向量解題技巧

1、一、怎么樣求解向量的有關(guān)概念問(wèn)題掌握并理解向量的基本概念1 判斷下列各命題是否正確若a b,b c,則a c ；兩向量a、b相等的充要條件是 a b且a、b共線；a b是向量a b的必要不充分條件；若A B、C、D是不共線的四點(diǎn)，貝U AB DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；AB CD的充要條件是 A與C重合，B與D重合。二、向量運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算的求解方法兩個(gè)不共線的向量，加法的三角形法則和平行四邊形法則是一致的。兩個(gè)有相同起點(diǎn)的向量的差是連結(jié)兩向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量的向量，若起點(diǎn)不同，要平移到同一起點(diǎn)；重要結(jié)論：a與b不共線，則a b與a b是以a與b為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角

2、線所表示的向量。在求解向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，注意向量坐標(biāo)等終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x-i, y-i), B(x2, y2),則AB OB OA (X2,y2)(x-,y-)(X2 x-y y-)。例1若向量a (3,2),b(0, 1),則2b a的坐標(biāo)是 例 2 若向量 a (1,1),b(1, 1),c( 1,2)則c 1313c 3131A. a-b B.a -bC. a-b D.a b22 2 2222 2例3在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1), B( 1,3),若點(diǎn)C滿足 OC OA OB,其中，R且1，則點(diǎn)C的軌跡為()A.3x 2y 11 0 B.(x1)

3、2 (y2)2 0C.2x y 0D.x2y 50例4O是平面上-一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP OAAB AC( ), 0,)，則P的軌跡一定過(guò) ABC的()AB ACA.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心例5設(shè)G是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，試證明(1)若G是為 ABC重心，則GA GB BC 0 ；若GA GB BC 0，貝U G是為 ABC重心。三、三點(diǎn)共線問(wèn)題的證法證明A,B,C三點(diǎn)共線，由共線定理(AB與AC共線)，只需證明存在實(shí)數(shù)，使AB中必須有公共點(diǎn)。共線的坐標(biāo)表示的充要條件，若a (x1, y1),b(x2, y2)，貝Ua/b a bxi y2 X2yi 0( x

4、i y2 X2yi)例1已知A、B兩點(diǎn)，P為一動(dòng)點(diǎn)，且 OP OA tAB，其中t為一變量。證明：1.P必在直線AB上；2.t取何值時(shí)，P為A點(diǎn)、B點(diǎn)？例2證明：始點(diǎn)在同一點(diǎn)的向量 a、b、3a 2b的終點(diǎn)在同一直線上例3 對(duì)于非零向量 a、b,求證：a b a b a b四、求解平行問(wèn)題兩向量平行，即共線，往往通過(guò)“點(diǎn)的坐標(biāo)”來(lái)實(shí)現(xiàn)；兩向量是否共線與它們模長(zhǎng)的大小無(wú)關(guān), 只由它們的方向決定；兩向量是否相等起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只由模長(zhǎng)和方向決定。例 1 已知 M (1,0), N(0,1), P(2,1),Q(1,y)且 MN/PQ，求 y 的值。例2已知點(diǎn)A(1, 2)，若向量AB與a (2,3)同向

5、，AB203,則B點(diǎn)的坐標(biāo)是例3平面內(nèi)給定三向量 a (3,2),b( 1,2), c (4,1)，則：(1)求3a b 2c;(2)求滿足a mb nc的實(shí)數(shù)m、n若(a kb)/(2ba),求實(shí)數(shù)k; 設(shè) d (x, y)滿足(d c)/(a b)且 d c 1,求d.例41, 2), B(3, 1),C(5,6),求頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)。A(1)已知點(diǎn)A(4,0), B(4,4),C(2,6)，求AC與DB的交點(diǎn)，P的坐標(biāo)。五、向量的數(shù)量積的求法求數(shù)量積：定義法：a?b a ? b cos坐標(biāo)法：a?b X1X2 yy2當(dāng)a/b時(shí)，0和180兩種可能。故a?ba ?b的頂點(diǎn)若平行四邊形ABC

6、D一些重要的結(jié)論： a2 a?a；(a b)2 a2 2a?b b2； (a b)(a b) a2 b2例1設(shè)a,b,c是任意的非零的向量，且相互不共線，則()(a ?b)c (c?a)b 0; a b a b;2 2(b ?c)a (a?c)?b不與c垂直(3a 2b)(3a 2b) 9a 4b其中是真命題的為()A BC D例2 已知平面上三點(diǎn) A、B、C,滿足AB 3, BC 4, CA 5,則AB?BC BC?CA CA?AB的值等于。例3已知向量a和b的夾角為120，且a 2, b 5,則(2a b)?a .六、如何求向量的長(zhǎng)度形如 a b的模長(zhǎng)求法：先平方轉(zhuǎn)化為含數(shù)量積運(yùn)算開(kāi)方，即

