利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.docx

1、高考題中的利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍一 .與二次函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)性、不等式等相聯(lián)系f ( x)a 成立，只需使函數(shù)的最小值f(xaf ( x)a求解策略： 利用“要使min恒成立即可；要使成立，( )只需使函數(shù)的最大值fxa 恒成立即可” .max這也是近兩年高考考查和應(yīng)用最多的一種.例 1 已知向量 a =( x2, x 1 )， a =( 1x , t )，若 f ( x)a ? b在區(qū)間 (-1,1) 上是增函數(shù)，求t 的取值范圍 .解析： 由向量的數(shù)量積定義，f (x) = x2(1x )+( x 1) t =x3+ x2+ tx + t f ( x) =3x2 + 2x + t .若 f (

2、 x) 在區(qū)間 (-1,1) 上是增函數(shù)，則有f (x) 0t 3x2- 2x 在 (-1,1)上恒成立 .若令 g ( x) = 3x2 - 2x=-3( x1)2-133在區(qū)間 -1,1上， g( x)= g (1) =5，故在區(qū)間 (-1,1) 上使 t g ( x) 恒成立，max只需 t g (1)即可，即 t 5.即 t 的取值范圍是 5，） .點(diǎn)評(píng)： 本題除了用導(dǎo)數(shù)反映單調(diào)性，還借助了二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，且要注意邊界值的取舍。例 2 使不等式 x4- 2x2 2a 對(duì)任意的實(shí)數(shù) x 都成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .解析： 注意到不等式的次數(shù)較高，應(yīng)想到構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo).令 f

3、 ( x) = x4- 2x2，則如果原不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x 都成立等價(jià)于 f ( x) 2 a .min又 f ( x) = 4x3- 4x=4x2( x1)，令 f ( x) =0，解得， x =0 或 x =1.f ( x) 的符號(hào)及 f ( x) 的單調(diào)性如下：x(- ,0)0(0,1)1(1,+ )f ( x)-0-0+f ( x)無(wú)極極小值值因?yàn)?f ( x) 在 R 上的極值只有一個(gè)，故此極小值即為最小值，即f ( x)= f (1) = -1，min f (x)= -1 2 a ，即 a 3.min點(diǎn)評(píng)： 本題是利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍的。例 3 若函數(shù) f (

4、 x) = log(x3ax) ( a 0, a 1)在區(qū)間 (- 1 ,0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a 的取值范圍是（）a2A 1 ,1)B 3 .1)C( 9 ,+)D(1,9 )4444解析： f ( x) 是復(fù)合函數(shù)，須按0 a 1 兩種情況考慮 .3ax ， f ( x) 在(- 1,0)上為增函數(shù)，令 g ( x) = x2 若 0 a 1，則 g ( x) 在 (-1 ,0)上為減函數(shù)，即2a 3 x2在 (- 1 ,0)上恒成立 , a 3 (1)2= 3 ,此時(shí)， 3 a 1；2244 若 a 1，則 g( x) 在 (-1 ,0)上為增函數(shù)，須使2a 0 在 (-1 ,0)上恒成立，

5、g ( x) = 3x22即 a 3 x2在 (- 1 ,0)上恒成立 , 即 a 0，不合題意 .綜上， a 3 .1).24點(diǎn)評(píng)： 解決與復(fù)合函數(shù)有關(guān)問(wèn)題，要注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，否則就會(huì)南轅北轍.例 4（ 04 遼寧）已知函數(shù)f ( x)ln( exa)(a0) .（ 1）求函數(shù)yf (x)的反函數(shù)yf1 ( )及 f()xx的導(dǎo)數(shù) f (x);（ 2）假設(shè)對(duì)任意 xln( 3a), ln( 4a) ,不等式 | mf1 ( x) |ln( f ( x)0成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍 .解析： (1)解略 .f1( x) = ln(exa) ， f( x) =ex；得 ln(f ( x)

