《現(xiàn)代控制理論》第9講：可控性和能控標準型

1、現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論（第（第9講講 2009年年4月月18日）日）可控性可控性/能控性定義能控性定義能控性判據(jù)能控性判據(jù)能控標準型能控標準型自動化教研室自動化教研室 譚功全譚功全四川理工自動化教研室 為什么要有能控性為什么要有能控性/能觀性概念？能觀性概念？ 怎樣更好地了解和控制系統(tǒng)？怎樣更好地了解和控制系統(tǒng)？ 能控性能控性：控制變量對狀態(tài)變量的支配能力如何控制變量對狀態(tài)變量的支配能力如何?從任意初始狀態(tài)出發(fā)，在有限時間內(nèi)，通過施從任意初始狀態(tài)出發(fā)，在有限時間內(nèi)，通過施加控制作用，能否使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移至期望終態(tài)？加控制作用，能否使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移至期望終態(tài)？ 能觀性能觀性：輸出變量對狀態(tài)變量的反

2、映能力如何輸出變量對狀態(tài)變量的反映能力如何?在有限時間內(nèi)，能否由輸出變量的測量值，計在有限時間內(nèi)，能否由輸出變量的測量值，計算出系統(tǒng)的各個狀態(tài)？算出系統(tǒng)的各個狀態(tài)？uxyuxxDCBADCBA：),(四川理工自動化教研室 可控可控/能控性實例猜想能控性實例猜想ubxaxxax222221111)0(1x1x11a1x 2x22a2x )0(2xyu1c2c2b猜想：猜想：x1和和u無直接間接聯(lián)系，無直接間接聯(lián)系，不能用不能用u改變改變x1。 x2和和u有直接聯(lián)系，有直接聯(lián)系，u可可以控制以控制x2。四川理工自動化教研室 可控可控/能控性實例猜想能控性實例猜想ubxaxxaxax22222212

3、1111猜想：猜想：x1和和u無直接聯(lián)系，無直接聯(lián)系，但但通過通過 x2和和u有間接聯(lián)有間接聯(lián)系，系，u也許可以控制也許可以控制x1。)0(1x1x11a1x 2x22a2x )0(四川理工自動化教研室 可控可控/能控性實例猜想能控性實例猜想uxxxx1121122121xi和和u有聯(lián)系就可控嗎？猜想：有聯(lián)系就可控嗎？猜想： 當聯(lián)系的通道不止當聯(lián)系的通道不止一個時，各通道的控制作用之間是否抵消？一個時，各通道的控制作用之間是否抵消？如果抵如果抵消，則會造成消，則會造成u不能控制不能控制xi。)0(1x1x21x 2x22x )0(2xu1111ttttttttAteeeeeeeee333321

4、ttttApduedBuexx0)(0)(21)(11)(狀態(tài)方程中強迫響應(yīng)為狀態(tài)方程中強迫響應(yīng)為)()(21txtxpp強迫響應(yīng)僅是一維的，不能將初態(tài)控制到任意指定態(tài)。強迫響應(yīng)僅是一維的，不能將初態(tài)控制到任意指定態(tài)。四川理工自動化教研室 能控能控/可控性定義可控性定義 在有限時間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始在有限時間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到期望狀態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到期望狀態(tài)? 如果存在一個控制如果存在一個控制u u( (t t) )，能在有限時間間隔，能在有限時間間隔 t to o, ,t tf f 內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)x(x(t to o) )轉(zhuǎn)移到任意指定轉(zhuǎn)移到

5、任意指定的終態(tài)的終態(tài)x(x(t tf f) ) ，則稱此狀態(tài)，則稱此狀態(tài)x(x(t to o) )是完全可控的，簡是完全可控的，簡稱系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個狀態(tài)變量不可控，稱系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個狀態(tài)變量不可控，則系統(tǒng)不可控）。則系統(tǒng)不可控）。 如果所有的初始狀態(tài)都是完全能控的，則稱系如果所有的初始狀態(tài)都是完全能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。四川理工自動化教研室 能控能控/可控性評注可控性評注1. 初態(tài)取狀態(tài)空間任意點，終態(tài)取原點初態(tài)取狀態(tài)空間任意點，終態(tài)取原點，相當于調(diào)節(jié)實現(xiàn)問，相當于調(diào)節(jié)實現(xiàn)問題。初態(tài)取原點，終態(tài)取任意點，相當于跟蹤可實現(xiàn)問題。題。初態(tài)取原點

