揚州市2014—2015學年度高三第四次調(diào)研測試數(shù)學試題及答案(WORD)

1、數(shù)學參考答案第 1 頁（共 13 頁）揚州市 20142015 學年度第四次調(diào)研測試試題高高 三三 數(shù)數(shù) 學學 參參 考考 答答 案案第一部分1已知集合，則 2，41,2,4,2,3,4,5ABAB 2設復數(shù)滿足，則_z132i zi z1 3i3命題“2,10 xR x ”的否定是 2,10 xR x 4已知為第三象限角，且，則 tan2sin2455從 3 名男同學，2 名女同學中任選 2 人參加體能測試，則選到的 2 名同學中至少有一名男同學的概率是 9106已知向量(1,3)a，( 2,1) b，(3,2)c.若向量c與向量k ab共線，則實數(shù)k 17銳角中角的對邊分別是，, 的面積為

2、, 則 ABC, ,A B C, ,a b c4,5abABC5 3c=218用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個圓錐的側(cè)面，則此圓錐的體積是 69 39已知等比數(shù)列的前項和為，若，則等于 1 nannS2244aSaS12015SS10若函數(shù)的圖象過點，則該函數(shù)圖象在點處的切線傾斜角等于 ( )cosf xkx(,1)3PP23析：函數(shù)的圖象經(jīng)過點，( )cosf xkx(,1)3P()cos1233fkk，xxfcos2)( )2sinfxx ()2sin333kf 11若直線截半圓所得的弦長為，則 30 xym225yx8m 3 1012平面內(nèi)四點滿足，則面積的最大值為 , , ,O A B C

3、4,2 5,5,0OAOBOCOB OC ABC1513已知橢圓 E：的右焦點為 F，離心率為，過原點 O 且傾斜角為的直線 與22221(0)xyabab323l橢圓 E 相交于 A、B 兩點，若AFB 的周長為，則橢圓方程為 8 134132214xy析：由已知，橢圓方程可化為：，將代入得，2ab2224xya:3l yx13|13Axa數(shù)學參考答案第 2 頁（共 13 頁）MDCBA由橢圓對稱性，AFB 的周長=，可得2| 24|AaABax2a 14已知函數(shù)， 若，|( )()xxf xxRe12( )421()xxg xaaaaR |(g( )RAx fxe則的取值范圍是 a 1,0

4、析：當時，得在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，當時有極大值；0 x 1( )xxfxe( )f x0,11,1x 1e當時，恒成立，是減函數(shù)，且0 x 1( )0 xxfxe( )f x( 1)fe設，由得，即對恒成立，( )g xt( )f te1t ( )1g x xR22( )(2)21xg xaaa 當時，而，不合題意；0a 2( )21g xaa2211aa 當時，得0a 2( )(,1)g xaa 211aa 10a 15如圖，三棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，是的中心ABCDABCMABC 若，求證；DMBCADBC 若上存在點，使平面，求的值ADN/ /MNBCDANND證連并延長交于，連

5、AMBCEDE 因為是等邊的中心，所以是的中點， 2 分MABCEBCAEBC 又因為，平面，DMBCAEDMM,AE DM ADE 所以平面， 5 分BC ADE 因為平面，所以； 7 分AD ADEADBC 平面，所以平面，,MAE AEADEM ADE 因為上存在點，所以平面，ADNN ADE 所以平面， 9 分MN ADE 又平面，平面平面，/ /MNBCDADE BCDDE 所以， 12 分/ /MNDE 在中，因為，所以 14 分ADE12AMME12ANND數(shù)學參考答案第 3 頁（共 13 頁）16的內(nèi)角滿足(單位向量互相垂直)，且ABC,A B2cossin22ABABaij,

6、 i j 6|2a 求的值；tantanAB 若，邊長，求邊長2sin13A 2a c解因為，2223|2cossin222ABABa即， 3 分1 cos()31 cos()22ABAB所以，coscossinsincoscossinsin02ABABABAB化簡整理，得，故=. 7 分13tantan022ABtantanAB13(2)由(1)可知為銳角因為，所以，,A B2sin13A 2tan3A 1tan2B ， 12 分tantan7tantan()1tantan4ABCABAB 7sin65C 因為正弦定理，所以，所以邊長 14 分sinsinacAC2271365c7 55c

