有關(guān)彈簧問(wèn)題中應(yīng)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征的解題技巧

1、有關(guān)彈簧問(wèn)題中應(yīng)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征的解題技巧黃菊娣浙江省上虞市上虞中學(xué)312300 )彈簧振子的運(yùn)動(dòng)具有周期性和對(duì)稱性， 因而很容 易想到在振動(dòng)過(guò)程中一些物理量的大小相等， 方向相 同，是周期性出現(xiàn)的； 而經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后一些物理量 則是大小相等， 方向相反 但是上面想法的逆命題是 否成立的條件是： 此彈簧振子的回復(fù)力和位移符合 F kx（ x 指離開(kāi)平衡位置的位移） ；選擇開(kāi)始 計(jì)時(shí)的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移處， 若開(kāi)始計(jì)時(shí)不是選擇在這些位置， 則結(jié)果就顯而易見(jiàn) 是不成立的在這里就水平彈簧振子和豎直彈簧在作簡(jiǎn)諧運(yùn) 動(dòng)過(guò)程中應(yīng)用其特征談一談解題技巧， 把復(fù)雜的問(wèn)題 變簡(jiǎn)單化， 從而消除學(xué)

2、生的一種碰到彈簧問(wèn)題就無(wú)從 入手的一種恐懼心理一、彈簧振子及解題方法 在判斷彈簧振子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間， 運(yùn)動(dòng)速度及加速度 等一些物理量時(shí)所取的起始位置很重要， 在解題方法 上除了應(yīng)用其規(guī)律和周期性外， 運(yùn)用圖象法解， 會(huì)使 問(wèn)題更簡(jiǎn)單化例 1 一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為 T，則正 確的說(shuō)法是（ ）A 若 t 時(shí)刻和 （t t）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大 小相等，方向相同，則 t 一定等于 T 的整數(shù)倍B若 t時(shí)刻和（ tt）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)速度大小 相等，方向相反，則 t 一定等于 T 的整數(shù)倍2C若 t T，則在 t 時(shí)刻和（ t t）時(shí)刻振子 運(yùn)動(dòng)的加速度一度相等D若 t T ，則在 t 時(shí)刻和（ t

3、t）時(shí)刻彈2簧的長(zhǎng)度一定相等解法一：如圖 1為一個(gè)彈簧振子的示意圖， O 為平衡位置， B、 C 為兩側(cè)最大位移處， D 是 C、 O 間任意位置對(duì)于 A 選項(xiàng)，子由 D 運(yùn)動(dòng)到 B到 D ，振子兩次在當(dāng)振再回D處位移大小、方向都相同，所經(jīng)歷的時(shí)間顯然不為對(duì)于 B 選項(xiàng)，當(dāng)振子由圖1DCT，A 選項(xiàng)錯(cuò)運(yùn)動(dòng)到 B 再回到 D，振子兩次在 D 處運(yùn)動(dòng)速度大小相等， 方向相反， 但經(jīng)過(guò)的時(shí)間不是 T ，可見(jiàn)選項(xiàng) B 錯(cuò)2 由于振子的運(yùn)動(dòng)具有周期性， 顯然加速度也是如 此，選項(xiàng) C 正確對(duì)于選項(xiàng) D，振子由 B 經(jīng)過(guò) O 運(yùn)動(dòng)到 C 時(shí)，經(jīng) 過(guò)的時(shí)間為 T ，但在 B、C 兩處彈簧長(zhǎng)度不等，選項(xiàng)2D

