3.2.1函數(shù)的單調(diào)性【解析版】

1、3.2.1函數(shù)的單調(diào)性1如圖是函數(shù)yf(x)的圖象,則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的個(gè)數(shù)是()A1B2C3 D4解析：選B.由圖象,可知函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間有2個(gè)故選B.2下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()Ay3xByx21Cy Dy|x1|解析：選B.y3x,y,y|x1|在(0,2)上都是減函數(shù),只有yx21在(0,2)上是增函數(shù)3若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),則下列關(guān)系式一定成立的是()Af(a)f(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a2,所以f(a21)f(a2)故選D.4下列說法中正確的有()若x1,x2I,當(dāng)x1x2時(shí),f(x1)f(x2

2、),則yf(x)在I上是增函數(shù)；函數(shù)yx2在R上是增函數(shù)；函數(shù)y在定義域上是增函數(shù)；函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)(0,)A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)解析：函數(shù)單調(diào)性的定義中的x1,x2是任意的,強(qiáng)調(diào)的是任意,不對；yx2,當(dāng)x0時(shí)是增函數(shù),當(dāng)x0時(shí)是減函數(shù),從而yx2在其整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性；y在整個(gè)定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)如3f(5)；y的單調(diào)遞減區(qū)間不是(,0)(0,),而是(,0)和(0,),注意寫法5函數(shù)yx26x的減區(qū)間是()A(,2B2,)C3,) D(,3解析：選D.yx26x(x3)29,故減區(qū)間為(,36設(shè)(a,b),(c,d)都是f(x)的單調(diào)增區(qū)間,且x1(a,b)

3、,x2(c,d),x1x2,則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系為()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能確定解析：選D.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知,所取兩個(gè)自變量必須是同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的值時(shí),才能由該區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小,而本題中的x1,x2不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),故f(x1)與f(x2)的大小不能確定7. 已知函數(shù)yax和y在(0,)上都是減函數(shù),則函數(shù)f(x)bxa在R上是()A減函數(shù)且f(0)0 B增函數(shù)且f(0)0 D增函數(shù)且f(0)0解析：選A.因?yàn)閥ax和y在(0,)上都是減函數(shù),所以a0,b0,f(x)bxa為減函數(shù)且f(0)a0時(shí),f(x)圖象的開口向上,

4、不符合題意；當(dāng)af(0) Bf(x2)f(0)Cf(3a1)f(2a)故選D11. 若f(x)在R上是單調(diào)遞減的,且f(x2)3,解得x5.參考答案：(5,)12已知函數(shù)f(x)是(,)上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .解析：選A.當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)x2ax1是減函數(shù),解得a0,當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)x3a是減函數(shù),分段點(diǎn)0處的值應(yīng)滿足13a,解得a,所以0a.13如果二次函數(shù)f(x)x2(a1)x5在區(qū)間上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)x2(a1)x5的圖象的對稱軸為直線x,又函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù),所以,解得a2.參考答案：(,214已知函數(shù)f(x)

5、在R上是減函數(shù),A(0,2),B(3,2)是其圖象上的兩點(diǎn),那么不等式2f(x)2的解集為_解析：因?yàn)锳(0,2),B(3,2)在函數(shù)yf(x)的圖象上,所以f(0)2,f(3)2,故2f(x)2可化為f(0)f(x)f(3),又f(x)在R上是減函數(shù),因此3x0. 參考答案：(3,0)15. 已知函數(shù)f(x)2x2mx1在區(qū)間1,4上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .解析：二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸是直線x.因?yàn)槎魏瘮?shù)在對稱軸的兩側(cè)的單調(diào)性相反,即(1,4),所以1或4,即m4或m16.16.作出函數(shù)f(x)的圖象,并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：f(x)的圖象如圖所示,由圖象可知,函數(shù)的單

6、調(diào)遞減區(qū)間為(,1和(1,2；單調(diào)遞增區(qū)間為(2,)17. 證明函數(shù)f(x)x在(2,)上是增函數(shù)證明:x1,x2(2,),且x1x2,則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因?yàn)?x1x2,所以x1x20,x1x24,x1x240,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函數(shù)f(x)x在(2,)上是增函數(shù)18已知函數(shù)f(x).(1)求f(x)的定義域；(2)證明函數(shù)f(x)在1,)上是增函數(shù)解：(1)由題意知x10,即x1.所以f(x)的定義域?yàn)?,1)(1,)(2)證明：x1,x21,),且x1x2,則f(x2)f(x1).因?yàn)閤10.又因?yàn)閤1,x21,),所以x210,x110.所以f(x2)f(x1)0,所以f(x2)f(x1)所以函數(shù)f(x)在1,)上是增函數(shù)19.已知定義在區(qū)間(0,)上的函數(shù)f(x)滿足ff(x1)f(x2),且當(dāng)x1時(shí),f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)1,解不等式f(|x|)0,代入得f(1)f(x1)f(x1)0.故f(1)0.(2)任取x1,x2(0,),且x1x2,則1,由于當(dāng)x1時(shí),f(x)0.所以f0,即f(x1)f(x2)0.因此f(x1)f(x2)故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上是單調(diào)遞