7、17一件要在展覽館展出的文物近似于圓柱形，底面直徑為 0.8 米，高 1.2 米，體積約為 0.6 立方米為保護文物需要設計各面是玻璃平面的正四棱柱形無底保護罩，保護罩底面邊長不少于 1.2 米，高是底面邊長的 2倍保護罩內(nèi)充滿保護文物的無色氣體，氣體每立方米 500 元為防止文物發(fā)生意外，展覽館向保險公司進行了投保，保險費用與保護罩的占地面積成反比例，當占地面積為 1 平方米時，保險費用為 48000 元 若保護罩的底面邊長為米，求氣體費用與保險費用的和；2.5 為使氣體費用與保險費用的和最低，保護罩應如何設計？解； 4 分2248000500(2.550.6)230052.5 保護罩的底面

8、邊長為米，底面積為平方米，體積為立方米，總費用為元，則xSVy =， （）9 分48000500(0.6)yVS2248000500(20.6)x xx32480001000300 xx1.2x ，令得，5233960003230003000 xyxxx0y 2x 數(shù)學參考答案第 4 頁（共 13 頁）當時，遞減；當時，遞增當時，有極小值即最小值1.22x0y y2x 0y y2x y答：為了使這兩項總費用最低，保護罩的底面邊長應設計為 2 米 14 分18已知橢圓的左頂點為，右焦點為，右準線為 ， 與軸相交于點，22221(0)xyababAFllxT且是的中點FAT求橢圓的離心率；過點的直

9、線與橢圓相交于兩點，都在T,M N,M N軸上方，并且在之間，且xM,N T2NFMF記的面積分別為，求；,NFMNFA12,S S12SS若原點到直線的距離為，求橢圓方程OTMN20 4141解因為是的中點，所以，即，F(xiàn)AT22aacc (2 )()0ac ac又、，所以，所以； 4 分a0c 2ac12cea解法一：過作直線 的垂線，垂足分別為，依題意，,M Nl11,MN11NFMFeNNMM又，故，故是的中點，2NFMF112NNMMMNT12MNFTNFSS 又是中點，； 8 分FATANFTNFSS1212SS解法二：，橢圓方程為，2ac3bc2222143xycc( ,0)F c

10、(4 ,0)Tc設，點在橢圓上，即有，11( ,)M x y22(,)N xyM2222143xycc22211334ycx2222211113()()34MFxcyxccx數(shù)學參考答案第 5 頁（共 13 頁）22111111124|2 | 2422xcxcxccx同理，2122NFcx又，故得是的中點，2NFMF1224xxcM,N T12MNFTNFSS 又是中點，； 8 分FATANFTNFSS1212SS解法一：設，則橢圓方程為，( ,0)F c2222143xycc 由知是的中點，不妨設，則，M,N T00(,)M xy00(24 ,2)Nxcy 又都在橢圓上，即有即,M N220

11、022220022143(24 )4143xyccxcycc220022220022143(2 )1434xyccxcycc兩式相減得：，解得， 10 分220022(2 )3444xxccc074xc可得，故直線的斜率為， 13 分03 58ycMN3 5587644ckcc 直線的方程為，即MN5(4 )6yxc 564 50 xyc 原點到直線的距離為，OTMN4 54 553641cdc依題意，解得，4 520 414141c 5c 故橢圓方程為 16 分2212015xy數(shù)學參考答案第 6 頁（共 13 頁）解法二：設，則橢圓方程為，( ,0)F c2222143xycc 由知是的中

12、點，故，M,N T1224xxc直線的斜率顯然存在，不妨設為，故其方程為，與橢圓聯(lián)立，并消去得：MNk(4 )yk xcy，整理得：， （*）22222(4 )143xkxccc222222(43)3264120kxck xk cc設，依題意：11( ,)M x y22(,)N xy21222221223243641243ckxxkk ccx xk由解得： 212212324324ckxxkxxc2122221644316443ckcxkckcxk所以，解之得：，即222222221641646412434343ckcckck cckkk2536k 56k 直線的方程為，即MN5(4 )6yx

