24隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1021

1、 第二章第二章第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) yf x隱函數(shù)的顯化 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :問題問題: :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?( )yf x表示的函數(shù)稱為顯函數(shù). 1.1.定義定義: :如果變量 和 滿足一個(gè)方程 ，在一定條件下，當(dāng) 取區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)的總有滿足這一方程的唯一的 值存在，就說方程 在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)

2、隱函數(shù)。xy,0f x y yx,0f x y ,0f x y 方程兩邊分別對 x 求導(dǎo); 2ecos0yx yxy如一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 例例1 1 求由 所確定的隱函數(shù) y 的導(dǎo)數(shù) 310 xy d.dyx解： 兩邊對 x 求導(dǎo)，得 1d0dyx23y2d1d3yxy 解： 兩邊對 x 求導(dǎo)，得 例例2 2 求由 所確定函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 和 ee0yxyddyx0ddxyx0eyddyxyddyxx解得 ddeyyyxx 0d1dexyx 1yee0y0 x 時(shí)， e0yx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 練習(xí)練習(xí) 求由

3、所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). arctanyxy解： y 21xy1y兩邊對 x 求導(dǎo)，得 21yxy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 2.2.對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 先在方程兩邊取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求解適用范圍適用范圍: : 多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函數(shù) 的情形的情形 v xu x解: 兩邊取對數(shù)得lnsinlnyxx兩邊對 x 求導(dǎo) 1yycoslnxxsinxxsinsincoslnxxyxxxxsin0 xyxx例例3 3 求 的導(dǎo)數(shù). 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 3.3.求二階導(dǎo)數(shù)求二階導(dǎo)數(shù) 1eyyx 例例4 4 求 由 所確定的隱函

4、數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). 解： 兩邊對 x 求導(dǎo)，得 y e1eyyyxyeyxey 式兩邊繼續(xù)求導(dǎo)，得 eyx23e31eyyyx23e2e1eyyyxxeyy22ee1eyyyyxyyxy eyy eyy2eyxyy整理得 21eyxyx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 如 22xtyt2xt 222xyt24x12yx問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)? 消去參數(shù) t( )( )xtyt若參數(shù)方程 確定 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系，稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù). 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 1

5、( )yx 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得 ddddddyytxtxd1dddyxtt tt( )( )xtyt在方程 中 xt 1tx設(shè)函數(shù) 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù) ,xtyt( )0t再設(shè)函數(shù) 都可導(dǎo)，且 ddddytxt 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 解： ddddddyytxxtsin1 costtsincosataat2sind2d1 cos2tyx1(sin )(1cos )xa ttyat2t例例6 6 求擺線 在 處的切線方程. 12yaxa22yxa即 12xa2t當(dāng) 時(shí)， ya 所求切線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 22ddddddyyxxx

6、 ddddtttxt2( )( )( )( )( )( )tttttt223d( )( )( )( )d( )yttttxt ddxttyxt ( )( )xtyt若函數(shù) 二階可導(dǎo)， 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 例例7 7 求由 所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). 3e2ettxy 解： ddyx34e9t1e3t 24e3t 1ddxtddddyxt22ddyx22e3t 2et3etddddytxt 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) ,xx tyy t為兩可導(dǎo)函數(shù) yx ,之間有聯(lián)系 tytxdd,dd之間也有聯(lián)系 稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率 相關(guān)變化率問題解法: 找出相關(guān)

7、變量的關(guān)系式 對 t 求導(dǎo) 得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式 求出未知的相關(guān)變化率 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 加率是多少? 500h解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則 tan500h兩邊對 t 求導(dǎo)2secddt1 d500 dht已知d140m min,dht h = 500m 時(shí),tan1,2sec2ddt111402 5000.14rad/min例例9 9 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升，速率 當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí), 觀察員視線的仰角增140m min , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo); ;對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù), ,按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)按隱函數(shù)的求