的結果有時需要取近似值.1 二次根式有意義的條件例 1 若式子 3x 4 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x 的取值范圍是（ ）A. x 43B. x43C. x 34D. x 34方法總結：判斷含有字母的二次根式是否有意義, 就是看根號內(nèi)的被開方數(shù)是不是非負數(shù),如果是,就有意義,否則就沒有意義,當二次根式含有分母時,分母不能為0.2 二次根式的性質(zhì)例 2 下列各式中,正確的是（ ）2 B. 3 3 2 D. 3 32 C. 3 32A. 3 32方

5、法總結： a a成立的條件是 a 0,而在化簡2a時,先要判斷 a 的正負情況 .3 二次根式的非負性例 3 已知 y 2x 5 5 2x 3,則2xy 的值為（ ）A. 15 B.15 C.152D.152方法總結：二次根式 a （ a 0）具有雙重非負性,即 a 0、 a 0.4 最簡二次根式例 4 下列二次根式中,最簡二次根式是（ ）A.15B. 0.5 C. 5 D. 50方法總結：在進行二次根式化簡時,一些同學不知道化到什么程度為止,切記,一定要化到最簡二次根式為止 .5 二次根式的運算例 5計算 24 18 13_.3 / 15方法總結 ：二次根式的加減運算, 一定要先化簡才能得知

6、算式中哪些二次根式可 以合并,除法運算先化為乘法再運算,混合運算時要正確使用運算法則 .6 二次根式的化簡求值例 6 若2013m ,則2014 15 2m 2013m4 3m 的值是_.方法總結 ：解決此類問題應注意代數(shù)式的變形和整體思想的運用 .一元二次方程1、一元二次方程： 只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程。例 1、（1）、下列方程中是一元二次方程是（ ）1A 、 2xx 2 B、2x 6 7 C、2 2 5x y D、23x 5x 2 02、一元二次方程的一般形式：2 0 ( 0)ax bx c a二次項：,一次項： ,常數(shù)項： 。二次項系數(shù)： ,一次項系數(shù)：

7、。例 2、（1）、方程 x(x+4)=8x+12 的一般形式是；二次項是一次項是,常數(shù)項是。（2）. 關于x的一元二次方程a x x 是一元二次方程, 則 a滿足（ ）2 1 2 2 0A. a 1 B. a 1 C. a 1 D. 為任意實數(shù)| | mxm（3）、若方程 (m 2) x 3 1 0是關于 x 的一元二次方程,則（）A m 2 Bm=2 Cm= 2 Dm 2（4）、下列方程中 , 常數(shù)項為零的是 ( )A.x2+x=1 B.2x 2-x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+23.一元二次方程的解法1、因式分解法移項：使方程右邊為 0因式

8、分解：將方程左邊因式分解；方法：一提,二套,三十字,四分組適用能因 式分解由 A ?B=0 ,則 A=0 或 B=0,解兩個一元一次方程2 a a2、直接開平方法 ( 0)xx1 a x2 a適用無一 次項的x b2 a a(0)x b a解兩個一元一次方程3、配方法移項：左邊只留二次項和一次項,右邊為常數(shù)項（移項要變號）同除：方程兩邊同除二次項系（每項都要除）配方：方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方開平方：注意別忘根號和正負4 / 15 方程：解兩個一元一次方程4、公式法 將方程化為一般式 寫出 a、b、c2 , 求出 b 4ac 若 b2-4ac0,則原方程無實數(shù)解 若 b2-4ac 0,則

9、原方程有兩個不相等的實數(shù)根,代入公式xb2b2a4acx=2 4b b ac2a求解 若 b2-4ac 0,則原方程有兩個相等的實數(shù)根,代入公式xb2a求解。2 x例 4、（1）、若關 X 的一元二次方程 (k 1)x 6 3 0有實數(shù)根,則實數(shù) k 的取值范圍（）A.k 4,且 k 1 B.k 4, 且 k1 C. .k4 D. k 42 bx c（2）. 已知一元二次方程已知一元二次方程 ax 0,若 a b c 0,則該方程一定有一個根為（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. 22（3）. 關于 x 的一元二次方程 x kx1=0 的根的情況是 ( )A、有兩個不相等的同號實數(shù)根 B

