高等數學教學課件匯編12.2

1、第二節(jié)第二節(jié)兩類問題兩類問題: 在收斂域內在收斂域內和函數和函數)(xsnnnxa0冪級數求求 和和展展 開開本節(jié)內容本節(jié)內容:一、泰勒一、泰勒 ( taylor ) 級數級數 二、函數展開成冪級數二、函數展開成冪級數 函數的冪級數展開函數的冪級數展開 第十二章第十二章 一、泰勒一、泰勒 ( taylor ) 級數級數 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中其中)(xrn( 在在 x 與與 x0 之間之間)稱為稱為拉格朗日余項拉格朗日余項 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在則在若函數若函數0)(xxf在的

2、某鄰域內具有的某鄰域內具有 n + 1 階導數階導數, 此式稱為此式稱為 f (x) 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內有該鄰域內有 :)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為為f (x) 在點在點x0處處的的泰勒級數泰勒級數 . 記為記為 則稱則稱當當x0 = 0 時時, 泰勒級數又稱為泰勒級數又稱為麥克勞林級數麥克勞林級數 .若函數若函數的某鄰域內具有任意階導數的某鄰域內具有任意階導數, 0)(xxf在)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xf1) 對此級數對此級數, 它的收

3、斂域是什么它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上在收斂域上 , 和函數是否為和函數是否為 f (x) ?待解決的問題待解決的問題 :定理定理1 .各階導數各階導數, )(0 xu則則 f (x) 在該鄰域內能展開成泰勒級數的在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要充要條件條件是是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足的泰勒公式中的余項滿足:.0)(limxrnn設函數設函數 f (x) 在點在點 x0 的某一鄰域的某一鄰域 內具有內具有(x)r)x(xi!)(xff(x)ni0n0i0(i),(x)r(x)sf(x)n1n即即)()(lim01xfxsnn )(limxrnn證明證明 則由則由f (x)

4、的泰勒公式知的泰勒公式知各階導數各階導數, )(0 xu設函數設函數 f (x) 在點在點 x0 的某一鄰域的某一鄰域 內具有內具有證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxmn,),()!1()(010收斂在nnnxx, 0)!1()(lim10nxxnn, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒級數的泰勒級數可展成點可展成點x,)!1()(010r收斂半徑nnnxx二、函數展開成冪級數二、函數展開成冪級數 直接展開法直接展開法: 利用泰勒公式利用泰勒公式間接展開法間接展開法:利用已知的冪級數展開式，通過利用已知的冪級數展開式，通過變量代換變量代換, 四

5、四則運算則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分逐項積分等方法等方法,求所需函數的冪級數展開式求所需函數的冪級數展開式.(4) 寫出函數寫出函數f (x)的冪級數及收斂域的冪級數及收斂域 ,m(x)fr(n)nn或域0lim內討論內討論在收斂在收斂(3)(3)1. 直接展開法直接展開法;!)()1(0)(nxfann 求求(2) 寫出寫出f (x) 在點在點x0處處的的泰勒級數泰勒級數 )(xfi00i0(i)x(xi!)(xf并求出泰勒級數的收斂半徑并求出泰勒級數的收斂半徑 例例1. 將函數將函數xexf)(展開成展開成 x 的冪級數的冪級數. 解解: ,)()(xnexf

6、), 1 ,0(1)0()(nfn1xe其收斂半徑為其收斂半徑為 故故nrlim!1n! ) 1(1nx2!21x3!31xnxn!1對任何有限數對任何有限數 x , 其余項滿足其余項滿足 )(xrne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxnn0( 在在0與與x 之間之間),(!1! 2112 xxnxxenx例例2. 將將xxfsin)(展開成展開成 x 的冪級數的冪級數.解解: )()(xfn)0()(nfx)sin(2 nx其收斂半徑為其收斂半徑為 ,r12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnxkn2,) 1(k,0)()(xfn因)2s

7、in( nx1 ),( xsin x1)!(2n1)(5!13!1sin12n1n53xxxxx),( xnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos類似可推出類似可推出:),(xn2xn!1)n(1)(x2!1)(x1x)(1稱為稱為二項展開式二項展開式 . 收斂區(qū)間收斂區(qū)間 :)()1 ()(的冪級數為展開成將xrxxf) 1 , 1(說明：說明：(1) 在在 x1 處的收斂性與處的收斂性與 有關有關 .(2) 當當 為正整數時為正整數時, 級數為級數為 x 的的 次多項式次多項式, 上式上式 就是代數學中的就是代數學中的二項式定理二項式定理.有有時時當當,21, 1 )

8、1 , 1()1(11132 nnxxxxx1,1!(2n)!3)!(2n1)(642314212111n1n32xxxxx1,1(!(2n)!1)!(2n1)(642531423121111nn32xxxxx) 11(1112xxxxxn2. 間接展開法間接展開法利用已知的冪級數展開式，通過利用已知的冪級數展開式，通過變量代換變量代換, 四四則運算則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分逐項積分等方法等方法,求所需函數的冪級數展開式求所需函數的冪級數展開式. xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例如例如211x x11例例3. 將函

9、數將函數展開成展開成 x 的冪級數的冪級數.解解: 因為因為nnxxx) 1(12)11(x把把 x 換成換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得得例例4. 將將3412 xx展成展成 x1 的冪級數的冪級數. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1例例5將下列函數展開成將下列函數展開成 x 的冪級數的冪級數xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nn