3年高考2年模擬2021版新教材高考數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算講義新人教B版必修第二冊

1、4.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.理解n次方根及根式的概念.2.正確運用根式的運算性質(zhì)進行根式運算.(重點)3.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化.(重點、易錯點)4.掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì).(重點、難點)1.通過根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2.通過利用指數(shù)式的條件解決求值問題,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).公元前五世紀(jì),古希臘有一個數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達哥拉斯學(xué)派,其學(xué)派中的一個成員希帕索斯思考了一個問題:邊長為1的正方形的對角線的長度是多少呢?他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)表示,也不能用分?jǐn)?shù)表示,希帕索斯的發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)2誕生了.問題:若x2=3,則這樣

2、的x有幾個?它們叫做3的什么?如何表示?答案這樣的x有2個,它們都稱為3的平方根,記作3.1.有關(guān)冪的概念一般地,an中的a稱為底數(shù),n稱為指數(shù).2.根式的相關(guān)概念和性質(zhì)(1)根式的概念:一般地,給定大于1的正整數(shù)n和實數(shù)a,如果存在實數(shù)x,使得xn=a,則x稱為a的n次方根;當(dāng)na有意義的時候,na稱為根式,n稱為根指數(shù),a稱為被開方數(shù).(2)根式的性質(zhì):(i)(na)n=a.(ii)nan=a,n為奇數(shù),|a|,n為偶數(shù).思考1:類比平方根、立方根,猜想:當(dāng)n為偶數(shù)時,一個數(shù)的n次方根有多少個?當(dāng)n為奇數(shù)時呢?提示a為正數(shù):n為奇數(shù)時,a的n次方根有一個,為na,n為偶數(shù)時,a的n次方根有

3、兩個,為na.a為負數(shù):n為奇數(shù)時,a的n次方根只有一個,為na,n為偶數(shù)時,a的n次方根在實數(shù)范圍內(nèi)無意義.零的n次方根為零,記為n0=0.3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)定義:一般地,如果n是正整數(shù),那么:當(dāng)na有意義時,規(guī)定a1n=na;當(dāng)na沒有意義時,稱a1n沒有意義.(2)意義:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a1n=na(a0),amn=(na)m=nama0,m,nn*,且mn為既約分?jǐn)?shù)負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a-s=1as(as有意義且a0)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(3)運算法則:(i)前提:s,t為任意有理數(shù).(ii)法則:asat=as+t;(as)t=ast;(ab

4、)s=asbs.思考2:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么?提示分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)形式上與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)完全一樣.記憶分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)的口訣:乘相加,除相減,冪相乘.4.實數(shù)指數(shù)冪一般地,無理指數(shù)冪at(a0,t是無理數(shù))是一個確定的實數(shù),有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于無理指數(shù)冪同樣適用.因此當(dāng)a0,t為任意實數(shù)時,實數(shù)指數(shù)冪at都有意義,對任意實數(shù)s和t,類似有理指數(shù)冪的運算法則仍然成立.探究一n次方根的化簡與求值例1(易錯題)化簡:(1)4(3-)4;(2)(a-1)2+(1-a)2+3(1-a)3(a-10).解析(1)4(3-)4=|3-|=-3.(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=

5、a-1+a-1+1-a=a-1.易錯點撥n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范圍n為奇數(shù)naarn為偶數(shù)na0,+)1.已知-3x3,求x2-2x+1-x2+6x+9的值.解析原式=(x-1)2-(x+3)2=|x-1|-|x+3|,-3x3,當(dāng)-3x1時,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當(dāng)1x3時,原式=x-1-(x+3)=-4,原式=-2x-2,-3x1,-4,1x0)b.6y2=y13(y0)d.x-13=-3x(x0)(2)用指數(shù)冪的形式表示y2xx3y(x0,y0).答案(1)c解析(1)a選項,-x=-x12(x0);b選項,6y2=(y2)16=-y13(y0);d選

6、項,x-13=31x(x0).故c正確.(2)解法一:由里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.y2xx3y=y2xx3y12=y2xx32y-1212=x14y34.解法二:由外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.y2xx3y=y2xx3y12=y2xx3y1212=y2x12x3y14=x14y34.思維突破(1)記結(jié)論:amn=nam和a-mn=1amn=1nam(a0).(2)明途徑:一是由里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;二是由外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.2.化簡:(1)aa(a0);(2)(2a23b12)(-6a12b13)(-3a16b56).解析(1)aa=aa12=a32=(a32)12=a34.(2)原式=2(-6)(-3

7、)a23+12-16b12+13-56=4ab0=4a.探究三指數(shù)冪的化簡與求值例3已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析(x+x-1)2=x2+x-2+2,x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思維突破式子中包含的指數(shù)互為相反數(shù)時,通常用平方法進行解決,平方后觀察條件和結(jié)論的關(guān)系,變形求解即可.3.(1)(變結(jié)論)已知x+x-1=3,求x2-x-2的值.(2)(變條件)已知x-x-1=3,求x2+x-2的值.解析(1)由例3知x2+x-2=7,x4+x-4=47,(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45,即x2-x-2=35.(2)(x-x-1)2=x2+x-2-2=9,x