10、 、有兩個不相等的異號實數(shù)根C、有兩個相等的實數(shù)根 D 、沒有實數(shù)根（4）. 關于 x 的一元二次方程2 2a 1 x x a 1 0的一個根是 0,則a值為（ ）A、 1 B 、 1 C 、 1或 1 D 、12（5）. 若關于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有實根 ,則k 的取值范圍是 ( )A.k-74B.k -74且 k0 C.k -74D.k74且 k0例 5、(1)利用因式分解法解下列方程(x2)2(2x-3)2 3x(x 1) 3x 3 5 2 8 x 5 16 0x(2)、利用開平方法解下列方程1 2(2 y 1)2152=25 (3 2) 2424（x-3）

11、 x5 / 15(3)、利用配方法解下列方程2 5 2 2 0x x2 x3x 612 02 xx 2399 0(4)、利用公式法解下列方程23x 22x240 2x（x3）=x33x2+5(2x+1)=05、根與系數(shù)的關系：2 0 ( 0) ax bx c ax x1 2bax x1 2ca1 1x1 ,x2 x2 2x 1 0 x x例 5、（1）. 已知 是方程 的兩個根,則 等于_.1 22 x（2）、已知一元二次方程 2 3 1 0x 的兩根為 x1、 x2 ,則 x1 x2（3）、已知x ,1x 是方程22 6 3 0x x 的兩實數(shù)根,則x x2 1x x1 2的值為 _（4）已

12、知方程2 2( 2) 2 4 0x m x m 兩根的平方和比兩根的積大 21,求 m 的值。6、一元二次方程的應用（要注意實際問題不能取負數(shù)）（1）二次三項式的因式分解2 bx c a 若一元 二次方 程 ax 0( 0) 的 兩個實 數(shù)根為 x1 , x2 ,則二 次三項 式2 bx c a 2 bx c a x x x x ax ( 0) 在實數(shù)范圍內(nèi)可分解因式寫成： ax ( 1 )( 2 )6 / 15當 b2 4 ac 0,二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式為： 2 bx c a(x x )(x x )ax1 2當 b2 4 ac =0,二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式為： 2 bx c

13、 a(x x ) 2ax12當 b 4 ac0,二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式（2）一元二次方程的實際應用二、典型例題精講與練習1、填空題：（1）寫一個有兩個不相等的實數(shù)根的一元二次方程,這個方程可以是（2）已知方程 2x2 2mx 6 0 的一個根為 -2 ,則 m= ,它的另一個根是2 x k（3）已知關于 x 的方程 (1 2k )x 2 1 1 0有兩個不相等的實數(shù)根, 則 k 的取值范圍是2、在實數(shù)范圍內(nèi)將下列二次三項式分解因式：（1） 2x2 5x 3 (2) 3x2 5xy 2y22 x y(3) 2(2x y) 3(2 ) 52 x a3、已知關于 x 的一元二次方程 2

14、1 0x 沒有實數(shù)根,試判斷關于 x 的一元二次2 ax a 方程 1x 根的情況,并說明理由。2 k x k4、已知關于 x 的一元二次方程 2x ( 2) 2 0有兩個相等的實數(shù)根,求 k 的值及這時方程的根。7 / 152 n m2 n225、已知 m,n 為實數(shù),且 (m )( 1) 20,的值？ 3mn ,求 22(m n) 及2(m n)2 k x k6、求證：不論 k 為何值,關于 x 的方程 x (2 1) 3 0總有兩個不相等的實數(shù)根。2 x m27、一元二次方程 m 1 x 1 0 有一個解為 0,求 2m 1的值。8、一元二次方程的實際應用例 6、（1）、某廠去年 3 月

