25函數(shù)的微分

1、1微分的定義微分的定義微分的幾何意義微分的幾何意義微分公式與運(yùn)算法則微分公式與運(yùn)算法則小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)2.5 函數(shù)的微分函數(shù)的微分(differential)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用2導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)微分微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分表示函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量所引起表示函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量所引起的函數(shù)變化的快慢程度的函數(shù)變化的快慢程度.是函數(shù)在一點(diǎn)處由于自變量微小變化是函數(shù)在一點(diǎn)處由于自變量微小變化所引起的改變量的近似值所引起的改變量的近似值.有著密切的聯(lián)系有著密切的聯(lián)系.3正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xa 0 x0 x,00 x

2、xx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xa 正方形面積正方形面積2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且為且為 a x )1()2(x x 2)( x 1.問(wèn)題的引出問(wèn)題的引出實(shí)例實(shí)例x 線性函數(shù)線性函數(shù)(linear function)xx 0 xx 0一、微分的定義一、微分的定義的線性的線性(一次一次)函數(shù)函數(shù),x 當(dāng)當(dāng),的次要部分的次要部分且為且為 a 很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略.2,0 xxax 很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無(wú)窮小的高階無(wú)窮小,xxa02即).( xo 4),(xfy 對(duì)對(duì)一一般般函函數(shù)數(shù),的常數(shù)的常數(shù)是不依賴于是不依賴于其中其中xa x

3、ay , 0 a當(dāng)當(dāng)yxa 滿足滿足如果如果)(xfy y 一定條件一定條件,的的是是因此因此xxa 之差之差且它與且它與 y 線性函數(shù)線性函數(shù), 對(duì)一般函數(shù)對(duì)一般函數(shù)則無(wú)論在理論分析上還是在實(shí)際則無(wú)論在理論分析上還是在實(shí)際).( xo 則函數(shù)的增量則函數(shù)的增量可以表示為可以表示為 如果存在這樣的如果存在這樣的近似公式近似公式,應(yīng)用中都是十分重要的應(yīng)用中都是十分重要的.)( x o,很很小小時(shí)時(shí)且且 x ),(xfy xay5定義定義,)(在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfy 2. 微分的定義微分的定義,00在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及xxx )()(00 xfxxfy如果如果),(

4、無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立xa 0)(xxfy在點(diǎn)在點(diǎn) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)xa 0dxxy 相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)0)(xxfy .d0 xayxx 即即可微可微(differentiable),a為微分系數(shù)為微分系數(shù)),(d0 xf或或記作記作微分微分(differential),并稱并稱為函數(shù)為函數(shù)的的增量增量 x )( xoxa . .6可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)0)(xxf定理定理證證 (1) 必要性必要性,)(0可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)xxf),( xoxay .a ,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)即即函函數(shù)數(shù)xxf3. 可微的充分必要條件可微的充分必要條件)(xf函函數(shù)數(shù).

5、)(d0 xxfy 即有即有).(0 xfa 且且,0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)x),(0 xfa 且且 滿足什么條件的函數(shù)是可微的呢？滿足什么條件的函數(shù)是可微的呢？ 微分的系數(shù)微分的系數(shù)a如何確定呢如何確定呢? 微分與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系呢微分與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系呢?下面的定理回答了這些問(wèn)題下面的定理回答了這些問(wèn)題. xyxxoa )(0lim x 0lim x7(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),()(0 xoxxf ,)(0可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 求導(dǎo)法又叫微分法求導(dǎo)法又叫微分法

6、.)(d0 xxfy 從而從而.)(0axf 且且其微分一定是其微分一定是可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)0)(xxf定理定理)(xf函函數(shù)數(shù)即有即有,0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)x),(0 xfa 且且.)(d0 xxfy )0, 0( x8注注 yyxdlim0 )(10 xf 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0)()1(0 xf )(10 xf,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)從從而而 xyx 0lim)(0 xf . 1 ).d(dyoyy 第一章第七節(jié)定理第一章第七節(jié)定理1 (58頁(yè)頁(yè)).d yy xxf )(0 xyx 0lim 的的是是即即yy d).0( x當(dāng)當(dāng) 微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)的的是是又又由由于于xxxfy )(d0 線性

7、函數(shù)線性函數(shù), 線性主部線性主部. . 主部主部, ,的的是是稱稱yy d 所以在所以在 條件下條件下,0)(0 xf9 的條件下的條件下,xxfy )(d0 以以,)()(00時(shí)時(shí)xfxxfy 近似代替增量近似代替增量 其誤差為其誤差為).d( yo因此因此,很小時(shí)很小時(shí)在在 x 有精確度有精確度.dyy 較好的近似等式較好的近似等式 結(jié)論結(jié)論在在0)(0 xf10有關(guān)有關(guān)和和與與xx xx 的增量的增量通常把自變量通常把自變量)3(),(ddxfy或或 稱為函數(shù)稱為函數(shù)的微分的微分, 記作記作.)(dxxfy 即即稱為自變量的稱為自變量的微分微分,記作記作,dx.dxx 即即注注,)()2

