數(shù)字信號處理 答案 第二章

1、第二章2.1 判斷下列序列是否是周期序列。若是，請確定它的最小周期。（1）x(n)=Acos()（2）x(n)=（3）x(n)=Asin()解 (1)對照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，得出。因此是有理數(shù)，所以是周期序列。最小周期等于N=。 （2）對照復(fù)指數(shù)序列的一般公式x(n)=expn,得出。因此是無理數(shù)，所以不是周期序列。 （3）對照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，又x(n)=Asin()Acos()Acos()，得出。因此是有理數(shù)，所以是周期序列。最小周期等于N=2.2在圖2.2中，x(n)和h(n)分別是線性非移變系統(tǒng)的輸入和單位取樣響應(yīng)。計算并列的x(n)和

2、h(n)的線性卷積以得到系統(tǒng)的輸出y(n)，并畫出y(n)的圖形。解 利用線性卷積公式y(tǒng)(n)=按照折疊、移位、相乘、相加、的作圖方法，計算y(n)的每一個取樣值。(a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n2(b) x(n)=2(n)-(n-1) h(n)=-(n)+2(n-1)+ (n-2)y(n)=-2(n)+5(n-1)= (n-3)(c) y(n)= =u(n)2.3 計算線性線性卷積(1) y(n)=u(n)*u(n)(2) y(n)=u(n)*u(n)解：(1

3、) y(n)= =(n+1),n0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= =,n0即y(n)=u(n)2.4 圖P2.4所示的是單位取樣響應(yīng)分別為h(n)和h(n)的兩個線性非移變系統(tǒng)的級聯(lián)，已知x(n)=u(n), h(n)=(n)-(n-4), h(n)=au(n),|a|<1,求系統(tǒng)的輸出y(n).解 (n)=x(n)*h(n) =(n-k)-(n-k-4) =u(n)-u(n-4)y(n)=(n)*h(n) =u(n-k)-u(n-k-4) =,n32.5 已知一個線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為h(n)=au(-n),0<a<1 用直接計算線性卷積的方法，

4、求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。2.6 試證明線性卷積滿足交換率、結(jié)合率和加法分配率。證明 （1）交換律X(n) * y(n) = 令k=n-t,所以t=n-k,又-<k<,所以-<t<,因此線性卷積公式變成x(n) * y(n) =y(n) * x(n)交換律得證.(2)結(jié)合律x(n) * y(n) * z(n)= * z(n)=z(n-t)=x(k) y(t-k)z(n-t)=x(k) y(m)z(n-k-m)=x(k)y(n-k) * z(n-k)=x(n) * y(n) * z(n)結(jié)合律得證. (3)加法分配律 x(n) * y(n) + z(n)= x(k)y(n -

5、 k) +z(n - k)=x(k)y(n-k)+ x(k)z(n - k)=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)加法分配律得證.2.7 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)、因果系統(tǒng)。并加以證明(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sinn+(3)y(n)= (4)y(n)= (5)y(n)= x(n)g(n)解 （1）設(shè)y(n)=2x(n)+3,y(n)=2x(n)+3,由于 y(n)=2x(n)+x(n)+3 y(n)+ y(n) =2x(n)+x(n)+6 故系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。 由于y(n-k)=2x(n-k)+3,Tx(n-k)=2x(n

6、-k)+3,因而y(n-k) = Tx(n-k)故該系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。設(shè)|x(n)|M，則有|y(n)|=|2x(n)+3|2M+3|<故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n)，不取決于未來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。（2）設(shè) y1(n)=ax1(n)sinn+ y2(n)=bx2(n)sinn+由于 y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)sinn+=ax1(n)sinn+bx2(n)sinn+=ay1(n)+by2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。由于 y(n-k)=x(n-k)sin(n-k)+Tx(n-k)=x(n-k)sinn+因而有

7、 Tx(n-k)y(n-k)幫該系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。設(shè) |x(n)|M，則有|y(n)|=|x(n)sin(n-k)+|=|x(n)| sin(n-k)+|M|sin(n- k)+|M故系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n),不取決于未來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。（3）設(shè) y1(n)= ，y2(n)=，由于y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)= =a+ b=ay1(n)+by2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。因 y(n-k)= = =Tx(n-t)所以該系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。設(shè) x(n)=M< y(n)= =，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n

