2022版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練七十古典概型幾何概型課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

1、課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練七十七十古典概型、幾何概型古典概型、幾何概型一、選擇題(每小題 5 分，共 25 分)1.甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組 a,b,c 可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組,則兩人參加同一個(gè)小組的概率為()a.b.c.d.【解析】選 a.甲、乙兩人參加三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組共包含 9 個(gè)基本事件,其中兩人參加同一個(gè)小組包含 3 個(gè)基本事件(a,a),(b,b),(c,c),則所求概率為 p= = .2.現(xiàn)有 2 個(gè)正方體,3 個(gè)三棱柱,4 個(gè)球和 1 個(gè)圓臺(tái),從中任取一個(gè)幾何體,則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為()a.b.c.d.【解析】選 c.共有 10 個(gè)幾何體

2、,其中旋轉(zhuǎn)體有 5 個(gè),所以從中任取一個(gè)幾何體,則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為= .3.在一個(gè)球內(nèi)有一棱長(zhǎng)為 1 的內(nèi)接正方體,一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng),則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為()a.b. c.d.【解析】選 d.由題意可知這是一個(gè)幾何概型,棱長(zhǎng)為 1 的正方體的體積 v1=1,球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng),故球的半徑 r=,球的體積 v2= =,則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率 p=.4.若任取 x、y,則點(diǎn) p(x,y)滿足 yx 的概率為()a.b.c.d.【解析】選 c.根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可知 p= .5.在區(qū)間上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù) p,則方程 x2-px+3p-8=0 有兩個(gè)正根的概率為

3、()a.b.c.d.【解析】選 a.因?yàn)榉匠?x2-px+3p-8=0 有兩個(gè)正根,所以,所以 p8 或 p4,又因?yàn)?p,所以所求概率為 p= .二、填空題(每小題 5 分,共 15 分)6.七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明,其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì),清陸以湉冷廬雜識(shí)卷一中寫(xiě)道“近又有七巧圖,其式五,其數(shù)七,其變化之式多至千余.”在 18 世紀(jì),七巧板流傳到了國(guó)外,被譽(yù)為“東方魔板”,至今英國(guó)劍橋大學(xué)的圖書(shū)館里還珍藏著一部七巧新譜.完整圖案為一正方形(如圖):五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形,如果在此正方形中隨機(jī)取一點(diǎn),那么此點(diǎn)取自陰影部分的概率是.【解析】設(shè)大正方形邊長(zhǎng)

4、為 1,大正方形面積為 s=1,陰影部分是兩個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形,由圖可知陰影部分正方形的邊長(zhǎng)為,陰影部分大的等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為,小的等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為,陰影部分的面積為 s=+ + =,所以所求概率為 p= =.答案:7(2021懷化模擬)甲、乙兩人隨意住兩間空房，則甲、乙兩人各住一間房的概率是_【解析】由題意符合古典概型，甲，乙兩人隨意入住兩間空房，每人有兩種住法，故兩人有 4種住法，甲乙兩人各住一間房的住法種數(shù)有 2 種，所以甲、乙兩人各住一間房的概率為 p240.5.答案：0.58(2020汕頭模擬)如圖是一種圓內(nèi)接六邊形 abcdef，其中 bccddeeff

5、a 且abbc.則在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自六邊形 abcdef 內(nèi)的概率是_.【解析】因?yàn)?bccddeeffa 且 abbc.所以該圖形是該圓的內(nèi)接正八邊形 amnbcdef 的一部分(如圖).易知， 以 o 為頂點(diǎn)， 正八邊形的各邊為底邊的八個(gè)等腰三角形全等且它們的腰長(zhǎng)為圓的半徑 r，頂角為360845.故每個(gè)小等腰三角形的面積為 s12r2sin 4524r2.內(nèi)接六邊形 abcdef 的面積為 soafsofesoedsodcsocbsoab，由正八邊形的性質(zhì)知：四邊形 abcf 是矩形，且 soabsoaf，所以 s六邊形abcdef6soaf6s624r23 2r22.又 s圓

6、or2，故所求概率為：p3 2r22r23 22.答案：3 22三、解答題(每小題 10 分，共 20 分)9某地區(qū)有小學(xué) 21 所，中學(xué) 14 所，大學(xué) 7 所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取 6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目(2)若從抽取的 6 所學(xué)校中隨機(jī)抽取 2 所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，列出所有可能的抽取結(jié)果；求抽取的 2 所學(xué)校均為小學(xué)的概率【解析】(1)由分層抽樣定義知，從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為 621211473；從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為 614211472；從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為 67211471.故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取

7、的學(xué)校數(shù)目為 3，2，1.(2)在抽取的 6 所學(xué)校中，3 所小學(xué)分別記為 a1，a2，a3，2 所中學(xué)分別記為 a4，a5，大學(xué)記為 a6，則抽取 2 所學(xué)校的所有可能結(jié)果為a1，a2，a1，a3，a1，a4，a1，a5，a1，a6，a2，a3，a2，a4，a2，a5，a2，a6，a3，a4，a3，a5，a3，a6，a4，a5，a4，a6，a5，a6，共 15 種從 6 所學(xué)校中抽取的 2 所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件 b)的所有可能結(jié)果為a1，a2，a1，a3，a2，a3，共 3 種，所以 p(b)31515.10已知向量 a(2，1)，b(x，y).(1)若 x，y 分別表示將一枚質(zhì)地均勻的