4、錯(cuò)正確答案選 C 解法二：本題也可利用彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖 象來(lái)解如圖 2所示，圖中 A點(diǎn)與 B、E、F、I 等點(diǎn) 的振動(dòng)位移大小相等，方向相同由圖可見(jiàn)， A 點(diǎn)與 E、I 等點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻差為 T 或 T的整數(shù)倍； A 點(diǎn)與 B、 F 等點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻差不為 T 或 T 的整數(shù)倍， 因此選項(xiàng) A 不正確用同樣的方法很容易判斷出選項(xiàng)B、 D 也不正確故只有選項(xiàng) C 正確況確定兩時(shí)刻間的時(shí)間間隔跟圖周期2 的關(guān)系時(shí)，借助振動(dòng)圖有 F kxmkF f maK M mmk Ff Ff maxmg 時(shí) ，xxm a， xmax(M m)g例 3 （ 2004 年石家莊市試題）如圖所示， 一輕象可以較方便

5、而準(zhǔn)確地作出判斷二、利用彈簧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位移、 能 量變化特征來(lái)巧解題例 2 物體 A 與滑塊 B 一起在光滑水平面上做簡(jiǎn) 諧振動(dòng)，如圖所示， A、 B 之間無(wú)相對(duì)滑 動(dòng)，已知輕質(zhì)彈簧的 勁度系數(shù) k， A、 B的質(zhì)量分別 m和 M，則 A、B（看成一個(gè)振子）的回 復(fù)力由 提供，回復(fù)力跟位移的比為 ，物體 A 的回復(fù)力由 提供，其回復(fù)力跟位移的比 為，若 A、B 之間的靜摩擦因數(shù)為 ，則 A 、B間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)的最大振幅為 解析：因水平面光滑，平衡位置在彈簧原長(zhǎng)處（ A B ）作為整體，水平方向只受彈簧彈力，故F Kx ，由牛頓第二定律得： F （M m）a ， ka x Mm對(duì)于 A

6、 物體，水平方向只受 B 對(duì) A 的靜摩擦力 Ff，故 Ff即為 A的回復(fù)力 由于 A、B間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)， 所以任何時(shí)候 A 與 B的位移 x 和加速度 a 都相同，故彈簧的左端固定在 豎直墻上，右端與質(zhì)量為 M 的滑塊相連，組成彈簧 振子， 在光滑的水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到 右側(cè)最大位移處時(shí)， 在滑塊上輕輕放上一木塊組成新 振子， 繼續(xù)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 新振子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程與原振子 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程相 比（ ） A新振子的最大速度比原振子的最大速度小 B新振子的最大動(dòng)能比原振子的最大動(dòng)能小 C新振子的振動(dòng)周期比原振子的振動(dòng)周期大 D新振子的振幅比原振子的振幅小 解析： 滑塊振動(dòng)到最大位移處加放木塊，

7、相當(dāng)于 增大滑塊質(zhì)量后從最大位移處由靜止釋放， 振動(dòng)過(guò)程 中總能量不變， 振動(dòng)過(guò)程中仍能恰好到達(dá)該位置， 即 振幅不變， 振子的最大彈性勢(shì)能不變 由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中 機(jī)械能守恒， 故振子的最大動(dòng)能不變， 但最大速度變 ?。ㄒ蛘褡淤|(zhì)量變大了） ，可見(jiàn)選項(xiàng) A 對(duì) BD 錯(cuò)；又 由周期隨振子質(zhì)量增大而增大，故知選項(xiàng) C 正確 注：若改為“當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)， 在滑塊上輕輕 放上一木塊組成新振子”， 那由于碰撞使總機(jī)械能減小例 4 一根用絕緣材料制成的輕彈簧，勁度系數(shù) 為 k ，一端固定，另 一端與質(zhì)量為 m、帶 正電荷、電量為 q 的 小球相連，靜止在光 滑絕緣水平面上，當(dāng)施加水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng) E