8、)，不取決于未來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。（4）設(shè) y1(n)= ，y2(n)=，由于y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)= = a+b=ay1(n)+by2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。因 y(n-k)= = Tx(n-t)= 所以該系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。設(shè)x(n)=M,則y(n)= (n-n)M=,所以該系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。顯而易見，若nn。則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；若n<n。則該因果系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。(5)設(shè)y(n)=x(n)g(n),y(n)=x(n)g(n),由于 y(n)=Tax(n)+bx(n)=(ax(n)+bx(n)g(n) =ax(n)g(n)+b(n)=ay(n)+by(n)故

9、系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。因y(n-k)=x(n-k),而 Tx(n-k)=x(n-k)g(n)y(n-k) 所以系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。 設(shè)|x(n)|M<,則有 |y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以當(dāng)g(n)有限時該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n)，不取決于本來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2.8 討論下列各線性非移變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（1）h(n)=2u(-n) (4) h(n)=()u(n) (2) h(n)=-au(-n-1) (5) h(n)=u(n) (3) h(n)=(n+n), n0 (6) h(n)= 2Ru(n)解 （1）因為在n<

10、;0時，h(n)= 20,故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。 因為S=|h(n)|= |2|=1<，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(2) 因為在n<O時，h(n) 0，故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。 因為S=|h(n)|= | a|=a，故該系統(tǒng)只有在|a|>1時才是穩(wěn)定系統(tǒng)。(3) 因為在n<O時，h(n) 0，故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。 因為S=|h(n)|= |(n+n)|=1<，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(4) 因為在n<O時，h(n)=0，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng) 。 因為S=|h(n)|= |()|<，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(5) 因為在n<O時，h(n)=u(n)=0，故該系統(tǒng)是

11、因果系統(tǒng) 。 因為S=|h(n)|= |u(n)|= =，故該系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。(6) 因為在n<O時，h(n)=0，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng) 。 因為S=|h(n)|= |2|=2-1<，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。2.9 已知y(n)-2cosy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求證y(n)=證明 題給齊次差分方程的特征方程為-2cos·+1=0由特征方程求得特征根=cos+jsin=e,=cos-jsin= e齊次差分方程的通解為y(n)=c+c=ce+ce代入初始條件得y(0)=c+c=0y(1)= ce+ce=1由上兩式得到c=，c=- c=-將c和

12、c代入通解公式，最后得到y(tǒng)(n) =ce+ce=( e+ e)=2.10 已知y(n)+2y(n-1)+(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)解 首先由初始條件求出方程中得系數(shù)a和b由可求出a=-1,b=-8于是原方程為y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0由特征方程280求得特征根4 ，-2齊次差分方程得通解為y(n)=c+c= c4+c(-2)代入初始條件得y(n)= c+c= 4+2=3由上二式得到c，c將c和c代入通解公式，最后得到y(tǒng)(n)=c+c4-(-2) 2.11 用特征根法和遞推法求解下列差分方程：y(n)-y(n-1)-y

13、(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1解 由特征方程10求得特征根，通解為y(n)=c+cc（）c（）代入初始條件得求出c=，c=最后得到通解y(n)= c()+ c()=()-()2.12 一系統(tǒng)的框圖如圖P2.12所示，試求該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)和單位階躍響應(yīng)解 由圖可知y(n)=x(n)+ y(n-1)為求單位取樣響應(yīng)，令x(n)=(n),于是有h(n)= (n)+ h(n-1)由此得到h(n)=u(n)階躍響應(yīng)為y(n)=h(n)*u(n)=y(k)u(n-k)=u(n)2.13 設(shè)序列x(n)的傅立葉變換為X(e),求下列各序列的傅立葉變換解 （1）Fax(n)+bx(n

