高二人教A版必修5系列教案：2.3等差數(shù)列前n項(xiàng)和

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)與技能1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；2.體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程;3.會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。二、過(guò)程與方法1 通過(guò)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo),體會(huì)倒序相加求和的思想方法；2. 通過(guò)公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想。三、情感態(tài)度與價(jià)值觀結(jié)合具體模型,將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,并通過(guò)對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)倒序相加的思想方法?！局攸c(diǎn)、

2、難點(diǎn)解決策略】本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略。利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想,層層深入,通過(guò)學(xué)生自主探究、分析、整理出推導(dǎo)公式的思路,同時(shí),借助多媒體的直觀演示,幫助學(xué)生理解,師生互動(dòng)、講練結(jié)合,從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)?！窘虒W(xué)用具】 多媒體軟件,電腦【教學(xué)過(guò)程】一、明確數(shù)列前n項(xiàng)和的定義,確定本節(jié)課中心任務(wù):本節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,那么什么叫數(shù)列的前n項(xiàng)和呢,對(duì)于數(shù)列an：a1,a2,a3,an,我們稱a1+a2+a3+an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,用sn表示,記sn=a1+a2+a3+an,如s1 =a1, s7 =a1+a2+a3+a7,下面我們來(lái)共同探究

3、如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。二、問(wèn)題牽引,探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1：（播放媒體資料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇跡之一。傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案,以相同大小的圓寶石鑲飾而成,共有100層（見圖）,奢靡之程度,可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少圓寶石嗎？即: s100=1+2+3+······+100=？著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候就會(huì)算,聞名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？請(qǐng)同學(xué)們思考高斯方法的特點(diǎn),適合類型和方法本質(zhì)。特點(diǎn)： 首項(xiàng)與末項(xiàng)的和： 1100101, 第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和： 299 101, 第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和： 398

4、101, · · · · · ·第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和： 5051101,于是所求的和是： 101×505050。1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050同學(xué)們討論后總結(jié)發(fā)言：等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)相加時(shí)首尾配對(duì),變不同數(shù)的加法運(yùn)算為相同數(shù)的乘法運(yùn)算大大提高效率。高斯的方法很妙,如果等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)怎么辦呢？探索與發(fā)現(xiàn)1：假如讓你計(jì)算從第一層到第21層的珠寶數(shù),高斯的首尾配對(duì)法行嗎？即計(jì)算s21=1+2+3+ ·&

5、#183;···· +21的值,在這個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),首尾配對(duì)出現(xiàn)了問(wèn)題,通過(guò)動(dòng)畫演示引導(dǎo)幫助學(xué)生思考解決問(wèn)題的辦法,為引出倒序相加法做鋪墊。把“全等三角形”倒置,與原圖構(gòu)成平行四邊形。平行四邊形中的每行寶石的個(gè)數(shù)均為21個(gè),共21行。有什么啟發(fā)？ 1 + 2 + 3 + +20 +21 21 + 20 + 19 + + 2 +1s21=1+2+3+21=（21+1）×21÷2=231這個(gè)方法也很好,那么項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)這個(gè)方法還行嗎？探索與發(fā)現(xiàn)2：第5層到12層一共有多少顆圓寶石？學(xué)生探究的同時(shí)通過(guò)動(dòng)畫演示幫助學(xué)生思考剛才

6、的方法是否同樣可行？請(qǐng)同學(xué)們自主探究一下（老師演示動(dòng)畫幫助學(xué)生）s8=5+6+7+8+9+10+11+12=【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列求和時(shí)倒序相加是否可行。從而得出倒序相加法適合任意項(xiàng)數(shù)的等差數(shù)列求和,最終確立倒序相加的思想和方法！好,這樣我們就找到了一個(gè)好方法倒序相加法！現(xiàn)在來(lái)試一試如何求下面這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和？問(wèn)題2：等差數(shù)列1,2,3,n, 的前n項(xiàng)和怎么求呢？ 解:（根據(jù)前面的學(xué)習(xí),請(qǐng)學(xué)生自主思考獨(dú)立完成） 【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化倒序相加法的理解和運(yùn)用,為更一般的等差數(shù)列求和打下基礎(chǔ)。至此同學(xué)們已經(jīng)掌握了倒序相加法,相信大家可以推導(dǎo)更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式了

