2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章數(shù)列第4節(jié)數(shù)列求和學(xué)案含解析新人教A版

1、第四節(jié)數(shù)列求和一、教材概念結(jié)論性質(zhì)重現(xiàn)1求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法方法數(shù)列求和公式公式法等差數(shù)列snna1d等比數(shù)列sn分組求和法等差等比適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加(減)構(gòu)成的數(shù)列求和倒序相加法對(duì)偶法將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列與原數(shù)列相加，主要用于倒序相加后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和有公因子可提的數(shù)列求和裂項(xiàng)相消法積商化差適用于通項(xiàng)公式可以積化差的數(shù)列求和錯(cuò)位相減法等差等比適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘(除)構(gòu)成的數(shù)列求和奇偶討論法正負(fù)號(hào)間隔適用于奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)正負(fù)號(hào)間隔的數(shù)列求和一些常見(jiàn)的數(shù)列前n項(xiàng)和公式1234n； 13572n1n2; 24682nn(n1)；1222n2.2常用結(jié)論

2、常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧； ；.二、基本技能思想活動(dòng)體驗(yàn)1判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和sn()(2)當(dāng)n2時(shí)，()(3)求sna2a23a3nan時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得 ()(4)數(shù)列的前n項(xiàng)和為n2()2數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.若an，則s5等于()a1bcdb解析：因?yàn)閍n，所以s5a1a2a51.3已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，sn為an的前n項(xiàng)和，nn*，則s10的值為()a110b90c90d110d解析：因?yàn)閍3a12da14，a7a16da112，a9a

3、18da116.又因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以(a112)2(a14)(a116)，解得a120.所以s101020109(2)110.4若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn_.2n12n2解析：sn2n12n2.5若sn1234(1)n1n，則s50_.25解析：s5012344950(1)2525.考點(diǎn)1利用公式法求數(shù)列的和基礎(chǔ)性1已知數(shù)列an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，首項(xiàng)a11，則它的前2 020項(xiàng)的和等于()ab2 021a12 0211 010dc2 020d0c解析：數(shù)列an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，首項(xiàng)a11，則an1(nn*)(常數(shù)數(shù)列)，前2

4、 020項(xiàng)的和等于2 020.2等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，其前n項(xiàng)和為sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為()a120b70 c75d100c解析：因?yàn)閚2，所以的前10項(xiàng)和為10375. 3(2020兗州模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為tn.若對(duì)n2，nn*，都有tn1tn12t成立，且a11，a22，則數(shù)列an的前10項(xiàng)和為_(kāi)1 023解析：因?yàn)閠n1tn12t，所以2，即2(n2)而2，所以an為等比數(shù)列，故an2n1，所以s101 023.4(2020深圳模擬)等差數(shù)列an中，a410且a3，a6，a10成等比數(shù)列，數(shù)列an前20項(xiàng)的和s20_.200或330解析：設(shè)數(shù)列an的公差為d

5、，則a3a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d.由a3，a6，a10成等比數(shù)列，得a3a10a，即(10d)(106d)(102d)2，整理得10d210d0，解得d0或d1.當(dāng)d0時(shí)，s2020a4200；當(dāng)d1時(shí)，a1a43d103d10317，所以s2020a1d207190330.故答案為200或330.公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的注意事項(xiàng)(1)利用公式法求和，適用于等差數(shù)列、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列求和(2)一般地，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和與數(shù)列各項(xiàng)的和不盡相同，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式計(jì)算數(shù)列的和，關(guān)鍵是明確數(shù)列的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)考點(diǎn)2利用分組法求數(shù)列的和

6、基礎(chǔ)性1數(shù)列1，2，3，的前n項(xiàng)和為sn()ab2nc1d1c解析：數(shù)列1，2，3，的前n項(xiàng)和為sn(123n)1.2已知函數(shù)f (n)且anf (n)f (n1)，則a1a2a3a100等于()a0b100c100d10 200b解析：由題意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(43)(99100)(101100)(1299100)(23100101)5010150103100.故選b3(2020?？谀M)已知數(shù)列an滿(mǎn)足anlogn1(n2)(nn*)，設(shè)tka1a2ak(kn*)若tkn*，稱(chēng)數(shù)k為“企盼數(shù)”，則區(qū)間1,2