8、(的微分的微分在任意點(diǎn)在任意點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxfy 什么意思？解解 , d .yxy已知 求例如：例如： ,1)(dxxxxy , 故得由于xy .ddxxy11自變量的增量就是自變量的微分：函數(shù)的微分可以寫(xiě)成:上例表明上例表明: :xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或. dd)( , d)(d xyxfxxfy有時(shí)當(dāng)即函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分 d y 與自變量的微分 d x 的商, 故導(dǎo)數(shù)也故導(dǎo)數(shù)也稱為微商稱為微商.12例例1 1解解,d)2(,d)1(,23 xyyxy求求23xy 02. 02d)3( xxy .24. 0 02. 02202. 023d

9、)3( xxxxxxy xxy )(d)1(3 xx 23 xxyxx 2223d)2(x 12242408. 08242408. 82)02. 2(33y13幾何意義幾何意義y 當(dāng)當(dāng),很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x ( (如圖如圖) )ydxxfyd)(d0 二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量,.pqnq線段可近似代替線段增量時(shí)增量時(shí);是曲線的縱坐標(biāo)是曲線的縱坐標(biāo),的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)m就是就是切線切線縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)x tanpq yd xyo)(xfy t0 xm xx 0n pqy yd)( xo x 14 幾何上, 函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x 處的微分表示為: 相應(yīng)于

10、自變量 x 的改變量 x, 曲線y = f (x) 在點(diǎn) p(x, y) 的切線上縱坐標(biāo)的改變量.15三、微分公式與運(yùn)算法則三、微分公式與運(yùn)算法則1.1.微分的基本公式微分的基本公式可微 可導(dǎo) 微分的基本公式與導(dǎo)數(shù)的基本公式相似 微分公式一目了然, 不必講了.16xxfyd)(d 基本求法基本求法1. 基本微分公式基本微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1

11、7xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 運(yùn)算法則運(yùn)算法則2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu)(),(均為可導(dǎo)函數(shù)xvvxuu18例例2 2解解.d),ln(2yexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例3 3解解.d,cos31yxeyx求求設(shè)設(shè) )(dcosd31xexy,3)(3131xxee xxexexyxxd)sin(d)3(cos

12、d3131 .d)sincos3(31xxxex .sin)(cosxx )(cosd31xex vuuvuvdd)(d 19例例.d,cos31yxeyx求求設(shè)設(shè) )sin(cos) 3(3131xexeyxx解)sincos3(31xxexdxxxedyx)sincos3(3120;d)(d,)1(xxfyx 是自變量時(shí)是自變量時(shí)若若的可微的可微即另一變量即另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若tx,)2(),()(xfxfy 有導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ydxd.d)(dxxfy 結(jié)論結(jié)論)(xfy 一階微分形式的不變性一階微分形式的不變性xxfyd)(d 3. 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)的微

13、分法此結(jié)論用于求復(fù)合此結(jié)論用于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),有時(shí)有時(shí)能簡(jiǎn)化運(yùn)算能簡(jiǎn)化運(yùn)算.無(wú)論無(wú)論x 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 函數(shù)函數(shù)的微分形式總是的微分形式總是則則函數(shù)函數(shù)),(tx )(xf )(t td21例例4 4.d,2yeybxax求求設(shè)設(shè) 解解 法一法一 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 xeybxaxd)(d22bxaxe 法二法二 用微分形式不變性用微分形式不變性,uey ueyud)(d ueud2bxaxe 2bxaxe .2bxaxu 在計(jì)算中也可以不寫(xiě)中間變量在計(jì)算中也可以不寫(xiě)中間變量,直接利用直接利用微分形式不變性微分形式不變性.d)(2bxa

14、x xbxad)2( xbxad)2( 22練習(xí)求)2arctan(dxxx2arctan )2(arctandx xxd2arctan)2(d)2(112xxx xxxxd)2(122arctan2 xd xdxxxxdyxxxxxxy)4122(arctan4122arctan24112arctan222或23例例5 5解一解一.d122yxyyx求求設(shè)設(shè) yx d20)(d22 xyyx.d22d22xxyxyxyy xxyd2 xy d2yxyd20 yx2.d22d22xxyxyxyy xy22yyxy 20 .2222xyxyxyy解二解二 將方程兩邊將方程兩邊x對(duì)求導(dǎo)得對(duì)求導(dǎo)得2

15、4,0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: :xyyxcossin)sin(yx0)1 ( yxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例6 設(shè)設(shè) y)sin(cosyxxyxyxsin)sin(方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得25例例解解 7 在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt ttdcos .dcos)sin1(dttct );sin1(dt )(d)(sind)2(2xx,cos42xxx )(sind2

16、x)(sind1t xxxdcos22).(d)cos4(2xxxxxxd21說(shuō)明說(shuō)明: : 上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容. .26)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性 , 例如例如:27例例8 8?,05. 0,10問(wèn)面積增大了多少問(wèn)面積增大了多少半徑伸長(zhǎng)了半徑伸長(zhǎng)了的金屬圓片加熱后的金屬圓片加熱后半徑半徑cmcm解解,2ra 設(shè)設(shè),10cmr 05. 0102 ).(2cm .)(0 xxf yyd , 0)(0 xf. y 用用來(lái)來(lái)近近似似計(jì)計(jì)算算.05. 0cm