6、= x ln(exa) ；exa(2) 解此絕對(duì)值不等式得1( x) m f1( x) - ln( f( x)f( x) + ln( f把（ 1）代入上式，得ln( exxa) + x m ln(exxa) - xa) - ln( ea) + ln( e若把此不等式左右兩邊設(shè)為兩個(gè)新函數(shù)，即xa)xa) +xxa) - x令 ( x) = ln( e- ln( ex ， g( x) = ln( ea) + ln( e則原不等式對(duì)于任意xln( 3a), ln( 4a) 恒成立，意即( x) m g ( x) 成立，只需滿(mǎn)足( x) m g( x)即可 .maxminxexxexxxxxx( x

7、) = e1， g (x) =e1，注意到 0 ea e ea ，即 e10 ,g ( x) 0 , 故( x) 、 g (x) 均為增函數(shù)，在 ln( 3a), ln( 4a) 上，( x)12a= g(ln( 3a) = ln(8a= (ln( 4a) = ln(5) ， g ( x) ，maxmin3(ln( 4a) m g(ln( 3a)，即 ln(12a8a故原不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)) m 0 恒成立 ,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 .分析 :(1) f ( x)x35x 23x9(2). f ( x)3x 210x3(3x1)( x3)由f得x11當(dāng)1時(shí)( x)0, f ( x)單調(diào)遞增，

8、所以f (x)f ( 0) 9(x)0, x23 x(0,)f133基礎(chǔ)訓(xùn)練：當(dāng)時(shí)f( x)單調(diào)遞減,所以f ( x) f (3) 0x ( ,3)0, f (x)3所以當(dāng)時(shí)在內(nèi)不恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m ( 0,3時(shí)f ( x)在內(nèi)恒成立m 3 f ( x)0(0, m)0(0, m)所以 的取值范圍為(0,3m4.若不等式 x44x32a對(duì)任意實(shí)數(shù) x都成立 ，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 _ _.六知函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，求參數(shù)的取值范圍例 5.已知函數(shù) f ( x)ax 3bx23x在 x1, x1處取得極值(1) 求函數(shù) f ( x) 的解析式 .(2) 若過(guò)點(diǎn) A(1, m)(m2) 可作曲線(xiàn)

9、y= f ( x) 的三條切線(xiàn) ,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 .略解 (1)求得 f ( x)x 33x(2)設(shè)切點(diǎn)為 M (x0 , x033x0 ),因?yàn)?f (x) 3x 23所以切線(xiàn)方程為 ym(3x023)( x1), 又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn) M所以 x033x0m ( 3x023)( x01)即2x033x02m 30因?yàn)檫^(guò)點(diǎn) A可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn),所以關(guān)于 x0的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根設(shè)33x2則 ( x0 ) 6x26x0g( x0 ) 2x00m 3 g0由得或1g(x0 ) 0 x00 x0所以g(x0 )在( ,0), (1,)上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減,故函數(shù)的極值點(diǎn)為x00, x0 1,

10、(0,1)g (x0 )所以關(guān)于 x0的方程有三個(gè)不同實(shí)根的充要 條件是g( 0)0m2g(1)解得 30所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是( 3,2)m總結(jié) :從函數(shù)的極值符號(hào)及單調(diào)性來(lái)保證函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) .基礎(chǔ)訓(xùn)練：5.設(shè) a為實(shí)數(shù) ,函數(shù) f (x)x3x2x a(1)求 f ( x)的極值(2)當(dāng) a在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線(xiàn) yf (x)與 x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)七 . 開(kāi)放型的問(wèn)題，求參數(shù)的取值范圍。例已知 f ( x)x 2c, 且 f f ( x) f ( x21) 。（ 1）設(shè) g ( x) f f ( x) ，求 g( x) 的解析式。（ 2）設(shè)( x)g (x)f ( x) ，試問(wèn)：是否存在R ，使( x) 在（, 1）上是單調(diào)遞減函數(shù)，且在（ 1,0 ）上是單調(diào)遞增函數(shù)；若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。分析：（1）易求 c=1, g( x)x42 x22（2） ( x)g ( x)f (x) x 4(2 ) x 2(2) ， ( x)2x 2x2(2 )由題意(x) 在（,1 ）上是單調(diào)遞減函數(shù)，且在（1,0 ）上是單調(diào)遞增函數(shù)知，( 1) 0是極小值，由( 1)0得4當(dāng)4 ， x(1,0)