6、，終態(tài)取任意點，相當于跟蹤可實現(xiàn)問題。2. 對線性定常系統(tǒng)說來，對線性定常系統(tǒng)說來，調(diào)節(jié)問題調(diào)節(jié)問題與跟蹤問題等價。與跟蹤問題等價。3. 對于時變系統(tǒng)，可控的時間區(qū)間大小與初始時刻有關(guān)，對定對于時變系統(tǒng)，可控的時間區(qū)間大小與初始時刻有關(guān)，對定常系統(tǒng)，可控時間區(qū)間與初始時刻無關(guān)。故后者不必強調(diào)特常系統(tǒng)，可控時間區(qū)間與初始時刻無關(guān)。故后者不必強調(diào)特定時間段。定時間段。4. 定義中的定義中的u是沒有限制條件的。是沒有限制條件的。5. 對線性系統(tǒng)作非奇異線性變換（也就是坐標變換），狀態(tài)空對線性系統(tǒng)作非奇異線性變換（也就是坐標變換），狀態(tài)空間的原點不變。狀態(tài)空間中某一點在變換前后分別為間的原點不變。狀態(tài)

7、空間中某一點在變換前后分別為x和和x，則則u在有限時間內(nèi)把在有限時間內(nèi)把x轉(zhuǎn)移到原點也就意味著同樣的轉(zhuǎn)移到原點也就意味著同樣的u可以把可以把x轉(zhuǎn)移到原點。即非奇異變換不改變系統(tǒng)的可控性。轉(zhuǎn)移到原點。即非奇異變換不改變系統(tǒng)的可控性。6. 對不完全可控系統(tǒng)，狀態(tài)空間可以分解為可控狀態(tài)子空間及對不完全可控系統(tǒng)，狀態(tài)空間可以分解為可控狀態(tài)子空間及其正交補空間（不可控狀態(tài)子空間）。其正交補空間（不可控狀態(tài)子空間）。7. 外擾不影響系統(tǒng)的可控性，輸出不涉及可控性。外擾不影響系統(tǒng)的可控性，輸出不涉及可控性。四川理工自動化教研室 對角陣中的能控對角陣中的能控/可控性模態(tài)可控性模態(tài)ubb2121xx1x11x

8、2x22x ) 0 (2xu2b) 0(1x1bubxxubxx22221111同理。為不可控模態(tài)。不可控，稱時為可控模態(tài)；稱自有響應(yīng)可控，時。顯然，、對211112111001xexbexbtt控。維空間，顯然系統(tǒng)不可維的，不能充滿整個是維，其坐標滿足可控子空間為是響應(yīng)分量之比永遠。則兩模態(tài)相同，強迫、對21:1,:321212121bbxxbb意指定狀態(tài)。對任意初態(tài)可控制到任皆可控，和不為零時，和。當、對四川理工自動化教研室 約當塊中的能控約當塊中的能控/可控性模態(tài)可控性模態(tài)ubb211xxubxxubxxx2221211為不可控模態(tài)。不可控，稱時為可控模態(tài)；可控，稱時、對ttexbexb

9、2222001是可控的。仍然存在，故系統(tǒng)仍然響，模態(tài)受兩個通道影，則都可控；若和應(yīng)模態(tài)間接影響，兩自由響受，則時。若、ttttexbteexxbb11211200021x1x 2x2x ) 0 (2xu2b) 0(四川理工自動化教研室 Agenda 能控性能控性/可控性定義可控性定義 能控性能控性/可控性判據(jù)可控性判據(jù) 變換為能控變換為能控/可控標準型可控標準型四川理工自動化教研室 能控性判別矩陣能控性判別矩陣LTI連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是定義能控性判別矩陣定義能控性判別矩陣 思考思考：單輸入、多輸入情況下能控矩陣的維數(shù)：單輸入、多輸入情況下

10、能控矩陣的維數(shù)分別是什么？分別是什么？n 是系統(tǒng)的階數(shù)是系統(tǒng)的階數(shù)uxyuxxDCBADCBA：),(12BABAABBQnCnrankQC四川理工自動化教研室 判斷對角型是否能控？判斷對角型是否能控？70021)05050017u xx70002)05050017u xx12700013)0504000175uu xx12700004)0504000175uu xx各個特征值不同各個特征值不同輸入矩陣中每行都不為零，系統(tǒng)能控。輸入矩陣中每行都不為零，系統(tǒng)能控。四川理工自動化教研室 例題：求使系統(tǒng)能控的參數(shù)例題：求使系統(tǒng)能控的參數(shù)11 1221 211 122221 22det0 ccbbbb