15、份的產(chǎn)值為 50 萬元,5 月份上升到 72 萬元,這兩個月平均每月增長的百分率是多少？若設平均每月增長的百分率是 x ,則列出的方程是（ ）2（A） 50 1 x 72 （B） 501 x 501 x 722（C） 50 1 x 2 72 （D）50 1 x 72（2）、原 價 a 元的某商品經(jīng)過兩次降價后, 現(xiàn)售價 b元,如果每次降價的百分比都為 x ,那么下列各式中正確的是（ ）2A a 1 2x b ； B a 1 x b；2C b 1 2x a ； D b 1 x a。（3）、某種電腦病毒傳播非常快,如果一臺電腦被感染,經(jīng)過兩輪感染后就會有 81臺電腦被感染 請你用學過的知識分析,

16、每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制, 3 輪感染后,被感染的電腦會不會超過 700 臺？8 / 15（4）. 某種商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價, 每件售價由原來的 90 元降到了 40 元,求平均每次降價率是多少？（5）. 關山超市銷售某種電視機,每臺進貨價為 2500 元,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當銷售價為 2900 元時, 平均每天能售出 8 臺電視機, 而當銷售價每降低 50 元時, 平均每天就能多售出 4 臺商場要想使這種電視機的銷售利潤每天達到 5000 元,每臺電視機的定價應為多少元?（1）一種筆記本電腦,原來的售價是 15 000 元,經(jīng)過連續(xù)兩年的降價, 今天每臺售價

17、為 12150 元,每年降價的百分率相同 .（1）求每年降價的百分率是多少？（ 2）如果吳云是在去年購買這種筆記本電腦的,那么與今年的售價相比,她多付了多少元？（6）某通訊公司每位員工都向本公司的其他員工發(fā)出了 1 條祝賀元旦的短信 .已知全公司共發(fā)出短信 870 條,求該公司員工的人數(shù) .9 / 15（7）如圖,某單位需要建一個面積為 1 200 平方米飛矩形倉庫,計劃利用一段 50 米長的舊墻,新墻只圍三邊, 已知每建造 1 米新墻需要用 500 元, 建造頂棚等其他費用為 1 萬元, 設當被利用的舊墻長度為 x米時,倉庫的總建設費用為 y 萬元.(1)求 y 關于 x的函數(shù)解析式及其定義

18、域 .(2)當建設費用為 6 萬元時,求被利用的舊墻的長度是多少米？(8)今年來由于受到國際石油市場的影響,汽油的價格不斷上漲 .請你根據(jù)下列兩位的對話,幫助小明計算一下 2006 年 5 月份汽油每升的價格 .2006 年 5 月份的汽油價格四 2005 年 5 月份汽油價格的 1.6 倍,用 150 元給汽車加的油量比2005 年少 18.75 升 .2006 年 5 元份的汽油每升價格是多少元呢？二次根式、一元二次方程的解法綜合練習一、選擇題1、下列各式一定是二次根式的是 ( )A 7 B 2x C2 y2x D3 62、下列根式中屬最簡二次根式的是 （ ）A.2 1a B.15C. 8

19、 D. 273、下列計算正確的是 ( )A. 2 3 5 B. 3 3 3 2 C. 2 2 2 3 2 D. 4 2 24、下列計算 錯 誤 的是 ( )1A. 14 7 7 2 B. 60 5 2 3 C. 9a 25a 8 a D. 2 2210 / 155、下列方程為一元二次方程的是 ( )1 32 y2A. 02 xx B. 2x 5 03 212 x x 2C. x 2 1 D. 7 024x x6、式子xx12的取值范圍是 （ ）A. x 1 且 X 2 B.x1 且 x 2 C. x 2 D. x 17、方程的2 6 5 0x x 左邊配成完全平方式后所得的方程為()A2(x