17、r rr 2a rar ad 四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1. 計(jì)算函數(shù)增量的近似值計(jì)算函數(shù)增量的近似值,很小時(shí)很小時(shí)且且 x 28)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x .),(0微微分分函函數(shù)數(shù)的的原原值值函函數(shù)數(shù)的的末末值值即即用用來(lái)來(lái)近近似似計(jì)計(jì)算算 xxf2. 計(jì)算函數(shù)的近似值計(jì)算函數(shù)的近似值)(0 xx x曲線曲線處處在點(diǎn)在點(diǎn))(,()(00 xfxxfy 的切線的表達(dá)式的切線的表達(dá)式.通常稱為函數(shù)通常稱為函數(shù)的一次近似或線性近似的一次近似或線性近似.)(xfy 附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在

18、點(diǎn)求求0)()1(xxxf 290360cos0 故故例例9 9.0360cos0的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為弧度為弧度xxxf ,30 x令令.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算與與xxfxf xxfcos)( 360 x就是函數(shù)就是函數(shù).3603處的值處的值在在 x)3603cos( xxfxfxxf )()()(000303603sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 xxfxfxxf )()()(00036030)(cos xxxx 30cos xx31180dx29sin的近似值的近似

19、值 .解解: 設(shè)設(shè)( )sin,( )cosf xxfxx則取取300 x,629x則則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(練習(xí)練習(xí). . 求求29sin4848. 029sin32常用的幾個(gè)一次近似式常用的幾個(gè)一次近似式)|(|很小時(shí)很小時(shí)x附附近近的的近近似似值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求0)()2( xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx );(sin)2(為弧度為弧度xxx );(tan)3(為弧度為弧度xxx ;1)4(xex .)1ln()5(xx 2. 計(jì)算函數(shù)的近似值計(jì)算函數(shù)的

20、近似值n;111)1(xnx 33證證)1(,)1(1)(11 nxnxf, 1)0( fxffxf)0()0()( .1nx 例例1010.021. 13的近似值的近似值求求解解33021. 01021. 1 知知021. 0311 007. 1 xffxf )0()0()(.1)0(nf xnxn111 由公式由公式021. 01021. 1 xn,1x n )(xf設(shè)設(shè);111)1(xnx 34例例1111.計(jì)算下列各數(shù)的近似值計(jì)算下列各數(shù)的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0

21、 e.97. 0 xex 103. 01 (1)(很小時(shí)很小時(shí)x35 . 11000 (2)(很小時(shí)很小時(shí)x)10005 . 11(1000 3nxnx111 35微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的幾何意義微分的幾何意義微分公式與運(yùn)算法則微分公式與運(yùn)算法則五、小結(jié)五、小結(jié)導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) xxfyxxd)(d00 yd就是切線縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量熟記熟記微分公式、用一階微分形式不變性求微分微分公式、用一階微分形式不變性求微分以直代曲以直代曲36xffxf )0()0()(00dxxxxyy xxf )(0)()()()(00

22、0 xxxfxfxf ,很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用37練習(xí)題練習(xí)題3. 3. 已知已知,yxexy求求.d yxxeed )d(arctanxd d( )sin2 dxx2. 2. 設(shè)設(shè) ,0a且且,nab 則則nnba)(xyy 由方程由方程063sin33yxyx確定確定, ,.d0 xy求求4. 設(shè)設(shè)1.填空填空381. 填空填空xxeed )d(arctanxe211xd xxee21d( )sin2 dxxcx2cos21 2. 設(shè)設(shè) ,0a且且,nab 則則nnba1nanba39利用微分形式不變性利用微分形式不變性, , 得

23、得3. 3. 已知已知,yxexy求求.d y解：解：xyyxddyd)d(dyxeyxdx yx yyexxe 另解：利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。另解：利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。dyxydx(1)x ydyedxx yx yyeyxe x yx yyedydxxe 404. 設(shè)設(shè))(xyy 由方程由方程063sin33yxyx確定確定,.d0 xy解解: 方程兩邊求導(dǎo)方程兩邊求導(dǎo),得得23x當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí),0yxyxd21d0求求yy23x3cos306 y22cos32xxyy 21|0 xy41作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題2-5 (1222-5 (122頁(yè)頁(yè)) )3. 7(1). 10. 42 由導(dǎo)數(shù)的由導(dǎo)數(shù)的“微商微商”及一階微分形式不變性及一階微分形式不變性, , 再來(lái)看反函數(shù)、參數(shù)方程、復(fù)合函數(shù)等的求導(dǎo)再來(lái)看反函數(shù)、參數(shù)方程、復(fù)合函數(shù)等的求導(dǎo)公式就會(huì)有另一種感覺(jué)：公式就會(huì)有另一種感覺(jué)：dd1 ( )d( )d( )xxyyfxxfx反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)d( )d( ) d( )d( )yy tty t