62等差數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答(共14頁)_第1頁
62等差數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答(共14頁)_第2頁
62等差數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答(共14頁)_第3頁
62等差數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答(共14頁)_第4頁
62等差數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答(共14頁)_第5頁
已閱讀5頁,還剩11頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、1等差數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母_d_表示2等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式是ana1(n1)d.3等差中項如果A,那么A叫做a與b的等差中項4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣:anam(nm)d(n,mN*)(2)若an為等差數(shù)列,且klmn(k,l,m,nN*),則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為2d.(4)若an,bn是等差數(shù)列,則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)

2、列,公差為d,則ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差為md的等差數(shù)列5等差數(shù)列的前n項和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,其前n項和Sn或Snna1d.6等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A、B為常數(shù))7等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列an中,a10,d0,則Sn存在最_大_值;若a10,則Sn存在最_小_值【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*,都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的

3、單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)()(5)數(shù)列an滿足an1ann,則數(shù)列an是等差數(shù)列()(6)已知數(shù)列an的通項公式是anpnq(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列an一定是等差數(shù)列()1(2015重慶)在等差數(shù)列an中,若a24,a42,則a6等于()A1 B0 C1 D6答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì),得a62a4a22240,選B.2(2014福建)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a12,S312,則a6等于()A8 B10 C12 D14答案C解析由題意知a12,由S33a1d12,解得d2,所以a6a15d25212,故選C.3在等差數(shù)列

4、an中,已知a4a816,則該數(shù)列前11項和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.4設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a3a4a512,則a1a2a7等于()A14 B21 C28 D35答案C解析a3a4a53a412,a44,a1a2a77a428.5(2014北京)若等差數(shù)列an滿足a7a8a90,a7a100,則當(dāng)n_時,an的前n項和最大答案8解析因為數(shù)列an是等差數(shù)列,且a7a8a93a80,所以a80.又a7a10a8a90,所以a90.故當(dāng)n8時,其前n項和最大題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)在數(shù)列an中,若a12,且對任意的nN*有2an112an,

5、則數(shù)列an前10項的和為()A2 B10 C. D.(2)已知在等差數(shù)列an中,a27,a415,則前10項和S10等于()A100 B210C380 D400答案(1)C(2)B解析(1)由2an112an得an1an,所以數(shù)列an是首項為2,公差為的等差數(shù)列,所以S1010(2).(2)因為a27,a415,所以d4,a13,故S101031094210.思維升華(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了方程的思想(1)

6、(2015課標(biāo)全國)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a1a3a53,則S5等于()A5 B7 C9 D11(2)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足1,則數(shù)列an的公差是()A. B1 C2 D3答案(1)A(2)C解析(1)an為等差數(shù)列,a1a52a3,a1a3a53a33,得a31,S55a35.故選A.(2)Sn,又1,得1,即a3a22,數(shù)列an的公差為2.題型二等差數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列an中,a1,an2(n2,nN*),數(shù)列bn滿足bn(nN*)(1)求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an中的最大項和最小項,并說明理由(1)證明因為an2(n2,nN*),bn(

7、nN*),所以bn1bn1.又b1.所以數(shù)列bn是以為首項,1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知bnn,則an11.設(shè)f(x)1,則f(x)在區(qū)間(,)和(,)上為減函數(shù)所以當(dāng)n3時,an取得最小值1,當(dāng)n4時,an取得最大值3.引申探究例2中,若條件變?yōu)閍1,nan1(n1)ann(n1),探求數(shù)列an的通項公式解由已知可得1,即1,又a1,是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,(n1)1n,ann2n.思維升華等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法:證明對任意正整數(shù)n都有an1an等于同一個常數(shù)(2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)n都有2an1anan2后,可遞推得出an2an1an1ananan1a

8、n1an2a2a1,根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列(3)通項公式法:得出anpnq后,得an1anp對任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列(4)前n項和公式法:得出SnAn2Bn后,根據(jù)Sn,an的關(guān)系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列(1)若an是公差為1的等差數(shù)列,則a2n12a2n是()A公差為3的等差數(shù)列 B公差為4的等差數(shù)列C公差為6的等差數(shù)列 D公差為9的等差數(shù)列(2)在數(shù)列an中,若a11,a2,(nN*),則該數(shù)列的通項為()Aan BanCan Dan答案(1)C(2)A解析(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na

9、2n2)2226,a2n12a2n是公差為6的等差數(shù)列(2)由已知式可得,知是首項為1,公差為211的等差數(shù)列,所以n,即an.題型三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1等差數(shù)列的性質(zhì)例3(1)(2015廣東)在等差數(shù)列an中,若a3a4a5a6a725,則a2a8_.(2)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S1010,S2030,則S30_.答案(1)10(2)60解析(1)因為an是等差數(shù)列,所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525,即a55,a2a82a510.(2)S10,S20S10,S30S20成等差數(shù)列,且S1010,S2030,S20S1020,S30301

10、021030,S3060.命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項和的最值例4在等差數(shù)列an中,已知a120,前n項和為Sn,且S10S15,求當(dāng)n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值解a120,S10S15,1020d1520d,d.方法一由an20(n1)n.得a130.即當(dāng)n12時,an0,當(dāng)n14時,an0.當(dāng)n12或13時,Sn取得最大值,且最大值為S12S131220130.方法二Sn20nn2n2.nN*,當(dāng)n12或13時,Sn有最大值,且最大值為S12S13130.方法三由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130,即a130.當(dāng)n12或13時,Sn有最大值,且最大值為S1

