2022版新教材高考數(shù)學一輪復習第6章平面向量復數(shù)第1節(jié)平面向量的概念與線性運算學案含解析新人教B版

1、第6章 平面向量、復數(shù)課程標準命題解讀1理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義，理解平面向量的幾何表示和基本要素2掌握平面向量加、減、數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義3理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積4理解平面向量基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及坐標表示5能用坐標表示平面向量的數(shù)量積及共線、垂直的條件，會求兩個平面向量的夾角6會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題7了解數(shù)系的擴充，理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義8掌握復數(shù)的表示、運算及其幾何意義，掌握復數(shù)代數(shù)表示的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.考查形

2、式：一般兩個選擇題或一個選擇題、一個填空題考查內(nèi)容：向量的線性運算及其幾何意義；向量加、減、數(shù)乘及向量共線的坐標表示；兩個向量的數(shù)量積的運算、夾角公式、垂直問題復數(shù)的定義、幾何意義、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)相等及復數(shù)的四則運算備考策略：(1)熟練應用三角形、平行四邊形法則，進行向量的線性運算，熟練掌握向量的數(shù)量積運算，能解決向量的模、夾角、垂直問題(2)熟練掌握復數(shù)的四則運算、復數(shù)的模及其幾何意義核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、數(shù)學運算.第1節(jié)平面向量的概念與線性運算一、教材概念結論性質(zhì)重現(xiàn)1向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小稱為向量的模(或長度)向量由方向和長度確定，不受位置

3、影響零向量始點和終點相同的向量其方向是任意的，記作0單位向量模等于1的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的兩個非零向量0與任一向量平行(或共線)相等向量大小相等、方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量方向相反、大小相等的向量0的相反向量為0(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|0.(2)單位向量有無數(shù)個，它們的大小相等，但方向不一定相同(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量(4)與非零向量a平行的單位向量有兩個，即向量和.2平面向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形

4、法則交換律：abba；結合律：(ab)ca(bc)平行四邊形法則減法向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即aba(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法三角形法則數(shù)乘實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘(1)|a|a|；(2)當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab(1)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即.特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量(2)若p為線段ab的中點，o為平面內(nèi)任一點，則()(3)作兩個向量的差時，首先將兩向量的起點平移到同

5、一點，要注意差向量的方向是由減向量的終點指向被減向量的終點3共線向量基本定理如果a0且ba，則存在唯一的實數(shù)，使得ba.(1)在向量共線的充要條件中易忽視“a0”若忽視“a0”，則可能不存在，也可能有無數(shù)個(2)三點共線的等價關系：a，p，b三點共線(0)(1t)t(o為平面內(nèi)異于a，p，b的任一點，tr)xy(o為平面內(nèi)異于a，p，b的任一點，xr，yr，xy1)二、基本技能思想活動體驗1判斷下列說法的正誤，對的打“”，錯的打“”(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小()(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關()(3)若ab，bc，則ac.()(4)若向量與向量是共線向量，則

6、a，b，c，d四點在一條直線上()(5)當兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()(6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反()2如圖，設p，q兩點把線段ab三等分，則下列向量表達式錯誤的是()a. b.c. d.d解析：由數(shù)乘向量的定義可以得到a，b，c都是正確的，只有d錯誤3(2021山東省師大附中模擬)設a，b是非零向量，則“a2b”是“”成立的()a充要條件 b充分不必要條件c必要不充分條件 d既不充分也不必要條件b解析：由a2b可知，a，b方向相同，則和分別表示a，b方向上的單位向量，所以成立；反之不成立故選b.4設向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.解析：

7、因為向量a，b不平行，所以a2b0.又向量ab與a2b平行，則存在唯一的實數(shù)，使ab(a2b)成立，即aba2b，則解得.5在abcd中，a，b，3，m為bc的中點，則_(用a，b表示)ab解析：由3，得(ab)又ab，所以(ab)ab.考點1向量的相關概念基礎性1下面說法正確的是()a平面內(nèi)的單位向量是唯一的b所有單位向量的終點的集合為一個單位圓c所有的單位向量都是共線的d所有單位向量的模相等d解析：因為平面內(nèi)的單位向量有無數(shù)個，所以選項a錯誤；當單位向量的起點不同時，其終點就不一定在同一個圓上，所以選項b錯誤；當兩個單位向量的方向既不相同也不相反時，這兩個向量就不共線，所以選項c錯誤；因為

8、單位向量的模都等于1，所以選項d正確2下列說法正確的是()a若向量與向量是共線向量，則點a，b，c，d必在同一條直線上b兩個有共同終點的向量，一定是共線向量c長度相等的向量叫做相等向量d兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同d解析：若向量與向量是共線向量，則abcd或點a，b，c，d在同一條直線上，故a錯誤；共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個有共同終點的向量，其方向可能既不相同也不相反，故b錯誤；長度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向相同，故c錯誤；相等向量是大小相等、方向相同的向量，故兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故d正確3判斷下列四個命題：若ab，則ab；若|a|b