8、2+x-2=11.1.下列各式正確的是()a.(-3)2=-3b.4a4=ac.(3-2)3=-2d.3(-2)3=2答案c2.已知a0,則a3a2=()a.a12b.a32c.a23d.a13答案d3a2=a23,則a3a2=aa23=a1-23=a13.故選d.3.化簡(a3b12)12(a12b14)(a0,b0)結(jié)果為()a.ab.bc.abd.ba答案a原式=a32b14(a12b14)=a32-12b14-14=a.故選a.4.化簡:416x8y4(x0,y0)=.答案2x2y解析x0,y0,416x8y4=424x8y4=(24x8y4)14=2x2y.5.若10m=2,10n=

9、3,則103m-n=.答案83解析由已知得103m=(10m)3=23=8,103m-n=103m10n=83.邏輯推理指數(shù)運算與均值不等式的應(yīng)用已知a0,b0,若2a2b=2,則ab的最大值是.審:由指數(shù)運算法則以及2a2b=2,可得a+b=1,再根據(jù)均值不等式aba+b22,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取得最大值得出答案.聯(lián):求積的最值,會聯(lián)想到基本不等式,那就需要和為常數(shù),這個和剛好由指數(shù)運算求得.解:函數(shù)g(x)=2x,且有g(shù)(a)g(b)=2,2=2a2b=2a+b,a+b=1,a0且b0,aba+b22=14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時,ab取得最大值14.思:從已知條件中解出字母的值,然后代入求

10、值,這種方法一般是不可取的,應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系,進而整體代入求值,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的核心素養(yǎng).設(shè)xr且x0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n(nn*)的個位數(shù)字是()a.2b.5c.6d.7答案dx+x-1=3,當(dāng)n=1時,x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7,當(dāng)n=2時,x4+x-4=(x2+x-2)2-2=72-2=47,當(dāng)n=3時,x8+x-8=(x4+x-4)2-2=472-2=2207,則x2n+x-2n(nn*)的個位數(shù)字是7.課時達標(biāo)訓(xùn)練1.計算:12-1+823+(2019)0=()a.6b.7c.8d.32答案b2.下列各式正確的是()

11、a.8a8=ab.a0=1c.4(-4)4=-4d.5(-)5=-答案d對于a,當(dāng)a為負數(shù)時等式不成立,故不正確;對于b,當(dāng)a=0時,a0無意義,故不正確;對于c,4(-4)4=4,故不正確.故選d.3.若(3-2x)-34有意義,則實數(shù)x的取值范圍是()a.(-,+)b.-,3232,+c.-,32d.32,+答案c要使(3-2x)-34=14(3-2x)3有意義,需使3-2x0,解得x0)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為.答案x56解析x3x2=(xx23)12=x12x2312=x12x13=x12+13=x56.7.化簡:(1)0+2-29412=;(2)(36a9)4(63a9)4(a0)=.答案

12、(1)118(2)a4解析(1)0+2-221412=1+149412=1+1432=118.(2)(36a9)4(63a9)4=(3a96)4(6a3)4=(a963)4(a36)4=a2a2=a4.8.已知2x=8y+1,9y=3x-9,則x+y=.答案27解析由2x=8y+1得2x=23y+3,所以x=3y+3,由9y=3x-9得32y=3x-9,所以2y=x-9,由解得x=21,y=6,所以x+y=27.9.計算下列各式的值:(1)(8)-23(3102)92105;(2)2(323)6+(22)43-41649-12-4280.25+(-2019)0.解析(1)原式=(232)-23

13、(1023)921052=2-110310-52=2-11012=102.(2)原式=2(213312)6+(212214)43-474-214234+1=22233+2-7-2+1=210.10.(多選)下列各式中正確的是()a.nm7=n7m17b.12(-3)4=33c.4x3+y3=(x+y)34d.39=33答案bdnm7=n7m-7,a錯誤;12(-3)4=313=33,b正確;4x3+y3=(x3+y3)14,c錯誤;39=(913)12=(912)13=33,d正確.故選bd.11.x=1+2b,y=1+2-b,則y=()a.x+1x-1b.x-1xc.x-1x+1d.xx-1

14、答案dx=1+2b,2b=x-1.y=1+2-b=1+12b=2b+12b=xx-1.12.化簡(1+2-132)(1+2-116)(1+2-18)(1+2-14)(1+2-12)的結(jié)果是()a.(1-2-132)-1b.12(1-2-132)-1c.1-2-132d.12(1-2-132)答案b因為(1+2-132)(1-2-132)=1-2-116,故將原式化為分?jǐn)?shù)形式,并且分子、分母同乘(1-2-132),得原式=(1-2-12)(1+2-12)1-2-132=1-2-11-2-132=12(1-2-132)-1.故選b.13.已知實數(shù)x滿足x2-3x+1=0,則x2+x-2=;x32-

15、x-32x12-x-12=.答案7;4解析因為實數(shù)x滿足x2-3x+1=0,所以x2+1=3x,即x+x-1=3,兩邊平方,得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.又x32-x-32x12-x-12=(x12)3-(x-12)3x12-x-12=(x12-x-12)(x+1+x-1)x12-x-12=x+x-1+1=4.14.若x0,y0,且x-xy-2y=0,求2x-xyy+2xy的值.解析x-xy-2y=0,x0,y0,(x)2-xy-2(y)2=0,(x+y)(x-2y)=0,由x0,y0得x+y0,x-2y=0,x=4y,2x-xyy+2xy=8y-2yy+4y=65.15.若a,b,c為正實數(shù),ax=by=cz,1x+1y+1z=0,則abc=.答案1解析設(shè)ax=by=cz=k,則k0,則a=k1x,b=k1y,c