14、)=aX(e)+bX(e)(2)Fx(n-k)=eX(e)(3)Fex(n)=Xe(4)Fx(-n)=X(e)(5)Fx(n)=X(e)(6)Fx(-n)= X(e)(7)(8)jImx(n)=X(e)-X(e)(9)X(e)*X(e)(10)j2.14 設(shè)一個因果的線性非移變系統(tǒng)由下列差分方程描述y(n)-y(n-1)=x(n)+ x(n-1)(1) 求該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)(2) 用（1）得到的結(jié)果求輸入為x(n)e時系統(tǒng)的響應(yīng)(3) 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(4) 求系統(tǒng)對輸入x(n)=cos(n+)的響應(yīng)解 （1）令X（n）=(n),得到h(n)-h(n-1)/2=(n)+ (n-1)/

15、2由于是因果的線性非移變系統(tǒng)，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+(n)+ (n-1)/2 ,n0遞推計算出h(-1)=0 h(0)=h(-1)/2+(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1h(2)=h(1)/2=1/2h(3)=h(2)=()2h(4)= h(2)=()3 h(n)=(n)+ ()n-1u(n-1)或 h(n)= ()n u(n)-u(n-1)也可將差分方程用單位延遲算子表示成(1-D)h(n)=(1+D)(n)由此得到h(n)=(1+D)/(1-D)(n) =1+D+D2+ ()2 D3+()k-1 D3+ (n) =(n)+ (n-1)+ (n-2)+(n-3

16、)+. +()k-1(n-1)+ =(n)+ ()nu(n-1) 2）將代入得到（3）由（2）得出（4）由（3）可知故：2.15 某一因果線性非移變系統(tǒng)由下列差分方程描述y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)試確定能使系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)的b值（ba），所謂全通系統(tǒng)是指其頻率響應(yīng)的模為與頻率無關(guān)的常數(shù)的系統(tǒng)。解：令x(n)= (n),則h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1)或h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n0由于是線性的非移變系統(tǒng)，故對上式遞推計算得出： h(-1)=0 h(0)=1 h(1)=ah(0)-b(0)=a-b h(2)=ah(1)=-ab h

17、(3)=ah(2)=-b h(n)=ah(n-1)=-b,n0 h(n)=u(n)-bu(n-1)或系統(tǒng)的頻率特性為H()= = = = 振幅的特性平方= = =若選取a或b，則有|H(e)|=|b|,即幅度響應(yīng)等于與頻率響應(yīng)無關(guān)的常數(shù)，故該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。2.16 (1)一個線性非移變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(n)=au(n),其中a為實數(shù)，且0<a<1。設(shè)輸入為x(n)= u(n), 為實數(shù)，且0<<1.試利用線性卷積計算系統(tǒng)的輸出y(n),并將結(jié)果寫成下列形式y(tǒng)(n)=(ka+k)u(n)(2)分別計算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立葉變換X(e)、

18、H(e)、Y(e)，并證明Y(e)=H(e)X(e)解 (1)y(n)= = = =-+，n0 y(n)=( -)u(n) (2)X()=- H(e)= Y(e)= =(-)由于 (-) =X(e)H(e) 故得出 Y(e)=H(e)X(e)2.17 令x(n)和X(e)分別表示一個序號及其傅立葉變換，證明：此式是帕塞瓦爾（Parseval）定理的一種形式。證明：證法一 2.18 當(dāng)需要對帶限模擬信號濾波時，經(jīng)常采用數(shù)字濾波器，如圖P2.18所示，圖中T表示取樣周期，假設(shè)T很小，足以防止混疊失真，把從x(t)到y(tǒng)(t)的整個系統(tǒng)等效成一個模擬濾波器。（1）如果數(shù)字濾波器h（n）的截止頻率等于r

19、ad，10kHz，求整個系統(tǒng)的截止頻率，并求出理想低通濾波器的截止頻率（2）對20kHz，重復(fù)（1）的計算解 理想低通濾波器的截止頻率（弧度/秒）折合成數(shù)字域頻率為（弧度），它比數(shù)字濾波器h（n）的截止頻率（弧度）要大，故整個系統(tǒng)的截止頻率由數(shù)字濾波器h(n)的截止頻率（弧度）來決定。將其換算成實際頻率，即將10000Hz帶入，便得到625 Hz理想低通濾波器的截止頻率（弧度/秒）換算成實際頻率使得到，即由2，得到=500 Hz2.19 求下列序列的Z變換和收斂域（1）（nm）（2）（3）au(-n-1)（4）（5）cos()u(n)解：（1）X(z)n=z-nm當(dāng)m>0時，x(n)是因