8、 后， （如圖所示） 小球開(kāi)始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 關(guān)于小球的運(yùn)動(dòng) 有如下說(shuō)法，正確的是 （填序號(hào)）球的速度為零時(shí)，彈簧伸長(zhǎng) qE/k； 球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為 qE/k； 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球的機(jī)械能守恒； 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 小球動(dòng)能改變量、 彈性勢(shì)能改變 量、電勢(shì)能改變量的代數(shù)和為零解析：由水平面光滑施加水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，而 q 帶正電， 故平衡位置在原長(zhǎng)右邊， 當(dāng) qE kx0（設(shè)此時(shí)彈簧伸長(zhǎng) x0）時(shí)， x0 Eq 此時(shí)球的速度最0k大，故 錯(cuò) 彈簧原 長(zhǎng)時(shí)速度 為 0，故振幅 x0 Eq ，正確 由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知， 彈簧k 最大伸長(zhǎng)量為 2x0 ，又由于電場(chǎng)力做功，所以機(jī)械能 不守恒，錯(cuò)由動(dòng)

9、能定理 W Ek2 Ek1Ek ，W W彈簧 W電場(chǎng) ，故正確例 5 如圖所示，在光滑的水平面上，有一絕緣 的彈簧振子，小球帶 負(fù)電，在振動(dòng)過(guò)程中 當(dāng)彈簧壓縮到最短 時(shí)，突然加上一個(gè)沿 水平向左的恒定的勻強(qiáng)電場(chǎng)， 此后 （ ）A 振子的振幅將增大 B振子的振幅將減小 C振子的振幅將不變D 因不知電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，所以不能確定振幅 的變化解析： 未加電場(chǎng)時(shí)， 振子的平衡位置在彈簧原長(zhǎng) 處，振子的振幅大小為釋放處與彈簧原長(zhǎng)處之間的距 離加電場(chǎng)后，振子平衡位置右移，振幅大小等于釋 放振子處與新的平衡位置間的距離， 可見(jiàn)加電場(chǎng)后振 子的振幅將增大，即選項(xiàng) A 對(duì)注：若改為“振動(dòng)未過(guò)程中當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)到最長(zhǎng)時(shí)

10、， 突然 加上一個(gè)沿水平向左的恒定的勻強(qiáng)電場(chǎng)”展開(kāi)討論三、豎直彈簧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中應(yīng)用其特征 巧妙解題，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化例 6 （2005 年海淀區(qū)試題）如圖所示，輕彈簧下端固定在水平地面上， 彈簧位于豎直方向，另一 端靜止于 B 點(diǎn)在 B 點(diǎn)正 上方 A 處，有一質(zhì)量為 m的物塊，物塊從靜止開(kāi)始自由下落 物塊落在彈簧上， 壓縮彈簧， 到達(dá) C 點(diǎn)時(shí)， 物塊的速度為零 如果彈簧 的形變始終未超過(guò)彈性限度， 不計(jì)空氣阻力， 下列判 斷正確的是（ ）A物塊在 B 點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大B從 A 經(jīng) B 到 C，再由 C 經(jīng) B 到 A 的全過(guò)程 中，物塊的加速度的最大值大于 gC從 A 經(jīng) B 到

11、C，再由 C 經(jīng) B 到 A 的全過(guò)程 中，物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)D如果將物塊從 B 點(diǎn)靜止釋放，物塊仍能到達(dá) C點(diǎn)解析： 物塊與彈簧接觸后， 在彈力等于重力之前 仍向下做加速運(yùn)動(dòng)， 故物塊在 B 點(diǎn)的速度、 動(dòng)能都未 能達(dá)到最大，可見(jiàn)選項(xiàng) A 錯(cuò)；若將物塊從 B 處由靜 止釋放， 則此時(shí)加速度最大為 g，由振動(dòng)的對(duì)稱性知， 物塊下降到最低點(diǎn)時(shí)向上的加速度大小也為g，今從A 處釋放，到達(dá) B 時(shí)已具有一定的初速度，故所能下 降的最低點(diǎn)肯定在由 B 釋放時(shí)所能達(dá)到的最低點(diǎn)之 下，彈簧向上的彈力大于由 B 處釋放時(shí)的情況， 此時(shí) 的加速度大于 g，即選項(xiàng) B正確，且也知 D 錯(cuò)誤；另 外，由于物塊在 A、