11、bbbbbbbb QbAbQ系統(tǒng)狀態(tài)方程已知。當系統(tǒng)狀態(tài)方程已知。當輸入矩陣如何取值時，輸入矩陣如何取值時，系統(tǒng)能控？系統(tǒng)能控？時系統(tǒng)能控時系統(tǒng)能控四川理工自動化教研室 判斷判斷Jordan型是否能控？型是否能控？ 要求：各個要求：各個Jordan塊對應(yīng)的特征值不同塊對應(yīng)的特征值不同 找到每個找到每個Jordan塊的最后一行，找出輸入矩陣中與塊的最后一行，找出輸入矩陣中與之對應(yīng)的行之對應(yīng)的行 如果輸入矩陣中對應(yīng)的行不全為零，系統(tǒng)能控。如果輸入矩陣中對應(yīng)的行不全為零，系統(tǒng)能控。41001)04040023u xx12410422)0400000230uu 四川理工自動化教研室 Agenda 能控

12、性能控性/可控性定義可控性定義 能控性能控性/可控性判據(jù)可控性判據(jù) 變換為能控變換為能控/可控標準型可控標準型四川理工自動化教研室 第二能控標準型第二能控標準型4321043210,10000,10000010000010000010bbbbbaaaaaAcb3*2*1*12*1*101*10010001000044444aaaaAAQCbbb系統(tǒng)能控, 5CrankQ01223344501223344)()(asasasasasbsbsbsbsbsUsY四川理工自動化教研室 第一能控標準型第一能控標準型TTTTAAaaaaaAbccbcb00001,100000100000100000105

13、432143210系統(tǒng)能控, 5CQrank01223344501223344)()(asasasasasbsbsbsbsbsUsY5432143210,00001,10000100001000010000TaaaaaAcb1000001000001000001000001CQ四川理工自動化教研室 狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)能控性狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)能控性狀態(tài)變換狀態(tài)變換cxbxxyuAxxPxcbxxyuAxcbxxPyuPAPP11ccccQrankrankQQPQ1bbbb12ncAAAQbbbb12ncAAAQbbbmmAPPAPPAPPA1111)()(四川理工自動化教研室 狀態(tài)變換圖示狀態(tài)變

14、換圖示bcAx uyxbcAxuyP1P1PP四川理工自動化教研室 能控系統(tǒng)可化為能控標準型能控系統(tǒng)可化為能控標準型 如果系統(tǒng)能控，則一定能通過狀態(tài)變換，將如果系統(tǒng)能控，則一定能通過狀態(tài)變換，將系統(tǒng)化為能控標準型系統(tǒng)化為能控標準型系統(tǒng)能控，即能控陣滿秩系統(tǒng)能控，即能控陣滿秩一定存在非奇異的線性變換一定存在非奇異的線性變換x = Px 使得變換后的系統(tǒng)使得變換后的系統(tǒng)成為能控標準型成為能控標準型cxbxxSISOyuAbbbb12ncAAAQxcbxxPyuPAPP四川理工自動化教研室 變換為第一能控標準型變換為第一能控標準型1、求能控陣、求能控陣2、第一能控標準型為：、第一能控標準型為：PPA

15、PPAccbb11111cxbxxyuAbbbb12nCAAAQP四川理工自動化教研室 變換為第二能控標準型變換為第二能控標準型1、求能控陣、求能控陣3、計算變換矩陣、計算變換矩陣PPAPPAccbb21212,bbbbAAAQnC212、求特征多項式、求特征多項式012211)(ssssAsIsnnn4、計算第二能控標準型、計算第二能控標準型111111nnCQP四川理工自動化教研室 例題：化為第一能控標準型例題：化為第一能控標準型求能控標準型求能控標準型011,101,4142cbA解：解：1641810421,1684,4122cQPAAbbTPPAPTPA1231,001,四川理工自動化教研室 例題：化為第二能控標準型例題：化為第二能控標準型323210)det(,1684,412232sssAsIAAbb168012181611032