9、|，則ab；若|a|b|，則ab；若ab，則|a|b|.其中正確的個數(shù)是()a1b2 c3d4a解析：只有正確4給出下列命題：零向量是唯一沒有方向的向量；零向量的長度等于0；若a，b都為非零向量，則使0成立的條件是a與b反向共線其中錯誤的命題的個數(shù)為()a0b1 c2d3b解析：錯誤，零向量是有方向的，其方向是任意的；正確，由零向量的定義可知，零向量的長度為0；正確，因為與都是單位向量，所以只有當與是相反向量，即a與b反向共線時等式才成立向量有關概念的關鍵點(1)向量定義的關鍵是方向和長度(2)非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制(3)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等(4)單位向

10、量的關鍵是長度都是一個單位長度(5)零向量的關鍵是長度為0，規(guī)定零向量與任何向量共線考點2平面向量的線性運算應用性在等腰梯形abcd中，2，m為bc的中點，則()a. b.c. d.b解析：因為2，所以2.又m是bc的中點，所以()().1本例條件不變，用，表示.解：()()().2本例中，若2，其他條件不變，用，表示.解：().1平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解2三種運算法則的關注點(1)加法的三角形法則要求“首尾相接”

11、，平行四邊形法則要求“起點相同”(2)減法的三角形法則要求“起點相同”且差向量指向被減向量(3)數(shù)乘運算的結果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算如圖，在正方形abcd中，e為ab的中點，f為ce的中點，用，表示.解：根據(jù)題意得，.又，所以.考點3平面向量線性運算的綜合應用綜合性考向1根據(jù)平面向量的線性運算求參數(shù)的值或范圍(1)(2020朔州模擬)在abc中，2，0.若xy，則()ay3xbx3ycy3xdx3yd解析：因為2，所以點d是bc的中點又因為0，所以點e是ad的中點，所以()，因此x，y，所以x3y.(2)(2020懷化模擬)在abc中，點d在線段bc的延長線上，且3，點o在線段c

12、d上(與點c，d不重合)若x(1x)，則x的取值范圍是()a. b.c. d.d解析：設y，因為3，點o在線段cd上(與點c，d不重合)，所以y，所以yy()y(1y).因為x(1x)，所以xy，所以x.根據(jù)平面向量的線性運算求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值或范圍考向2共線向量定理(2020鄭州模擬)設e1與e2是兩個不共線向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2.若a，b，d三點共線，則k的值為_解析：因為a，b，d三點共線，所以必存在一個實數(shù)，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k

13、)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2.又e1與e2不共線，所以解得k.1證明向量共線的方法應用向量共線定理對于向量a，b(b0)，若存在實數(shù)，使得ab，則a與b共線2證明a，b，c三點共線的方法若存在實數(shù)，使得，則a，b，c三點共線3解決含參數(shù)的共線問題的方法經(jīng)常用到平面幾何的性質(zhì)，構造含有參數(shù)的方程或方程組，解方程或方程組得到參數(shù)值1已知a2b，5a6b，7a2b，則下列一定共線的三點是()aa，b，cba，b，dcb，c，dda，c，db解析：因為3a6b3(a2b)3，且，有公共點a，所以a，b，d三點共線2(2020無錫模擬)在直角梯形abcd中，a90，b

14、30，ab2，bc2，點e在線段cd上若，則的取值范圍是_解析：由已知可得ad1，cd，所以2.因為點e在線段cd上，所以，設(01)因為，又2，所以1，即.因為01，所以0.3如圖，在abc中，d為邊bc上靠近b點的三等分點，連接ad, e為線段ad的中點若mn，則m_，n_.解析：()().又mn，所以m，n.在平行四邊形abcd中，ac與bd交于點o，e是線段od的中點，ae的延長線與cd交于點f.若a，b，則()a.ab b.abc.ab d.ab四字程序讀想算思用基底表示1.三角形法則，平行四邊形法則；2以誰為基底？選擇不同的三角形，利用三角形法則轉(zhuǎn)化與化歸o是平行四邊形abcd兩條

15、對角線的交點，e是od的中點，ae的延長線與cd交于f1.，如何表示？2.，如何表示？3.，如何表示？4利用方程組思想與向量相等解決1.在agf中表示；2在acf中表示；3在adf中表示；4直接設xy，利用向量相等求系數(shù)1.向量的線性運算法則；2向量相等的條件；3平行線的性質(zhì)思路參考：利用，表示.b解析：因為由題意可知defbea，所以.再由abcd可得，所以.作fg平行bd交ac于點g，所以，所以b.因為a，所以ab.思路參考：利用，表示.b解析：如圖，作ogfe交dc于點g.由deeo，得dffg.又由aooc，得fggc，于是(ba)ba.所以ab.思路參考：利用，表示.b解析：如圖，作ogfe交dc于點g.由deeo，得dffg.又由aooc，得fggc，于是，那么ab.思路參考：利用，表示.b解析：如圖，作ogfe交dc于點g.由deeo，得dffg.又由aooc，得fggc，故.設xy.因為，所以(xy)(xy)，于是解得所以ab.1本題考查利用已知向量作基底表示向量問題，解法靈活多變，基本解題策略是借助于三角形法則，逐步對向量進行變形，直至用所給基底表達出來；或選用不同基底分別表示，再利用向量相等解決2基于課程標準，解答本題一般需要學生熟練掌握讀圖識圖能力、運算求解能力、推理能力，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)3本題