高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2任意的三角函數(shù)1.2.1第2課時(shí)三角函數(shù)線及其應(yīng)用學(xué)案新人教A版必修4

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料第2課時(shí)三角函數(shù)線及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解三角函數(shù)線的意義,能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切(重點(diǎn))2.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1有向線段(1)定義：帶有方向的線段(2)表示：用大寫字母表示,如有向線段om,mp.2三角函數(shù)線(1)作圖：的終邊與單位圓交于p,過p作pm垂直于x軸,垂足為m.過a(1,0)作x軸的垂線,交的終邊或其反向延長線于點(diǎn)t.(2)圖示：圖1­2­3(3)結(jié)論：有向線段mp、om、at,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線基礎(chǔ)自測1思

2、考辨析(1)角的正弦線的長度等于sin .()(2)當(dāng)角的終邊在y軸上時(shí),角的正切線不存在()(3)余弦線和正切線的始點(diǎn)都是原點(diǎn)()解析(1)錯(cuò)誤角的正弦線的長度等于|sin |.(2)正確(3)錯(cuò)誤正切線的始點(diǎn)是(1,0)答案(1)×(2)(3)×2角和角有相同的()a正弦線b余弦線c正切線d不能確定c角和角的終邊互為反向延長線,所以正切線相同3如圖1­2­4,在單位圓中角的正弦線、正切線完全正確的是()圖1­2­4a正弦線mp,正切線atb正弦線mp,正切線atc正弦線mp,正切線atd正弦線mp,正切線atc為第三象限角,故正弦

3、線為mp,正切線為at,c正確合 作 探 究·攻 重 難作已知角的三角函數(shù)線作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線(1)；(2)；(3).解如圖其中mp為正弦線,om為余弦線,at為正切線規(guī)律方法三角函數(shù)線的畫法(1)作正弦線、余弦線時(shí),首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn),然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線,得到垂足,從而得正弦線和余弦線.(2)作正切線時(shí),應(yīng)從a(1,0)點(diǎn)引x軸的垂線,交的終邊(為第一或第四象限角)或終邊的反向延長線(為第二或第三象限角)于點(diǎn)t,即可得到正切線at.跟蹤訓(xùn)練1作出的正弦線、余弦線和正切線解如圖：sinmp,cosom,tanat.利用三角函數(shù)線解三角不等式探究問題

4、1利用三角函數(shù)線如何解答形如sin a,sin a(|a|1)的不等式？提示：對形如sin a,sin a(|a|1)的不等式：畫出如圖所示的單位圓；在y軸上截取oma,過點(diǎn)(0,a)作y軸的垂線交單位圓于兩點(diǎn)p和p,并作射線op和op；寫出終邊在op和op上的角的集合；圖中陰影部分即為滿足不等式sin a的角的范圍,其余部分即為滿足不等式sin a的角的范圍圖2利用三角函數(shù)線如何解答形如cos a,cos a(|a|1)的不等式？提示：對形如cos a,cos a(|a|1)的不等式：畫出如圖所示的單位圓；在x軸上截取oma,過點(diǎn)(a,0)作x軸的垂線交單位圓于兩點(diǎn)p和p,作射線op和op；

5、寫出終邊在op和op上的角的集合；圖中陰影部分即為滿足不等式cos a的角的范圍,其余部分即為滿足不等式cos a的角的范圍圖利用三角函數(shù)線確定滿足下列條件的角的取值范圍(1)cos ；(2)tan ；(3)|sin |.思路探究解(1)如圖,由余弦線知角的取值范圍是.(2)如圖,由正切線知角的取值范圍是.(3)由|sin |,得sin .如圖,由正弦線知角的取值范圍是.規(guī)律方法利用單位圓中的三角函數(shù)線解不等式的方法(1)首先作出單位圓,然后根據(jù)各問題的約束條件,利用三角函數(shù)線畫出角滿足條件的終邊的位置.(2)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是該角的余弦值,與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是該角的正弦值.(3

6、)寫角的范圍時(shí),抓住邊界值,然后再注意角的范圍的寫法要求.提醒：在一定范圍內(nèi)先找出符合條件的角,再用終邊相同的角的表達(dá)式寫出符合條件的所有角的集合.母題探究：1.將本例(1)的不等式改為“cos ”,求的取值范圍解如圖,由余弦線知角的取值范圍是.2將本例(3)的不等式改為“sin ”求的取值范圍解由三角函數(shù)線可知sinsin,sinsin,且sin ,故的取值集合是(kz).利用三角函數(shù)線比較大小(1)已知cos cos ,那么下列結(jié)論成立的是()a若、是第一象限角,則sin sin b若、是第二象限角,則tan tan c若、是第三象限角,則sin sin d若、是第四象限角,則tan ta

7、n (2)利用三角函數(shù)線比較sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小. 思路探究(1)(2) (1)d由圖(1)可知,cos cos 時(shí),sin sin ,故a錯(cuò)誤；圖(1)由圖(2)可知,cos cos 時(shí),tan tan ,故b錯(cuò)誤；圖(2)由圖(3)可知,cos cos 時(shí),sin sin ,c錯(cuò)誤；圖(3)由圖(4)可知,cos cos 時(shí),tan tan ,d正確圖(4)(2)如圖,sinmp,cosom,tanat,sinmp,cosom,tanat.顯然|mp|mp|,符號皆正,sinsin；|om|om|,符號皆負(fù),coscos；|at|at|,符號皆負(fù),tanta

8、n.規(guī)律方法(1)利用三角函數(shù)線比較大小的步驟：角的位置要“對號入座”；比較三角函數(shù)線的長度；確定有向線段的正負(fù).(2)利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及注意點(diǎn)：關(guān)鍵：在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.注意點(diǎn)：比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向.跟蹤訓(xùn)練2已知asin,bcos,ctan,則()aabcbacbcbcadbacd由如圖的三角函數(shù)線知：mpat,因?yàn)?所以mpom,所以cossintan,所以bac. 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1如果om,mp分別是角余弦線和正弦線,那么下列結(jié)論正確的是()ampom0bmp0omcmpom0dommp0d角的余弦

9、線正弦線相等,結(jié)合圖象可知角的余弦線和正弦線滿足ommp0.2若角的余弦線是單位長度的有向線段,那么角終邊在()ay軸上 bx軸上c直線yx上d直線yx上b由已知得,角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(1,0),在x軸上3利用正弦線比較sin 1,sin 1.2,sin 1.5的大小關(guān)系是()asin 1sin 1.2sin 1.5bsin 1sin 1.5sin 1.2csin 1.5sin 1.2sin 1dsin 1.2sin 1sin 1.5c如圖,畫出已知三個(gè)角的正弦線,觀察可知sin 1.5sin 1.2sin 1.4若asin 4,bcos 4,則a,b的大小關(guān)系為_ab因?yàn)?,畫出4弧度角的正弦線和余弦弦(如圖),觀察可知sin 4cos 4,即ab.5在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