13、c 564 50 xyc原點到直線的距離為，OTMN4 54 553641ccd 依題意，解得，4 520 414141c5c 故橢圓方程為 16 分2212015xy數(shù)學參考答案第 7 頁（共 13 頁）19設個正數(shù)依次圍成一個圓圈其中mmaaa,.,21*4,mmN1231,.,kka a aaa*(,)km kN 是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列d111,.,mmkka aaaa2 若，求數(shù)列的所有項的和；12ad8k maaa,.,21mS 若，求的最大值；12ad2015m m 是否存在正整數(shù)，滿足？若存在，求出值；k1211213()kkkkmmaaaaaaaak若不存在，

14、請說明理由解依題意，故數(shù)列即為共 10 個數(shù)，16ka maaa,.,212，4，6，8，10，12，14，16，8，4此時， 4 分10m 84mS 由數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列知，1231,.,kka a aaa222kak而是首項為、公比為的等比數(shù)列知，111,.,mmkka aaaa2222mkka 故有，即必是的整數(shù)次冪，222mkk 12mkk k2由知，要使最大，必須最大， 122kmkmk又，故的最大值，從而，的最大值是 9 分2015kmk1021010241222mm1033由數(shù)列是公差為的等差數(shù)列知，1231,.,kka a aaad1(1)kaakd而是公比為的等比

15、數(shù)列，111,.,mmkka aaaa2112mkkaa 故，1(1)akd112mka 11(1)(21)mkkda 又，121113()kkkkmmaaaaaaaa12maa則，即，1111 2(1)3 221 2m kkak kda 11111(21)3 2(21)2mkm kkak aa 則，即， 11126(21)22mkm kkk 1126 212mkmkkk 顯然，則6k 112182166mkkkk 所以，將一一代入驗證知，6k 12 3 4 5k ，當時，上式右端為，等式成立，此時，4k 86m 數(shù)學參考答案第 8 頁（共 13 頁）綜上可得：當且僅當時，存在滿足等式 16

16、分6m 4k 20設函數(shù)，(其中，是自然對數(shù)的底數(shù)） 1( )1f xx ( )1xg xaxaRe若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍；( )( )( )F xf xg xa若函數(shù)的圖象有公共點，且在點有相同的切線，求實數(shù)的值；( ), ( )f x g xPPa若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍()( )xf eg xx0,)a解由得，顯然，都不是此方程的根，( )( )( )0F xf xg x2(1)(1)10axax 0 x 1xa 當時，沒有實根，則，由得：，1a 1a 2(1)4(1)0aa31a 故當時，函數(shù)沒有零點； 3 分( 3,1a ( )( )( )F xf xg x，設它們的公

17、共點為，21( )fxx21( )(1)g xax(,)PPP xy則有即也就是()()()()PPPPPPyf xyg xfxg x()()()()PPPPf xg xfxg x2211111()(1)PPPPPxxaxxax當時，無解；當時，；81PPaxx 111Px1PPaxx 111Px 12Px 3a 分由題得在上恒成立，因為，故，111xxeax0,)0 x 10,1)xe所以在上恒成立，故在上恒成立，110 xe0,)01xax0,)所以，. 10 分0a 解法一：不等式恒成立等價于在上恒成立，11xxeax(1)(1)0 xaxex0,)令，則，1( )(1)(1)1xxax

18、h xaxexaxxe 1( )1xaxah xae再設，則，同時，( )( )m xh x21( )xaxam xe(0)21ma(0)0h(0)0h當時，則在上單調(diào)遞減， 0a 1( )0,xm xe ( )( )m xh x0,)( )(0)=0h xh，在上單減， 即在上恒成立，( )h x0,)( )(0)=0h xh，()( )xf eg x0,)數(shù)學參考答案第 9 頁（共 13 頁）當時，因為，所以，102a21()( )xaa xam xe210aa( )0m x 則在上單調(diào)遞減， 在上單減，( )( )m xh x0,)( )(0)=0h xh，( )h x0,)即在上恒成立