7、：2a b 2a2 2a?b 2b2例1已知向量a,b, a b 4,a與b的夾角為60 ,則a b , a b ,其中a b與a方向的夾角為 , a b與a方向夾角為 .例2設(shè)向量a,b滿足a b 1, 3a 2b 3,求3a b的值。七、如何求兩向量的夾角a?b夾角公式：cosX1X2%y2yi?x2y；例1已知10, b 12,且(3a)?Jb)536,求a,b的夾角例2若e,與e2是夾角為60的單位向量，且a 2E e2,b3e1 2e2,求a?b及a與b的夾角。八、垂直問(wèn)題的求解向量垂直的充要條件:a b a ?bX1X2% y2歡迎下載4例1若向量a,b滿足a b a b,則a與b

8、所成的角例 2 在 ABC 中 AB (2,3), AC(1,k),且 ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求 k的值。例3已知a b, a 2, b3.且3a 2b與a b垂直，求例4已知0(0,0), A(0,5), B(6,3), AD OB于點(diǎn)D,求D點(diǎn)的坐標(biāo)。九、向量的數(shù)量積的逆向應(yīng)用求解有關(guān)向量的問(wèn)題，可設(shè)出該向量的坐標(biāo)，列出方程或方程組求之。例 1 已知 a (4, 3), b 1,且a?b 5,則b ?例2求與向量a (.、3, 1)和b (1,、.3)的夾角相等，且模長(zhǎng)為.2的向量c的坐標(biāo)例3若平面向量b與向量a (1, 2)的夾角是180，且b3j5則b()A.( 3,6)B.(3,

9、6)C.(6, 3)D.( 6,3)例4已知向量b與向量a(3,4)垂直，且b 15,則b歡迎下載6yx-ix2P分p2p所成的比為點(diǎn)A(x, y)按向量a (h,k)平移，得到點(diǎn)(x h, y k)，而函數(shù)yf (x)的圖像按向量十、線段定比分點(diǎn)公式的運(yùn)用技巧求解定比分點(diǎn)問(wèn)題，要注意結(jié)合圖形，分清是內(nèi)分點(diǎn)是外分點(diǎn)，不能混淆起點(diǎn)和終點(diǎn),x-ix22% y2，2例2已知兩點(diǎn)P(4, 9),Q( 2,3),則PQ與y軸的交點(diǎn)分有向線段 PQ所成的比為卜一、利用平移公式解題a (h,k)平移得到的函數(shù)的解析式為y f(x h) k，解題時(shí)要注意理解圖像平移前后的關(guān)系。例1已知兩個(gè)點(diǎn)P(1,2), P

10、( 2,14),向量a ( 3,12),則：(1)把P按向量a平移得-某點(diǎn)按a，得到P，求這個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)。(3)P按某向量平移得到 P，求這個(gè)向量坐標(biāo)。例2將函數(shù)y log3(2x 1) 4的圖像按向量a平移后得到的是函數(shù)y log3(2x)的圖像，那么a的坐標(biāo)是.例3將函數(shù)y是（）2sin2x的圖像按向量a平移，得y 2sin（2x -）1的圖像，則向量a的坐標(biāo)B.( 6,1)C(-, 1)D(-,1)sin (A B) sinCcos(A B)cosCsin(口)cosC2 2cosH)2si nC在 ABC中，sinA:sin B : sinC2:3:4,則ABC ?、怎樣利用正、余弦定理求

11、三角形的邊與角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角變換，誘導(dǎo)公式。正弦定理：abc2R ； a 2R?sin A , b 2R?sinB , c 2R?sinC sin A sinB sinC三角形面積公式：111S abcabs inCbcsi nAacsi nB。2 2 2余弦定理：2 2 2a2 b2 c2 2bccos A; cos A - c 2bcABC中F面關(guān)系式需熟記：在例2已知 ABC中的最大角A是最小角C的二倍，且a、b、c成等差數(shù)列，則a:b:c 例3已知a、b、c是 ABC中 A, B, C的對(duì)邊，a、b、c成等差數(shù)列，B 30， ABC的3面積為3，那么b。2J6例 4 在 Rt ABC 中，C -,a b c,求 A- B 的值。2 2十三、如何判定三角形的形狀原則上是將角化成邊或?qū)⑦吇山牵饕ぞ呤钦嘞叶ɡ砗腿呛愕茸冃渭按鷶?shù)變形。注意：做等式變形過(guò)程中因式不可直接約分！例1在 ABC中，若2cosB?si nA si nC,則 ABC的形狀一定是