矩陣對角化方法

1、矩陣對角化方法姓名：唐巧文 學(xué)號：200725020431 指導(dǎo)老師：劉俊同摘要：本文給出了一種不同于傳統(tǒng)方法的矩陣對角化方法，利用矩陣的初等變換，先求出矩陣的特征根與特征向量，接著再判斷矩陣是否可對角化。關(guān)鍵詞：矩陣 特征根 特征向量 對角化the methods of the diagonalization of the matrixname: tang qiaowen student number: 200725020431advisor: liu juntongabstract: in this paper, the method of the diagonalization of t

2、he matrix is given, which is different from the traditional methods. according to using the elementary transformation of the matrix, first of all, the author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.key words: matrix; characteristi

3、c roots; characteristic vectors; diagonalization1、引言對角化后的矩陣在計算和應(yīng)用等方面比一般矩陣更具優(yōu)越性，而矩陣對角化方法有很多，如對于對稱矩陣可以將其看成二次型所對應(yīng)的矩陣，通過配方法將其化為標準形從而實現(xiàn)矩陣的對角化，再如通過求解特征根和特征向量方法，首先求解得特征根，然后對每一個，解方程組得特征向量，即尋找一個可逆矩陣，使得,其中為對角陣，于是可得，從而, 在這個對角化過程中，中的元素即為矩陣的特征根，中每個列向量即為矩陣的屬于每個特征根的特征向量。本文主要介紹一種異于傳統(tǒng)方法的矩陣對角化方法，即將矩陣的特征矩陣經(jīng)過一系列初等變換將其化

4、為上三角形矩陣或?qū)切尉仃噺亩玫骄仃嚨奶卣鞲c特征向量，同時判斷矩陣是否可對角化。2、討論對于有個特征單根的階方陣 基本原理引理：設(shè)是秩為的階矩陣，且 其中是秩為的行滿秩矩陣，則齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系即為矩陣所含的個行向量。證明：對矩陣左乘一個階可逆矩陣得 將代入得， 即有兩邊同時取轉(zhuǎn)置得，則的行向量是方程組的解，證畢。引理：矩陣的特征矩陣經(jīng)過一系列行初等變換可化為上三角形的矩陣,且的主對角線上元素乘積的多項式的解為矩陣的全部特征根。證明： 顯然先看的第一列，假設(shè)不全為零，任取其中一個，記為，經(jīng)過行初等變換，可化為： 若,則本身即具有這種形式再看的第一列，假設(shè)不全為零（若全為零，則）,

5、選擇的冪最低的元素，記作,對施行行變換，使該列全部元素的冪都少于,選擇冪最小的元素，記作,如此施行一系列行變換，一直循環(huán)下去，最終可化為 接著再對施行上述變換，最后可將化成由此可知：和等價，可知結(jié)論成立，證畢。引理：對于數(shù)域上的階方陣，若的特征多項式在內(nèi)有個單根，則由特征向量構(gòu)成的階可逆矩陣，使得定理：若數(shù)域上的階方陣的特征多項式在內(nèi)有個單根，則可通過如下方法對角化：設(shè)為上三角形矩陣，則有方陣的特征根即為中主對角線上各個元素乘積的解；對于方陣的每一個特征根，總有中零行向量所對應(yīng)的中的行向量與之對應(yīng)。證明：由上述引理可知此定理結(jié)論成立。舉例說明例：設(shè)，問方陣是否可以化為對角形，若可以，求出其對角

6、化后的方陣。解： =由題意知=0, ,此時方陣有個特征單根，故方陣可以化為對角形;將代入中知的第三行為零，由定理知的第三行向量即為屬于的特征向量，同理可知分別為屬于的特征向量。于是可得使得3、討論對于有特征重根的階方陣對于有特征重根的方陣，可以通過上述方法將其化為上三角形矩陣，接著再對上三角形矩陣施行一系列初等變換將其化為對角形矩陣，這樣就避免了上三角形矩陣中非零行向量可能不構(gòu)成行滿秩的情形?；径ɡ?定理：設(shè),則且為對角形矩陣，則有對于的每個特征根，中與的零行對應(yīng)的行向量即為屬于的特征向量；設(shè)為的所有不同的特征根，重數(shù)分別為,則可以化成對角形中的零行數(shù)目等于的重數(shù)。證明：因為和的秩為,總有可

7、逆的矩陣使得，其中為對角形矩陣。我們有 因為 所以 于是有，設(shè)中有個零行，對應(yīng)著個對角元素，,選取中的列向量，則有因為可逆 ，所以 又因為可逆 ，所以由知是屬于的個線性無關(guān)的特征向量,由知，中個非零行是行滿秩的, 故屬于的線性無關(guān)的特征向量即為中零行所對應(yīng)的中的行向量?？蓪腔?又由證明知：故可對角化，即,，證畢。由此我們不難得到對于有特征重根的方陣化為對角形方陣的簡單步驟如下：作其中,則的特征根恰為的根；若的特征根全在內(nèi)，且每個有中零行數(shù)目等于的重數(shù)，則可以化為對角形方陣，否則不可以化為對角形方陣；對于每個特征根，在中取出與中零行對應(yīng)的行向量得屬于的特征向量且都是線性無關(guān)的。 舉例說明例：

8、問方陣和是否可以化為對角形，若可以，試求出其對角化后的方陣。解： 由題意知，因為中零行數(shù)目的重數(shù)，故不可以化為對角形方陣。 由題意知，此時中零行數(shù)等于的重數(shù)，故可以化為對角形方陣; 將代人中知的第一行和第三行為零，由定理知的第一行向量和第三行向量即為屬于的特征向量，同理可知為屬于的特征向量。由此可知使得4. 結(jié)語上述方法與傳統(tǒng)方法相比顯然更具優(yōu)越性，傳統(tǒng)的求矩陣的特征根與特征向量，判斷是否可對角化以及當可對角化時，求出相應(yīng)的可逆矩陣，使為對角形矩陣，對于求得的每個特征根都要逐一求出它的特征向量，矩陣的階數(shù)越高求起來就越困難。而上述方法只須通過對矩陣的特征矩陣進行適當?shù)某醯茸儞Q就可同時求出矩陣的

9、特征根與特征向量。參考文獻：1高吉全.矩陣特征根與特征向量的同步求解方法探討【j】.數(shù)學(xué)通報，1991，12:34-372李廷民.關(guān)于矩陣的特征值與特征向量同步求解問題【j】.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20（4）：92-953趙立新，曾文才.利用矩陣的初等變換求方陣的特征值【j】.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20（3）：61-644向大晶.矩陣對角化方法的再探討【j】.數(shù)學(xué)通報，2000，（10）：37-385彭明海.對“矩陣的特征根與特征向量的同步求解方法探討”的改進意見【j】.數(shù)學(xué)通報，1993，（2）：45-466陳漢藻.矩陣可對角化的一個充要條件【j】.數(shù)學(xué)通報，1990，（2）：30-317劉國琪，王保智.利用矩陣的初等行變換對矩陣的特征值與特征向量同步求解【j】.數(shù)學(xué)通報，1996，（2）：40-428張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)【m】.（第三版）.北京：高等教育出版社，1983：287-2899耿翊翔.矩陣對角化方法探討【j】.數(shù)學(xué)通報，2000，19（3）：29-3110王新民，孫霞，張景曉.矩陣的特征根與特征向量及其相似對角形的統(tǒng)一求法【j】.數(shù)學(xué)