高數論文淺談微積分

1、大學高數論文 淺談微積分摘要：經過一學期的高數學習歷程，有歡喜，有悲傷，但我已深深愛上了高數，在此我談談微積分。關鍵詞：大一高數 微積分的建立 感想引言：微積分學在科學、經濟學和工程學領域被廣泛的應用，來解決那些僅依靠代數學不能有效解決的問題。微積分學在代數學、三角學和解析幾何學的基礎上建立起來，并包括微分學、積分學兩大分支。微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學的原因。我們

2、可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中，微分學一般會先被引入。在更深的數學領域中，微積分學通常被稱為分析學，并被定義為研究函數的科學。一、微積分的基本介紹微積分學基本定理指出，求不定積分與求導函數互為逆運算，把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導數值與自變量增量的乘積，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中，微分學一般會先被引入。微積分學是微分學和積分學的總稱。它是一種數學思想，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分。十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數學家都參加過準備的工作，分別獨立地建立了微積分學。

3、他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，但是理論基礎是不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經擁有的代數公式進行演算，所以，直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實數理論，這門學科才得以嚴密化。學習微積分學，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因為，代數是人們已經熟悉的概念，但是，代數無法處理“無限”的概念。所以，必須要利用代數處理代表無限的量，這時就精心構造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數除以0的麻煩，相反引入了一個過程任意小量。就是說，除的數不是零，所以有意義，同時，這個小量可以取任意小，只要滿足在德爾塔區(qū)間

4、，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數你可以認為這是投機取巧，但是，他的實用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。這個概念是成功的。微積分是與實際應用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學等多個分支中，有越來越廣泛的應用。特別是計算機的發(fā)明更有助于這些應用的不斷發(fā)展。 客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數學中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數學來加以描述了。 由于函數概念的產生和運用的加深，也由于科學技術發(fā)展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之后產生了，這就是微積分學。微積

5、分學這門學科在數學發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數學中的最大的一個創(chuàng)造。二、微積分學的建立從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經產生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型

6、的極限概念。到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。十七世

7、紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了流數法和無窮級數，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產生的，否定了以前自己

8、認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算。就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設

9、的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數學的發(fā)展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。前面已經提到，一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。不幸的是，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在

10、牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發(fā)展整整落后了一百年。其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關于發(fā)明優(yōu)先權的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方

11、面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布貝努利和他的兄弟約翰貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變量數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技

12、術園地里，建立了數不清的豐功偉績。三、微積分的誕生及其重要意義微積分的誕生是繼Euclid幾何建立之后，數學發(fā)展的又一個里程碑式的事件。微積分誕生之前，人類基本上還處在農耕文明時期。解析幾何的誕生是新時代到來的序曲，但還不是新時代的開端。它對舊數學作了總結，使代數與幾何融為一體，并引發(fā)出變量的概念。變量，這是一個全新的概念，它為研究運動提供了基礎推導出大量的宇宙定律必須等待這樣的時代的到來，準備好這方面的思想，產生像牛頓、萊布尼茨、拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)未來，為科學活動提供方法，指出方向的領袖，但也必須等待創(chuàng)立一個必不可少的工具微積分，沒有微積分，推導宇宙定律是不可能的。在17世紀的天才們開

13、發(fā)的所有知識寶庫中，這一領域是最豐富的，微積分為創(chuàng)立許多新的學科提供了源泉。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強地認識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結晶。它給出一整套的科學方法，開創(chuàng)了科學的新紀元，并因此加強與加深了數學的作用。恩格斯說： “在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里?！庇辛宋⒎e分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球對它附近物