勾股定理典型例題歸類總結(jié)材料

1、9已知RtABC的周長(zhǎng)為'- f，其中斜邊-，求這個(gè)三角形的面積。10.如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來(lái)說(shuō)，勾股定理可以推廣(1)如圖，以RtABC的三邊長(zhǎng)為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的面積3、S2、S3之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由。(2 )如圖，以Rt ABC的三邊長(zhǎng)為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積3、S2、Ss之間有何關(guān)系?(3 )如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180。，請(qǐng)?zhí)接憙蓚€(gè)陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。(此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例1.如果梯子的底端離建

2、筑物 9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?跟蹤練習(xí)：1. 如圖(8)，水池中離岸邊 D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度 AC.5米，消防車的云梯最大升2座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端長(zhǎng)為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A、12 米 B、 13 米C、 14 米D、 15 米3.如圖，有兩顆樹(shù)，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹(shù)相距8米一只鳥(niǎo)從一顆樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一顆樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行（）-AB那么 DEF是直角4題型三：勾股定理和逆定理并用

3、例3.如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB 三角形嗎？為什么?注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。 跟蹤練習(xí)：1.如圖，正方形 ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)CD邊上一點(diǎn)，且 DF=3CF，求證：/ AEF=90題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例1落在4在邊CD上取一點(diǎn)E,將ADE折疊使點(diǎn)D恰好1 圖 4，已知長(zhǎng)方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm, 求CE的長(zhǎng).C跟蹤練習(xí)：1.如圖，將一個(gè)有45度角的三角板頂點(diǎn) C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)B在紙帶的另邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30。角，求三

4、角板的最大邊 AB的長(zhǎng).2. 如圖，在 ABC 中，AB=BC，/ABC=90 °,D 為 AC 的中點(diǎn)，DE 丄 DF，交 AB 于 E,交 BC 于 F, ( 1) 求證：BE=CF; (2 )若 AE=3 , CF=1，求 EF 的長(zhǎng).3.如圖，CA=CB,CD=CE, ZACB= ZECD=90,D為AB邊上的一點(diǎn) 若AD=1 , BD=3，求CD的長(zhǎng).題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直一一例1.有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？跟蹤練習(xí)：1.如圖，每個(gè)小

5、正方形的邊長(zhǎng)都是 1 , KBC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,s并說(shuō)明理由.（1 ）求證：/ ABD=90 ° （2 ）求四個(gè)加的值2.下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（)1 1 1A、9, 12 , 15B、7,24,25C、戲劭D、，札,3. 在AABC 中，下列說(shuō)法/ B= ZC- ZA ，' -： A -":;/A: /B:/C=3 : 4 : 5 :a:b:c=5:4:3 ;，:=1:2:3，其中能判斷 ABC為直角三角形的條件有（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè) D、5個(gè)4. 在ABC中，/A、/B、/C的對(duì)邊分別是a、b、c.判斷下列三

6、角形是否為直角三角形？并判斷哪一個(gè)是直角?(1 ) a=26 , b=10 , c=24;(2) a=5 , b=7 , c=9; (3) a=2，匚二 U,：涉A、2個(gè) B、3個(gè)C、4個(gè) D、5個(gè)5. 已知ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,且滿足（曠 鼠廣：岸"'.卜坨一匚 則此時(shí)三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形 D、銳角三角形2 26. 在AABC 中，若 a= n 1，b=2n，c= n 1，則AABC 是(A、銳角三角形 B、鈍角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7. 如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC是（A、直角三角形 B、銳角三角形C、鈍角三角形

7、D、銳角三角形或鈍角三角形8. 已知在 ABC中，/A、/B、/C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（A、如果/ C- ZB= /A,那么/C=90B、如果/ C=90 °，那么人一臚 aC、如果（a+b ） （a-b ）=，那么/A=90 °D、如果/ A=30 °，那么AC=2BC9. 已知AABC的三邊分別為a，b，c，且a+b=3 ，ab=1，一*尋，求云-卜滬的值，試判斷 ABC的形狀,并說(shuō)明理由10. 觀察下列各式:臚卜尸=，尸卜2 =；，L護(hù)一汐一館，滬i.;f =才，根據(jù)其中規(guī)律,寫(xiě)出下一個(gè)式子為 11. 已知，m > n，m、n為

8、正整數(shù)，以m2 -，2mn，為邊的三角形是三角形.12. 一個(gè)直角三角形的三邊分別為n+1，n-1，8，其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時(shí)，三角形為直角三角形？ 題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題:ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=2,PB= 2.3 ,PC=4,求ABC 的邊長(zhǎng).跟蹤練習(xí)1. 如圖,ABC為等腰直角三角形，/BAC=90 ° E、F是BC上的點(diǎn)，且/EAF=45 °試探究BE2、CF 2、EF 2間的關(guān)系，并說(shuō)明理由題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題 例題7.如圖，矩形紙片 ABCD的邊AB=10cm , BC=6cm , E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿 AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng)