12、B 間運(yùn)動(dòng)時(shí)受恒定的重力作用， 不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征 F kx ，故其振動(dòng)不 是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，可見(jiàn)選項(xiàng) C 錯(cuò)誤答案： B例 7 勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧，下端掛一個(gè)質(zhì) 量為 m 的小球， 小球靜止時(shí)距地面高為 h，用力向下 拉小球，使小球與地面接觸， 而后從靜止放開(kāi)小球 （彈 簧始終在彈性限度以內(nèi)） ，則 （ ）A球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的最大高度為2hB球在上升過(guò)程中彈性勢(shì)能不斷減小 C球距地面高度為 h 時(shí)，速度最大 D球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大加速度是kh/m解析：首先證明其運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由平衡時(shí) mgkx0（x0 為彈簧伸長(zhǎng)量）和下拉 h 后 彈力 F1k（x0 h） ，（ 取 豎 直

13、向 下 為 正 ） 回 復(fù) 力F F1 mgk（x0 h） mg kh ，符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)條件， 振幅為 x0 h x0 h ，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì) 稱性可知， A 正確球在上升過(guò)程中在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng) 之前彈性勢(shì)能減小， 但在彈簧原長(zhǎng)時(shí)若小球還有向上 速度，小球?qū)⒗^續(xù)壓縮彈簧， 故 B 只是一種可能， 由 于一開(kāi)始為平衡位置， 故 C 正確，由 F mamax ，故D 正確例 8 如圖所示，質(zhì)量為 m 的木塊放在彈簧上，與彈簧一起在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn) 動(dòng)，當(dāng)振幅為 A 時(shí)，物體對(duì)彈簧的最 大壓力是物體重力的 1.5 倍，則物體對(duì) 彈簧的最小壓力是多大？要使物體在 振動(dòng)中不離開(kāi)彈簧，振幅最大為 A 的 多少

14、倍？球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為多少？解析：（ 1）當(dāng)小球上下振動(dòng)過(guò)程中， 三角架對(duì)水 平面的壓力最小為零， 則此時(shí)上下兩根彈簧對(duì)三角架 的作用力大小為 Mg ，方向向上，小球此時(shí)受彈簧的 彈力大小為 Mg ，方向向下，故小球所受合力為 （M m）g ，方向向下，小球此時(shí)運(yùn)動(dòng)到上面最高點(diǎn) 即位移大小等于振幅處 根據(jù)牛頓第二定律， 小球的 瞬時(shí)加速度的最大值為： am （M m）g ，加速度 mm 方向?yàn)樨Q直向下（2）小球由平衡位置上升至最高點(diǎn)時(shí)，上面的 彈簧（相當(dāng)于壓縮 x）對(duì)小球會(huì)產(chǎn)生向下的彈力 kx， 下面的彈簧（相當(dāng)于伸長(zhǎng) x）會(huì)對(duì)小球產(chǎn)生向下的彈解析：平衡位置處： mgkx0（x0 為彈簧壓縮

15、量） 最低點(diǎn)時(shí)彈力 F 1.5mg kx1，振幅 Ax1 x00.5mg ，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，最高點(diǎn)時(shí)彈簧 k力 kx ，兩根彈簧對(duì)小球的作用力為 2kx ，故 x Mg ，2k 小時(shí)平衡位置處，上面彈簧（相當(dāng)于伸長(zhǎng)x0）對(duì)小球會(huì)產(chǎn)生向上的彈力 kx0，下面的彈 kx0 簧（相當(dāng)于壓縮 x0）對(duì) 小球會(huì)產(chǎn) 生向上的 彈力 kx0 ， 2kx0 mg ，壓縮量為 x2A mg0.5mgk0.5mgk，物x0 m2kg ，故振幅 A x x0 (M m)g0 2k在彈簧問(wèn)題中， 綜合運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)、 動(dòng)力學(xué)和能的體在最高點(diǎn)時(shí)彈簧壓縮最小， 故對(duì)彈簧壓力最小， 所以最小壓力為 Fmin kx2 0.5mg 要使物體