19、，( )(0)=0h xh，()( )xf eg x0,)當時，12a 21()( )xaa xam xe210aa若，則，即在上單調(diào)遞增，所以210axa( )0m x ( )( )m xh x21(0,)aa( )(0)0h xh即在上也單調(diào)遞增，即，不滿足條件.( )h x21(0,)aa( )(0)=0h xh()( )xf eg x綜上，在上恒成立時，實數(shù)的取值范圍是. 16()( )xf eg x0,)a10,2分解法二：不等式恒成立等價于在上恒成立，11xxeax(1)(1)0 xxaxee x0,)設，則，( )(1)(1)=(1)(1)xxxh xaxee x eaxxax(

20、 )()xh xeaxxaa再設，則( )( )()xm xh xeaxxaa( )(1)(21)xm xeaxa同時，(0)21ma(0)(0)0mh(0)0h當時，故函數(shù)是上的增函數(shù)所以，1a (0)210ma ( )h x(0,)( )(0)0h xh所以函數(shù)是上的增函數(shù)，所以當時，( )h x(0,)(0,)x( )(0)0h xh即，與在上恒成立不符，()( )xf eg x()( )xf eg x0,)當時，故函數(shù)是上的減函數(shù)102a2101aa21( )(1)()01xam xaexa( )h x(0,)所以，函數(shù)是上的減函數(shù)，所以當時，( )(0)0h xh( )h x(0,)

21、(0,)x，( )(0)0h xh即在上恒成立，( )( )f xg x0,)數(shù)學參考答案第 10 頁（共 13 頁）當時，當時，112a2101aa21( )(1)()1xam xaexa21(0,)1axa( )0m x 故函數(shù)是上的增函數(shù)所以在上，( )h x21(0,)1aa21(0,)1axa( )(0)0h xh所以函數(shù)是上的增函數(shù)，所以當時，( )h x21(0,)1aa21(0,)1axa( )(0)0h xh即，與在上恒成立不符，()( )xf eg x()( )xf eg x0,)綜上可得，使在上恒成立實數(shù)的取值范圍是()( )xf eg x0,)a10,2第二部分21B已

22、知矩陣，計算2 13,1 25M 2M解法一：矩陣的特征多項式為，令，M221( )4312f ( )0f解得，對應的一個特征向量分別為， 5 分1,31211,11 令，得，12mn1,4mn 22221212(4)()4()MMMM 10 分2211351 14 31137 解法二：因為， 5 分22 12 11 21 2M所以 10 分2335537M 21C已知圓的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立C4sinx平面直角坐標系，直線 的參數(shù)方程是是參數(shù)） 若直線 與圓相切，求正數(shù)的值l32(12xttytmlCm解：由，得，所以，4sin24 sin224

23、0 xyy即圓方程為 4 分C22(2)4xy數(shù)學參考答案第 11 頁（共 13 頁）又由，消 得， 8 分3212xtytmt330 xym因為直線 與圓相切，所以得，lC| 2 33|22m4 323m 又，所以 10 分0m 4 323m 22如圖，平行四邊形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直，ABCDABEF且，11,/2ABBEAFBEAF為,2,3ABAFCBABCP中點DF求異面直線與所成的角；DAPE求平面與平面所成的二面角（銳角）的余弦值DEFABCD解：在中，ABC1,23ABCBABC所以2222cos3ACBABCBA BCCBA所以，所以222ACBABCABAC又因為平面平面，平面平面，ABCD ABEFABCDABEFAB平面，所以平面AC ABCDAC ABEF如圖，建立空間直角坐標系，則,AB AF AC 13(0,0,0), (1,0,0),(0,0, 3),( 1,0, 3),(1,1,0),(0,2,0), (,1,)22ABCDEFP33(1,0,3),( ,0,)22DAPE 設異面直線與所成的角為，則DAPE33cos| |2|23DA PEDAPE 所以異面直線與