9、.跟蹤練習(xí)1.如圖，AD是ABC的中線，/ ADC=45。，把公DC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置，BC=4, 求BC '的長(zhǎng).（一）折疊直角三角形1.如圖，在 ABC中，/A = 90。，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，沿 CD折疊AABC，點(diǎn)A恰好落在 BC邊上的A處,AB=4 , AC=3，求 BD 的長(zhǎng)。/B=90,AB=3 , AC=5 .將ABC折疊使C與A重合，折痕為 DE,求BE的長(zhǎng).（二）折疊長(zhǎng)方形1.如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AB=4，BC=5，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿折痕 AF折疊，點(diǎn)D恰好落在BC上的點(diǎn)E處，求CF的長(zhǎng)。2. 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=8c

10、m , AB=4cm ,沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與C'重合.（1）求DE的長(zhǎng)；（2）求折痕EF的長(zhǎng).3. （2013 ?常德）如圖，將長(zhǎng)方形紙片 ABCD折疊，使邊CD落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且D點(diǎn)落在對(duì)角線 D'處.若AB=3 , AD=4，則ED的長(zhǎng)為（4. 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AB=6 , AD=8 ,沿BD折疊使 A到A '處DA '交BC于F點(diǎn).（1 ）求證：FB=FE（2 ）求證：CA ' BD（3 ）求DBF的面積7.如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將ADE沿AE對(duì)折至 AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,G為D

11、EBC的中點(diǎn)，連結(jié) AG、CF. ( 1)求證：AG /CF; (2)求匚：/的值.DEnJ3-Gc題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路 MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn) A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的 距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方 向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？例2輛裝滿貨物高為1.8米，寬1.5米的卡車要通過(guò)一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過(guò)嗎？跟蹤練習(xí):1. 某市氣象臺(tái)測(cè)得一熱帶風(fēng)暴中

12、心從A城正西方向300 km處，以每小時(shí)26 km的速度向北偏東 60 °方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心200 km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。 試問(wèn)A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請(qǐng)求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒(méi)有受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由。JOA2輛裝滿貨物的卡車工廠的廠門？，其外形高2.5米，寬1.6米,要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該3.有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm數(shù)）的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整4.如圖，鐵路上 A，DA=15km,CB=10kmB兩點(diǎn)相距 25km , C, D 為兩村莊， DA丄AB于 A , CB丄AB于 B,已知,

13、現(xiàn)在要在鐵路 AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站 E,使得C, D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處?題型九：關(guān)于最短性問(wèn)題 例1、如右圖1 - 19，壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正 上方油罐上邊緣的 B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線，而 是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)？（n取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）例2.跟蹤練習(xí):1. 如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其

14、邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面 A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？2. 如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)， A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到 B點(diǎn)去吃可口的食物請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從 A點(diǎn)出發(fā)，沿 著臺(tái)階面爬到 B點(diǎn)，最短線路是多少？3個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，6cm，12cm, 一只螞蟻想從盒底的 A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn)你4.如圖將一根13.5厘米長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中, 能全部放進(jìn)去嗎?題型十：勾股定理與特殊角（一）直接運(yùn)用30

15、° 或45 °的直角三角形1. 如圖，在 ABC中，/ C = 90。，啟=30 °,AD是AABC的角平分線，若 AC= 2.3，求AD的長(zhǎng)。2. 如圖，在 ABC 中，/ACB = 90 ° ,AD 是ABC 的角平分線，CD 丄 AB 于 D，/A= 30 ° , CD=2，求 AB3. 如圖，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D，/B= 60 °,/C= 45 ° ,AC=2，求 BD 的長(zhǎng)。(二) 作垂線構(gòu)造30 ° 或45 °的直角三角形(1 ) 將 105 ° 轉(zhuǎn)化為 45 &#

16、176; 和60 °1. 如圖，在 ABC 中，/ B= 45 ° ,jA=105 °, AC=2，求 BC 的長(zhǎng)。2. 如圖，在四邊形 ABCD 中，/ A= ZC= 45 ° ,ZADB= ZABC=105。，若 AD=2,求 AB的長(zhǎng)；若AB+CD= 2 . 3 +2，求 AB 的長(zhǎng)。(2 )將75 °轉(zhuǎn)化為30 ° 和453. 如圖，在 ABC 中，/ B= 45。，啟AC=75 ° , AB= 6 ，求 BC 的長(zhǎng)。題型十一：運(yùn)用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1.如圖，在 ABC 中，/ C= 90,AD

17、 平分/CAB 交 CB 于 D , CD=3,BD=5 ，求 AD 的長(zhǎng)。2. 如圖，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D，且/CAD=2 /BAD,若 BD=3 , CD=8，求 AB 的長(zhǎng)。（二）巧用“連環(huán)勾”列方程BC=7 , AC= 4 . 2，求 S abc2. 如圖，在 ABC 中，/ ACB= 90 °, CD 丄 AB 于 D, AC=3 , BC=4，求 AD 的長(zhǎng)。3. 如圖，AABC 中，/ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D , AD=1 , BD=4，求 AC 的長(zhǎng)4. 如圖，AABC 中，/ACB=90 ° , CD 丄AB