11、2S13130.引申探究例4中,若條件“a120”改為a120,其他條件不變,求當(dāng)n取何值時,Sn取得最小值,并求出最小值解由S10S15,得a11a12a13a14a150,a130.又a120,a120,當(dāng)n12或13時,Sn取得最小值,最小值S12S13130.思維升華(1)等差數(shù)列的性質(zhì):項的性質(zhì):在等差數(shù)列an中,aman(mn)dd(mn),其幾何意義是點(diǎn)(n,an),(m,am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差和的性質(zhì):在等差數(shù)列an中,Sn為其前n項和,則aS2nn(a1a2n)n(anan1);bS2n1(2n1)an.(2)求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法:函數(shù)法:利用

12、等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解鄰項變號法:a當(dāng)a10,d0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值Sm;b當(dāng)a10,d0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.(1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a5a74,a6a82,則當(dāng)Sn取最大值時,n的值是()A5 B6 C7 D8(2)設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列,Sn為前n項和,若S65a110d,則Sn取最大值時,n的值為()A5 B6C5或6 D11(3)已知等差數(shù)列an的首項a120,公差d2,則前n項和Sn的最大值為_答案(1)B(2)C(3)110解析(1)依題意得2a64,2a72

13、,a620,a710;又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列,因此在該數(shù)列中,前6項均為正數(shù),自第7項起以后各項均為負(fù)數(shù),于是當(dāng)Sn取最大值時,n6,選B.(2)由題意得S66a115d5a110d,所以a60,故當(dāng)n5或6時,Sn最大,選C.(3)因為等差數(shù)列an的首項a120,公差d2,代入求和公式得,Snna1d20n2n221n22,又因為nN*,所以n10或n11時,Sn取得最大值,最大值為110.6等差數(shù)列的前n項和及其最值典例(1)在等差數(shù)列an中,2(a1a3a5)3(a7a9)54,則此數(shù)列前10項的和S10等于()A45 B60C75 D90(2)在等差數(shù)列an中,S10100,S10010

14、,則S110_.(3)等差數(shù)列an中,已知a50,a4a70,a2a3a1da2d(a1a2)2d,由于d正負(fù)不確定,因而a2a3符號不確定,故選項A錯;若a1a30,a1a2a1a3d(a1a3)d,由于d正負(fù)不確定,因而a1a2符號不確定,故選項B錯;若0a10,d0,a20,a30,所以aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20,所以a2,故選項C正確;若a10,則(a2a1)(a2a3)d(d)d20,故選項D錯3設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,則m等于()A3 B4C5 D6答案C解析數(shù)列an為等差數(shù)列,且前n項和為Sn,數(shù)列也為等差數(shù)列,即0,解得m

15、5,經(jīng)檢驗為原方程的解,故選C.4數(shù)列an的首項為3,bn為等差數(shù)列,且bnan1an(nN*),若b32,b1012,則a8等于()A0 B3C8 D11答案B解析設(shè)bn的公差為d,b10b37d12(2)14,d2.b32,b1b32d246.b1b2b77b1d7(6)2120.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830,a83.故選B.5已知數(shù)列an滿足an1an,且a15,設(shè)an的前n項和為Sn,則使得Sn取得最大值的序號n的值為()A7 B8C7或8 D8或9答案C解析由題意可知數(shù)列an是首項為5,公差為的等差數(shù)列,所以an5(n1),該數(shù)列前7項是正數(shù)項,

16、第8項是0,從第9項開始是負(fù)數(shù)項,所以Sn取得最大值時,n7或8,故選C.6已知數(shù)列an中,a11且(nN*),則a10_.答案解析由已知得(101)134,故a10.7已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11,a3a4,則an_.答案2n1解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,a3a4,12d(1d)24,解得d24,即d2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列,故d2.an1(n1)22n1.8設(shè)數(shù)列an的通項公式為an2n10(nN*),則|a1|a2|a15|_.答案130解析由an2n10(nN*)知an是以8為首項,2為公差的等差數(shù)列,又由an2n100得n5,n5時,an0,當(dāng)n5時,an0,|a1|a2|a15|

17、(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9若數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an2SnSn10(n2),a1.(1)求證:成等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式(1)證明當(dāng)n2時,由an2SnSn10,得SnSn12SnSn1,所以2,又2,故是首項為2,公差為2的等差數(shù)列(2)解由(1)可得2n,Sn.當(dāng)n2時,anSnSn1.當(dāng)n1時,a1不適合上式故an10等差數(shù)列an中,設(shè)Sn為其前n項和,且a10,S3S11,則當(dāng)n為多少時,Sn最大?解方法一由S3S11得3a1d11a1d,則da1.從而Snn2n(n7)2a1,又a10,所以0.故當(dāng)n7時,Sn最大方法二由于Sn

18、an2bn是關(guān)于n的二次函數(shù),由S3S11,可知Snan2bn的圖象關(guān)于n7對稱由方法一可知a0,故當(dāng)n7時,Sn最大方法三由方法一可知,da1.要使Sn最大,則有即解得6.5n7.5,故當(dāng)n7時,Sn最大方法四由S3S11,可得2a113d0,即(a16d)(a17d)0,故a7a80,又由a10,S3S11可知d0,所以a70,a80,所以當(dāng)n7時,Sn最大B組專項能力提升(時間:20分鐘)11設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,(n1)SnnSn1(nN*)若1,則()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7答案D解析由條件得,即,所以anan1,所以等差數(shù)列an為遞增數(shù)列又1,所以a80,a70,即數(shù)列an前7項均小于0,第8項大于零,所以Sn的最小值為S7,故選D.1

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論