8、正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為 1，2，3，4，5，6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足 ab1 的概率；(2)若 x，y 在連續(xù)區(qū)間1，6上取值，求滿足 ab0 的概率【解析】 (1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次， 所包含的基本事件總數(shù)為 6636，由 ab1，得2xy1，所以滿足 ab1 的基本事件為(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3 個(gè)故滿足 ab1 的概率為336112.(2)若 x，y 在連續(xù)區(qū)間1，6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y)|1x6，1y6滿足 ab0 的基本事件的結(jié)果為 a(x，y)|1x6，1y6 且2xy0畫(huà)出圖象如圖所示，矩形的

9、面積為 s矩形25，陰影部分的面積為 s陰影25122421，故滿足 ab0 的概率為2125.1 （5 分）如圖所示，設(shè) m 是半徑為 r 的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn) n，連接 mn，則弦 mn 的長(zhǎng)超過(guò)2 r 的概率為()a15b14c13d12【解析】選 d.如圖，在圓上過(guò)圓心 o 作與 om垂直的直徑 cd，則 mdmc 2 r，當(dāng)點(diǎn) n 不在半圓弧cmd上時(shí)，mn 2 r，故所求的概率 p(a)r2r12.2 （5 分） (2021榆林模擬)勒洛三角形是由德國(guó)機(jī)械工程專家、 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛(18291905)首先發(fā)現(xiàn)的，所以以他的名字命名，其作法如下：以等邊三角形每

10、個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另外兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形若在勒洛三角形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形外部的概率為()a3 32（ 3）b23 32（ 3）c23 32 3d232 3【解析】選 b.如圖，設(shè) bc2，以 b 為圓心的扇形面積是：22623，abc 的面積是：122232 3 ，所以勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積， 即23 32 3 22 3 ，所以在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自正三角形外部的概率是：1322 323 32（ 3）.3 （5 分）連續(xù)投骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為 m，n，作向量 a(m，n)，則 a 與

11、 b(1，1)的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是_【解析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)為 66，因?yàn)?m0，n0，所以 a(m，n)與 b(1，1)不可能同向所以?shī)A角0.因?yàn)?，2，ab0，所以 mn0，即 mn.當(dāng) m6 時(shí)，n6，5，4，3，2，1；當(dāng) m5 時(shí)，n5，4，3，2，1；當(dāng) m4 時(shí)，n4，3，2，1；當(dāng) m3 時(shí)，n3，2，1；當(dāng) m2 時(shí)，n2，1；當(dāng) m1 時(shí)，n1.所以滿足條件的事件數(shù)為 654321，所以概率 p65432166712.答案：7124 （10 分）甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有 5 個(gè)不同題目，選擇題 3 個(gè)，判斷題 2 個(gè)，

12、甲、乙兩人各抽一題(1)求甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少；(2)求甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少【解析】5 個(gè)不同題目，甲、乙兩人各抽一題，共有 20 種情況，把 3 個(gè)選擇題記為 x1，x2，x3，2 個(gè)判斷題記為 p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共 6 種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共 6 種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有：

13、(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共 6 種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 種(1)“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的概率為620310， “甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的概率為620310，故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率為31031035.(2)“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率為220110，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為 1110910.5 （10 分）已知函數(shù) f(x)ax1x.(1)從區(qū)間(2，2)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù) a，設(shè)事件 a 表示“函數(shù) y

14、f(x)2 在區(qū)間(0，)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)”，求事件 a 發(fā)生的概率；(2)若連續(xù)擲兩次一枚均勻的骰子(骰子六個(gè)面上標(biāo)注的點(diǎn)數(shù)分別為 1，2，3，4，5，6)得到的點(diǎn)數(shù)分別為 a 和 b， 記事件 b 表示“f(x)b 在 x(0， )上恒成立”， 求事件 b 發(fā)生的概率【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù) yf(x)2 在區(qū)間(0，)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以 f(x)20，即 ax22x10 有兩個(gè)不同的正根 x1和 x2，所以a0 x1x22a0 x1x21a044a0，解得 0a1，所以 p(a)102（2）14.(2)由已知 a0，x0，所以 f(x)b，即 ax2bx10 在 x(0，)上恒成立

15、，故b24a0(*).當(dāng) a1 時(shí)，b1 適合(*)；當(dāng) a2 時(shí)，b1，2 適合(*)；當(dāng) a3，4 時(shí)，b1，2，3 均適合(*)；當(dāng) a5，6 時(shí)，b1，2，3，4 均適合(*).所以滿足(*)的基本事件個(gè)數(shù)為 m126817.而基本事件總數(shù)為 n6636，所以事件 b 發(fā)生的概率 p(b)mn1736.1用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中 6 個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，則有_個(gè)不同的染色方法，出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率為_(kāi)【解析】用黑白兩種顏色隨機(jī)地染表格中 6 個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，則有：2664 個(gè)不同的染色方法，出現(xiàn)從左至右數(shù)，不

16、管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：全染黑色，有 1 種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有 1 個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有 5 種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有 2 個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有 9 種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有 3 個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有 5 種方法，所以出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：159520(種)，所以出現(xiàn)從左至右數(shù)， 不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率為：p2064516.答案：645162在四面體 sabc 中，sa平面 abc，bac120，saacab2，若動(dòng)點(diǎn)在該四面體的外接球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求此點(diǎn)落在四面體 sabc 內(nèi)部的概率【解析】因?yàn)?acab2