18、 于 D, CD=3 , BD=4，求 AD 的長(zhǎng)題型十二：勾股定理與分類討論（一） 銳角與鈍角不明時(shí)需分類討論1. 在 AABC 中，AB=AC=5 , 一 ，求 BC 的長(zhǎng)2. 在AABC 中，AB=15，AC=13，AD 為AABC 的高，且 AD=12，求 ABC 的面積。（二）腰和底不明時(shí)需分類討論是等腰三角形，求3. 如圖 1 , ABC 中，/ACB=90 °,AC=6 , BC=8，點(diǎn) D 為射線 AC 上一點(diǎn)，且 ABDABD的周長(zhǎng).(三) 直角邊和斜邊不明時(shí)需分類討論1已知直角三角形兩邊分別為 2和3，則第三邊的長(zhǎng)為 2.在ABC中，/ACB=90 °,

19、AC=4 , BC=2，以AB為邊向外作等腰直角三角形 ABD，求CD的長(zhǎng)3. 如圖，D(2,1),以0D為一邊畫(huà)等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，這樣的等腰三角形能畫(huà)多少個(gè)出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)題型十三：；.-/或丫二詞'可題的證明1.如圖1 , ABC中，CA=CB，/ACB=90 °,D為AB的中點(diǎn)，M、N分別為 AC、BC上一點(diǎn)，且 DM丄DN. (1 )求證：CM+CN= BD(2 )如圖2，若M、N分別在AC、CB的延長(zhǎng)線上，探究 CM、CN、BD之間的數(shù)量關(guān)系式。mi112.已知/BCD= a,/BAD= B, CB=CD. (1)如圖 1，若a= 3=90

20、 °，求證：AB+AD=' AC; (2)如圖 2 ,若= 3=90 °，求證：AB-AD= AC; ( 3)如圖 3，若 a =120 ° , =60 °，求證：AB=AD=； AC ; (4 )如圖 3，若 a = 3=120 °，求證：AB-AD= AC ；朋2題型十四.氏L、.卑電問(wèn)題的證明1.如圖，OA=OB , OC=OD，/AOB= /COD=90 ° ,M、N 分別為 AC、BD 的中點(diǎn)，連 MN、ON.求證: MN= -ON.2.已知 AABC 中，AB=AC，/BAC=90 °,D 為 BC 的中

21、點(diǎn)，AE=CF，連 DE、EF. (1 )如圖 1，若 E、F分別在AB、AC上，求證：EF= ' DE ; (2)如圖2，若E、F分別在BA、AC的延長(zhǎng)線上，則 中的結(jié) 論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.3.如圖，ABD中，0為AB的中點(diǎn)，C為DO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/ ACO=135 °,QDB=45。探究OD、OC、AC之間相等的數(shù)量關(guān)系.4. 如圖，AABD 是等腰直角，/ BAD=90 °,BC/AD , BC=2AB , CE 平分/BCD，交 AB 于 E,交 BD 于H .求證:B KM C(1 ) DC= DA ; (2) BE=、 DH題型十五：勾股定理（逆定

22、理）與網(wǎng)格畫(huà)圖1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1 , A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則/ ABC的度數(shù)為.2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在圖中畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是3,2.，-,且三角形CJ3的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.1，在圖中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，且正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.4. 在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使其內(nèi)部已標(biāo)注的格點(diǎn)只有3 個(gè).4個(gè)三角形中,5. 如圖，在4個(gè)均勻由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這與眾不同的是 的三角形，圖4中最長(zhǎng)邊上的高為 圖】2團(tuán)冬圖J6. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)

23、為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)圖：rHH11V1i0H11i丄丄丄111y:¥I'1«AllL ：11|i|il -"I I» ：r " 1 1FBl1a-*iiiifcJL . -f:I ：I i1Illi till11I(1) (2)(1 )畫(huà)一條線段 MN，使MN二一 ；(2)畫(huà)厶ABC，三邊長(zhǎng)分別為 3，2一 。7. 如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上.(1 )圖1中以AB為腰的等腰三角形有 個(gè)，畫(huà)出其中的一個(gè)，并直接寫(xiě)出其底邊長(zhǎng).(2 )圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有 個(gè)，畫(huà)出其中的一個(gè)，并直接寫(xiě)出其底邊上的高.題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直,AC=7，其求CD的長(zhǎng).1.如圖，在 ABC中，點(diǎn) D為BC邊上一點(diǎn)，且 AB=10 , BD=6 , AD=82.如圖，在四邊形 ABCD中，/ B=90CD=5 , AD=403. 如圖，在 ABC中，AD為BC邊上的中線， AB=5,AC=13,AD=6 ，求BC的長(zhǎng).D