高中數(shù)學論文：雙曲線焦半徑應用舉例

1、雙曲線焦半徑應用舉例雙曲線上任意一點到其焦點的距離稱為該點的焦半徑。已知點P(x，y)在雙曲線= 1 (a0，b0)上，F(xiàn)， F分別為雙曲線的左、右焦點。若點P在右半支上，則| PF| =x+ a ，| PF| =xa；若點P在左半支上，則| PF| =(x+ a) ，| PF| =(xa)利用焦半徑公式解題，可使解題過程簡單明了，下面列舉幾例，供參考。一、求雙曲線的標準方程例1、 設F、F是雙曲線= 1 (a0，b0)的左、右兩個焦點，l為左準線，離心率e=，P(,m)是左支上一點，P到l的距離為d，且d，| PF|，| PF|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程。分析；利用焦半徑，結(jié)合雙曲線的第二定

2、義列出等式，求出待定系數(shù).解：由雙曲線的第二定義知：d =| PF|，又| PF| =(x+ a) = 14a, | PF| =(xa) = 14a,由已知得：d| PF| = 2| PF|，即(14a)(14a)=282a 得：a = 2， c =3， b =，故雙曲線的方程為=1。評注：利用焦半徑公式，可使運算過程簡便易行。二、求值例2 雙曲線=1的兩個焦點為F、F，點P在雙曲線上，若P FP F，則點P到x軸的距離為_.分析；利用焦半徑及勾股定理，列出等式，求出P點縱坐標即可。解：不妨設P在雙曲線上右支上，設P(x，y)，則| PF| =x+ a = 3x，| PF| =xa =x3，則

3、| PF| PF|= |FF|，即：(3x)(x3) =100，所以=，又=1，所以=，所以點P到x軸的距離為。評注：利用雙曲線的定義和焦半徑公式，簡單明了。三、求范圍例3 如圖，已知梯形ABCD中，|AB| = 2|CD|，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當時，求雙曲線離心率的取值范圍解：以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則CDy軸，因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性可知，C、D關(guān)于y軸對稱設雙曲線的焦距為2c，則A、B、C三點的橫坐標分別為c、c、，則點E的橫坐標為x=xyABODCE根據(jù)雙曲線焦半徑公

4、式，有：|AE| =(xa ) =a，|BC| =xa =a，而AC與AE同號，從而=|AC| =|AE| =a =a，由雙曲線的定義有|AC|BC| = 2a，即(a)(a) = 2a，兩邊同除以a，并化簡整理，得(1) = 2，=2由，得34，解得710，故所求雙曲線離心率的取值范圍是，評注：凡是遇到雙曲線上的點到雙曲線焦點距離的問題，均可考慮使用焦半徑公式四、其他問題例4 在雙曲線=1的上支上有三點A(x，y),B(,6),C(x,y)與F(0，5)的距離成等差數(shù)列。求證：AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點。分析；利用焦半徑及等差數(shù)列概念，列出等式，可解此題。證明：|AF| =eya，|BF|

5、=6ea，|CF|= eya，由已知得：2|BF|=|AF|CF|，得：y y=26 = 12。設AC的中點M(x，6)，其中x=，又A，C在雙曲線上，于是，兩式相減得：13(yy)(yy)12(xx)(xx)= 0，得：13(yy)12（xx）=0，得：=，所以AC的垂直平分線方程為：y6=(xx)，即13xx(2y25)=0，故經(jīng)過定點(0，)。評注：點差法是求解雙曲線問題的一種常用方法。例5 已知雙曲線= 1的左、右焦點分別為F、F，左準線為能否在雙曲線的左支上找到一點P，使| PF|是P到的距離與| PF|的等比中項？若能，試求出P點坐標；若不能，請說明理由分析；此題為探索題目，一般可設存在點P，再利用焦半徑及等比數(shù)列概念列等式可求解。解：由a = 5，c =13，知 =，=設P(x，y)，P到的距離為d，則| PF| =ax=5x，| PF|= ax= 5x，d =x=x 令| PF|= d| PF|，即(5x)= (x)(5x)，解得：x=或x=另一方面，因為P在左支上，所以x5 與矛盾故符合條件的P點不存在評注： 一般的，是雙曲線= 1左支上存在P點，使| PF|= d| PF|成立的充要條件。本題中雙曲線離心率=，故符合條件的P點不存在 例如雙曲線= 1的離心率，則這樣的P點一定存在。類似的可得：是