7、。問(wèn)題3：對(duì)于一般的等差數(shù)列an首項(xiàng)為a1,公差為d,如何推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和sn公式呢？ 即求 =a1+a2+a3+an= （1）+（2）可得：2公式變形：將代入可得：【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在前面的探究基礎(chǔ)上水到渠成順理成章很快就可以推導(dǎo)出一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,從而完成本節(jié)課的中心任務(wù)。在這個(gè)過(guò)程中放手讓學(xué)生自主推導(dǎo),同時(shí)也復(fù)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本性質(zhì)。三、公式的認(rèn)識(shí)與理解：1、根據(jù)前面的推導(dǎo)可知等差數(shù)列求和的兩個(gè)公式為：（公式一）（公式二）探究： 1、（1）相同點(diǎn)： 都需知道a1與n; （2）不同點(diǎn)： 第一個(gè)還需知道an ,第二個(gè)還需知道d; （3）明確若a1,d,n,an中已知三個(gè)量就可

8、求sn。 2、兩個(gè)公式共涉及a1, d, n, an,sn五個(gè)量,“知三”可“求二”。2、探索與發(fā)現(xiàn)3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與梯形面積公式有什么聯(lián)系？用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式,這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理,對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列 n 項(xiàng)和的兩個(gè)公式.,請(qǐng)學(xué)生聯(lián)想思考總結(jié)來(lái)有助于記憶?！驹O(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生類比聯(lián)想,拓展思維,增加興趣,強(qiáng)化記憶四、公式應(yīng)用、講練結(jié)合1、練一練：有了兩個(gè)公式,請(qǐng)同學(xué)們來(lái)練一練,看誰(shuí)做的快做的對(duì)！根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等差數(shù)列an的sn ：（1） a1=5,an=95,n=10解：500（2） a1=100,d=2,n=50 解：【設(shè)計(jì)意圖】熟悉并

9、強(qiáng)化公式的理解和應(yīng)用,進(jìn)一步鞏固“知三求二”。下面我們來(lái)看兩個(gè)例題：2、例題1：2000年11月14日教育部下發(fā)了<<關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知>>.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從2001年起用10年時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng). 據(jù)測(cè)算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元.那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?解:設(shè)從2001年起第n年投入的資金為an,根據(jù)題意,數(shù)列an是一個(gè)等差數(shù)列,其中 a1=500, d=50那么

10、,到2010年（n=10）,投入的資金總額為答: 從2001年起的未來(lái)10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列知識(shí)在生活中的應(yīng)用及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法。3、例題2：已知一個(gè)等差數(shù)列an的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由這些條件可以確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？解：法1：由題意知 ,代入公式得： 解得,法2：由題意知 ,代入公式得：,即,得,故由得故【設(shè)計(jì)意圖】掌握并能靈活應(yīng)用公式并體會(huì)方程的思想方法。4、反饋達(dá)標(biāo):練習(xí)一：在等差數(shù)列an中,a1=20, an=54,sn =999,求n.解：由解n=27練習(xí)2： 已知an為等差數(shù)列,求公差。解：由公式得 即d=2【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一強(qiáng)化求和公式的靈活應(yīng)用及化歸的思想（化歸到首項(xiàng)和公差這兩個(gè)基本元）。五、歸納總結(jié) 分享收獲：(活躍課堂氣氛,鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言,培養(yǎng)總結(jié)和表達(dá)能力)1、倒序相加法求和的思想及應(yīng)用；2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程；3、掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式,; 4、前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用及方程的思想。六、作業(yè)布置：（一）書面作業(yè)：1.已知等差數(shù)列an,其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。2.在a,b之間插入10個(gè)數(shù),使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這10個(gè)