20、果序列，收斂域為0<z，無零點，極點為0(m階); 當(dāng)m<0時，x(n)是逆因果序列，收斂域為0z，零點為0(m階)，無極點; 當(dāng)m=0, X(z)1，收斂域為0z，既無零點，也無極點（2）X(z)u(n)z-n=X(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為R的圓的外部區(qū)域，這里 R（n）還是因果序列，可以有z，故收斂域為<z。零點為0，極點為。X(n)還是因果序列，可以有z，故收斂域為<z。零點為0，極點為。（3）x(z)= =X(n)是左邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑圍+的圓的內(nèi)部區(qū)域，這里+=還是逆因果序列，可以有，故收斂域為零點為0，極點為。(4)X(z)z

21、-n = z-n=X(n)是有限長序列，且它的Z變換只有負冪項，故收斂域為0<z.零點為0和（10階），極點為。（5） 是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為的圓的外部區(qū)域，這里1還是因果序列，可以有，故收斂域為，零點為0和，極點為和。2.20求下列序列的Z變換和收斂域和零極點分布圖(1) x(n)=a,0<a<1(2) x(n)=eu(n)(3) x(n)=Arcos()u(n),0<r<1(4) x(n)=u(n)(5) x(n)=sin()u(n)（1）X(z)= = = X(n)是雙邊序列，可看成是由一個因果序列（收斂域）和一個因果序列（收斂域）相加組成，

22、故X(z)的收斂域是這兩個收斂域的重疊部分，即圓環(huán)區(qū)域。零點為0和，極點為和。(2) =X(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為的圓的外部區(qū)域，這里X(n)還是右邊序列，可以有，故收斂域為。零點為0,極點為。（3）X(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為的圓的外部區(qū)域，這里還是因果序列，可以有 ，故收斂域為 。零點為0和 ，極點為 和 （4） X(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為的圓的外部區(qū)域，這里X(n)還是因果序列，可以有 ，故收斂域為 ，無零點，極點為0。 (5)X(z)= 是右邊序列,它的Z變換收斂域是半徑為的圓的外部象區(qū)域,這里還是因果序列,大故收斂域為.零點為

23、0和.極點為和.2.21 用三種方法求下列Z變化的逆變換（1）X(Z)=,|Z|<（2）X(Z)=, |Z|>（3）X(Z)=,|Z|>|a|解（1）采用冪級數(shù)法。由收斂域課確定x（n）是左邊序列。又因為1為有限值，所以x（n）是逆因果序列。用長除法將X（z）展開成正冪級數(shù)，即最后得到x（n）-2（-2），n-1，-2，-3或x（n）（2）采用部分分式展開法。將X(z)展開陳部分分式其中由收斂域可確定X(n)式右邊序列。又因1，所以X(n)還是因果序列。用長除法分別將展開成負冪級數(shù)，即4=-3=由上兩式得到（3）采用留數(shù)定理法。圍線積分的被積函數(shù)為當(dāng)n>0時，由給定的收

24、斂域可知，被積函數(shù)在圍線之內(nèi)僅有一個極點，因此當(dāng)n=0時，被積函數(shù)在圍線之內(nèi)有兩個極點和z0，因此當(dāng)n<0時，因為在圍線之外無極點，且在z處有1n2階極點，所以有0，n<0最后解得2.22 求下列Z變換的逆變換(1)X（z）=，1<|z|<2(2)X(z)=,0.5<|z|<2(3)X(z)=,|z|>(4)X(z)=,|a|<|z|<|b|解（4）采用部分分式法 根據(jù)收斂域和分別對應(yīng)一個因果序列和逆因果序列。將它們分別展開成的負冪級數(shù)和正冪級數(shù)，即 最后得到 用留數(shù)定理法,被積函數(shù)根據(jù)收斂域可知,對應(yīng)的是一個雙邊序列.其中對應(yīng)于一個因果序

