最新二重積分變量代換推廣至三重積分的證明及應(yīng)用

1、二重積分變量代換推廣至三重積分的證明及應(yīng)用二重積分變量代換推廣至三重積分的證明及應(yīng)用作者：丁月明指導(dǎo)老師：浦和平關(guān)鍵詞：變量代換三重積分摘要：由課本上對二重積分變量代換的簡介，我們可以看出此方法在某些情況 下簡化了積分運算，而在三重積分中是否也存在此類變量代換呢，本文將把變 量代換推廣至三重積分，并給出其存在性的證明，和具體應(yīng)用。對存在性的證明記 F(n,v, w) = /(x(w,v, w),W),Z(M,v,w)F 于有界集 Duv 連續(xù)，F(xiàn) 必一致連續(xù)，即 Vw > 0,日5 > 0 對(Ml, VI),(W2, V2)e Dm ,由積分中值定理，得=兄 JU FJdudvd

2、w- fdxdydz.ri, bi、coi )fff Jdudvdw-有當(dāng) y(u-u2f -(vl 3P2)2 -(cl-C2p V a 時，|F(/d,vl,K'l)- F(/2, v2,k-2)|< 成Jdudvdw,由于Di是di的值域，血)=(F (M 6； o - f (臥 M A/) |£>/|JJJ f(X, y, z)dxdydz = jjj F(w, v, w) Jdudvdw二變換方法的推導(dǎo)1從幾何角度的證明存在三個交線互不平行的曲面f (x, y, z) =uO, g (x, y, z) =vO, q (x, y, z) =wO,三個曲面簇

3、 f (x, y, z) =u, g (x, y, z) =v, q (x, y, z) =w 交成空間曲面網(wǎng)構(gòu)成新的坐標(biāo)，而體積元為一個交點處，三條交線弧微元構(gòu)成 的空間的體積。S UOU = (：+"厶廠("，"O, wo)匚)/ (“，卩0, hO) + Z?(“，,wO)d“=(wO + vO, M'O) +yi<2(uO +vO, wO) + z? (/0 + ftXn, vO, mO) A/<2 yjxu22(hO, vO, h'O) + ytl2(uO, vO, mO) + Zw2(wO, vO, h'O)Am 卡

4、I應(yīng)以ii方向為例求弧微元， 由此可得dSun =匕如 類似的可以得出V"方向的弧微元于是體積微元為n6(n,w)dudvdw2 用代數(shù)方法證明x = xo 0 0在坐標(biāo)X, y, Z下有向量y = o >'0 0,體積微元為向量偏導(dǎo)數(shù)微元的混合積 z = 00 zodx dy dz,又，有u, V, W為X, y? Z的參數(shù)，于是XCll C12C13Uy=C21C22C23VZC3C32C33WCU在C21C31C12C13C22 C23HO的情況下,C32C33定U, v, W為一組基體積微元為JA-av喬莎喬比一 E去一即勿-av57一創(chuàng)lav亦勿-加竺加=o

5、O必O心Ok/.ro O=1IJ7dudvdwd(x, y.z)wi)dudvdw = |J | dudvdw證畢如，常見坐標(biāo)系柱坐標(biāo)的變換x + y = u2 x + y = pz = v => Z = vy = wx yj=w = tan 0xx = p cos 0y = sin&0 = tgwz = zJJJ dxdydz. = JJJ pdpdOdz.三應(yīng)用舉例求曲面和斤號w 4 E O1）所圍區(qū)域體積,x = ap sin(pcos0 y = bsin(pcos0Z = cp cos (p 又 |丿 | = abcp2 sin (pdBdcpdp、可得可做變換2x +

6、3y+ z = 02x + 3y + z = 32,求又曲面x + y + z = 和x + y + z = 4所圍區(qū)域體積4x + y + 2z = 2 4x+y + 2z = 02x + 3y + z = u設(shè)曲面簇x+y + z = v4x+ y + 2z = wj/(3，z)Jhovv + w3,求曲面Z = A + = A + yxy = cryxy = by = axy = px所圍區(qū)域體積。1”2 b:.JJj xyz.dxdydz = 一udii 2 v/vjV2 萬& I'-&2)21 Vw + - ViwW Vlr )1+ ? . + 41nI夕02

7、4,求積分 JJj jcdxdydz ,令受曲面z = ay)z =z = ax,z =卩x、z = h限制V = BI 血dydz = 1 J：腫 J：存皿 4 iru2,5,555,求受曲面 z = x2 + y2.z = 2(x2 +y2xy = axy = 2aL,x = 2y,2x = y 限制的體積V令皿，尸 JI,"畑+二對 + yy wwV=1限制的C6,求受曲®- + - + - = ln-一-一 , x=Of z=0,丄+ 二=0上 +丄 a h c x ybe a b+ a b體積V。令八嚴(yán)則曲面的變換為xy zx+ + = 1 => w1 = 1, + = 0