7、 020 內(nèi)所有的企盼數(shù)的和為()a2 020b2 026c2 044d2 048b解析：因?yàn)閍nlogn1(n2)(nn*)，所以tka1a2aklog2(k2)又因?yàn)閠kn*，所以k2必須是2的n次冪(nn*)，即k2n2，所以k1,2 020內(nèi)所有的企盼數(shù)的和為(222)(232)(242)(2102)292 026.4求和：sn666666.解：sn666666(999999)(101)(1021)(1031)(10n1)(1010210310nn)(10n1)n.分組法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法技巧(1)如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列與等比數(shù)列的代數(shù)和，求其前n項(xiàng)和需要先分組再利用公式求和(2)

8、如果數(shù)列的排序規(guī)律較為“隱蔽”，如an是求和的形式，則需要先化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，得到明確的排序規(guī)律再對(duì)其求和考點(diǎn)3利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和綜合性考向1形如an正項(xiàng)等差數(shù)列an滿(mǎn)足a14，且a2，a42,2a78成等比數(shù)列，an的前n項(xiàng)和為sn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，由已知得a2(2a78)(a42)2，化簡(jiǎn)得，d24d120，解得d2或d6(舍)，所以ana1(n1)d2n2.(2)因?yàn)閟nn23n，所以bn.所以tnb1b2b3bn.考向2形如an(2020臨沂模擬)已知函數(shù)f (x)xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，令

9、an，nn*.記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則s2 020_.1解析：由f (4)2可得4a2，解得a，則f (x)x.所以an，s2 020a1a2a3a2 020(1)()()()()1.應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和的注意點(diǎn)(1)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：()，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)(2)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)等1已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，對(duì)nn*有2snaan.令bn，設(shè)bn的前n項(xiàng)和為tn，則在t1，t2，t3，t100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)9解析：因?yàn)?snaan，所以當(dāng)n2時(shí)，2an2(snsn1)(aan)(aan1

10、)，整理得(anan1)(anan1)anan1.又因?yàn)閿?shù)列an的每項(xiàng)均為正數(shù)，所以anan11.又因?yàn)?a1aa1，解得a11，所以數(shù)列an是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列所以ann，所以bn.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn11.要使得tn為有理數(shù)，只需為有理數(shù)即可因?yàn)?n100，所以n3,8,15,24,35,48,63,80,99.即在t1，t2，t3，t100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為9.2在公差不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4，a8成等比數(shù)列，數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn，求tn.解：(1)公差d不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4

11、，a8成等比數(shù)列，可得a1a8a，即有a1(a17d)(a13d)2，化為a19d.數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45，可得10a145d45，解得a13，d，則an3(n1)；(2)bn9，則tn99.考點(diǎn)4利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和應(yīng)用性(2020河南百校聯(lián)盟模擬)已知sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a35，s749.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求證：tn3.(1)解：設(shè)數(shù)列an的公差為d，則由已知得解得a11，d2，所以ana1(n1)d2n1.(2)證明：bn，所以tn，tn，兩式相減得tn，故tn333.本例題干條件不變，若數(shù)列bn滿(mǎn)足bn(ann1)3n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和pn.解：設(shè)數(shù)列an的公差為d，則由已知得解得a11，d2，所以ana1(n1)d2n1.bn(ann1)3nn3n，所以pn3232333n3n，3pn32233334n3n1，兩式相減得2pn332333nn3n1n3n1，所以pn 3n1.錯(cuò)位相減法求和的注意點(diǎn)(1)若在數(shù)列anbn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘公比，再與原式錯(cuò)位相減，整理后即可以求出前n項(xiàng)和(2)注意錯(cuò)位相減后最后一項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)，這是易錯(cuò)點(diǎn)，另外分組求和時(shí)，中間部分等比數(shù)列的求和要找好等比數(shù)列的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a13a232a33n1an，nn*.(1