25、列 , 即n<0時,時,被積函數(shù)有1個極點0.5在圍線內(nèi),故得 |z|<2對應(yīng)于一個逆因果序列，即n0時，x(n)=0;n<0時，被積函數(shù)在圍線外有1個極點2，且分母多項式的階比分子多項式的階高2（n1）1-n2，故得最后得到或 采用留數(shù)定理法，被積函數(shù)根據(jù)收斂域可以知道，對應(yīng)的序列是一個因果序列。即n<0時， 在時，在時，被積函數(shù)在積分圍線內(nèi)有1個2階極點 ，因此最后得到或（7）由收斂域可知，對應(yīng)的是一個雙邊序列。將進行部分分式分解，即 =其中 對于，收斂條件|Z| 表明它對應(yīng)于一個右邊序列；又因=1有限值，所以應(yīng)于一個逆因果序列。用長除法將展開成的正冪級數(shù)，即由此得

26、到 對于，收斂條件|Z|<b表明它對應(yīng)于一個左邊序列又因=0為有限值,所以對應(yīng)于一個逆因果序列。用長除法將展開成的正冪級數(shù)，即由此得到 =最后得到 2.23 求X（Z），0<|z|<,的逆變換解 將展開成冪級數(shù)2.24 試確定X(z)=z是否代表某個序列得Z變換，請說明理由解 不能，因為，如果X（z）能代表某個序列得Z變換，則X（z）必須在收斂域內(nèi)試解析函數(shù)。但是，現(xiàn)在x（z）u（x，y）jv（x，y）zxjy，顯然有，即X（z）不滿足柯西黎曼！方程，因此X（z）不是解析函數(shù)，故X（z）不能代表某個序列得Z變換。2.25 如果X（z）是x(n)得Z變換，證明：（1）zX(z)

27、是x(n-m)的Z變換（2）X(az)是ax(n)的Z變換（3）是nx(n)的Z變換2.26證明(1)(2)(3)(4)2.27解其中 由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W(z)的收斂域為|z|>1。這樣，的收斂域應(yīng)為|z|>1，而的收斂域為|z|>a。這意味著和都對應(yīng)于因果序列，因此可用長除法分別將和展開成z的負冪級數(shù)，即由上二式得到，最后得到2.29(1)因為系統(tǒng)是因果的，所以收斂域為；為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須要求收斂域包含單位圓，即要求。極點為，零點為，收斂域。極零點圖和收斂域示于圖1.7。 (2) 因此得到，即系統(tǒng)的幅度特性為一常數(shù)，

28、所以該系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。2.30(1)根據(jù)極零點圖得到x(n)的Z變換因傅里葉變換收斂，所以單位圓在收斂域內(nèi)，因而收斂域為。故x(n)是雙邊序列。 (2)因為x(n)是雙邊序列，所以它的Z變換的收斂域是一個圓環(huán)。根據(jù)極點分布情況，收斂域有兩種可能：或。 采用留數(shù)定理法求對應(yīng)的序列。被積函數(shù)為 對于收斂域，被積函數(shù)有1個極點在積分圍線內(nèi)，故得 被積函數(shù)有2個極點和在積分圍線外，又因分母多項式的階比分子多項式的階高(因n<0)，故 最后得到 或 對于收斂域，被積函數(shù)有2個極點和在積分圍線內(nèi)，故 被積函數(shù)有1個極點在積分圍線外，又因分母多項式的階比分子多項式的階高(因n<0)，故 最后得 2.31因系統(tǒng)穩(wěn)定，所以單位圓必須在收斂域內(nèi)。由于系統(tǒng)的極點為，所以收斂域為。因，故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。2.32(1)，所以系統(tǒng)函數(shù)為頻率響應(yīng)為 (2)由可寫出系統(tǒng)的差分方程 (3)當(dāng)x(n)為單位階躍序列時，將代入，得到采用部分分式法：其中 由，得到 由，得到 因此系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 2.33(1)求差分方程兩邊的z變換 由上式得到系統(tǒng)函數(shù) 求系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點 其中，零點為0；極點為和。由此可畫出極零點圖，如圖1.9所示。已知系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，