20、3) 14 B2(x 3) 14 C2 1( x 6) D以上參考參考答案都不對22 bx c8、若 (a 1)x 0是關于 x 的一元二次方程,則（ ）Aa0 B a1 C a 1 D a =19、下面是某同學在一次數(shù)學測驗中解答的填空題,其中答對的是（）2 2A若 x =4,則x=2 B . 若3x =6x,則x=2C x2 x k 0 的一個根是 1,則k=2D若分式x x 2x的值為零,則x=2或x=010、關于 x 的一元二次方程2 2 0x x 的根的情況是 （ ）A有兩個不相等的實數(shù)根 B有兩個相等的實數(shù)根C無實數(shù)根 D無法判斷2 x m11、一元二次方程 4 2 6 0x 有兩

21、個相等的實數(shù)根,則m 等于（ ）A. 2B.3 C. 4 D. 512、某廠今年一月份的產(chǎn)量為20 噸, 第一季度的總產(chǎn)量共 85 噸,設平均每月增長率是 x, 根據(jù)題意所列的方程為( )A、20 x2 =85 B 、20（1+x）=85C、20（1+x） 2 =85 D 、20 + 20 （1+x）+ 20（1+x）2 =85 D 、20 + 20 （1+x）+ 20（1+x）2 =8513、攝影興趣小組的學生,將自己拍攝的照片向本組其他成員各贈送一張,全組共互贈了 182張,若全組有 x 名學生,則根據(jù)題意列出的方程是 （ ）11 / 15A. x （x1）182； B. x （x1）18

22、2 ；C. 2x （x1）182 D.12x（x1）18214、方程 x29x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰,則這個三角形的周長為（ ）BA12 B 12 或15 C15 D 不能確定15、如圖,一只螞蟻從長、寬都是 4,高是 6 的長方體紙箱的 A點沿紙箱爬到 B點,那么它所行的最短路線的長是 ( )A9 B10 C4 2 D2 17A2 x16三角形的兩邊長分別是 3 和 6,第三邊是方程 x 6 8 0 的解,則這個三角形的周長是 （ ）A、11 B 、13 C 、11或 13 D 、11和 132 b2 a2 b217. 若 a 2 8,則2 b 2a （）A2 B. 4 C.

23、4 或2 D. 4 或 2二、填空題1、計算： 12 3=。2方程22x 1 3x化為一般形式為 ,一次項系數(shù)是 。3. 如果最簡二次根式 1 a 與 4a 2 是同類根式,那么 a。 2 的正確結果是 _ 。4. 若x 2 ,化簡 (x 2) 3 x5. 比較大?。?3 2 _2 3 （填“”或“”） 2 的解是 ；方程 x 2 x 3 0 的解是_。6. 方程 x 3x7、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式2 5x ；2 x8、 已 知 x 1是 方 程 ax 2 0 的 一 個 根 , 則 a _。9、已知方程 x 1、x2,則 x1 + x2, 24x30 的兩根分別為 x24x30 的兩根分別為

24、xx x =。 10. 若1. 212 / 152010xx、y 為實數(shù),且 x 2 y 2 0 ,則 的值為_y11.x2 3x _ (x _)212、已知關于 x 的一元二次方程（ 12k）x2 x1=0 有實數(shù)根,則 k 的取值范圍是 _13 觀察分析下列數(shù)據(jù), 尋找規(guī)律： 0 , 3, 6 ,3,2 3, 15,3 2 ,那么第 10個數(shù)據(jù)應是 .14. 把一元二次方程 3x22x3=0化成 3（x+m）2=n的形式是；若多項式 x2ax+2a3 是一個完全平方式,則 a=2 x x15. 當 x=時, x 3 與 15 既是最簡二次根式,被開方數(shù)又相同。三、解答題：1 2 x 11 0 2( ) ( )3 (2)2 （2）、 9 x xx 6 2 1、計算：（1）、3 4（3）、（2 3 3 2 ）27 32 （2 3 ）（2 3 ）（4） 13（5）（2 48+3 27） 6（6） 1 1 22 12 3 1 5 48 3 3 32、解方程（每小題 5 分,共 20 分）.（1）、22 x(x 2) 25 （2）、(2x 1) 3(2 1)13 / 15（3）、2 2 4 02x - x- = ； （4）、 3x 1 4x